高中數(shù)學(xué)典型例題解析：第五章不等式

1、 第五章不等式§5.1不等式的解法一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式ax>b(1)當(dāng)a>0時(shí)，解為；(2)當(dāng)a0時(shí)，解為；(3)當(dāng)a0，b0時(shí)無(wú)解；當(dāng)a0，b0時(shí)，解為R2. 一元二次不等式：(如下表)其中a0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根，且x1x2 類(lèi)型解集ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xxx1或xx2xxx1或xx2xx1xx2xx1xx20xx-，xRRxx=-0RR3.簡(jiǎn)單的一元高次不等式：可用區(qū)間法(或稱(chēng)根軸法)求解，其步驟是：將f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的

2、積；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；根據(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集.4.分式不等式：先整理成0或0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即：0f(x)·g(x)00然后用“根軸法”或化為不等式組求解.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.不等式解法的基本思路解不等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡(jiǎn)原不等式的過(guò)程，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則，實(shí)際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價(jià)轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.代數(shù)化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.為此，一要能熟練準(zhǔn)確地解一元

3、一次不等式和一元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價(jià)變形.2.不等式組的解集是本組各不等式解集的交集，所以在解不等式組時(shí)，先要解出本組內(nèi)各不等式的解集，然后取其交集，在取交集時(shí)，一定要利用數(shù)軸，將本組內(nèi)各不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來(lái)，注意同一不等式解的示意線要一樣高，不要將一個(gè)不等式解集的兩個(gè)或幾個(gè)區(qū)間誤看成是兩個(gè)或幾個(gè)不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，其難點(diǎn)是區(qū)分何時(shí)取交集，何時(shí)取并集.解不等式的另一個(gè)難點(diǎn)是含字母系數(shù)的不等式求解注意分類(lèi).三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 如果kx2+2kx(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.A. 1k0 B. 1k&l

4、t;0 C. 1<k0 D. 1<k<0錯(cuò)解：由題意：解得：1<k<0錯(cuò)因：將kx2+2kx(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k0的情況.正解：當(dāng)k0時(shí)，原不等式等價(jià)于20，顯然恒成立， k0符合題意.當(dāng)k0時(shí)，由題意：解得：1<k<0，故選C. 例2 命題3，命題0，若A是B的充分不必要條件，則的取值范圍是A. B. C. D.錯(cuò)解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要條件,x|2x4x|2xaa>4故選D.錯(cuò)因：忽略了a4時(shí)，x|2x4x|2xa，此時(shí)A是B的充要條件，不是充分不必

5、要條件.正解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要條件,x|2x4x|2xaa>4故選C.例3已知f(x) = ax + ，若求的范圍.錯(cuò)解： 由條件得 ×2 ×2得 +得 錯(cuò)因：采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的.當(dāng)取最大（小）值時(shí)，不一定取最大（小）值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的.正解： 由題意有, 解得： 把和的范圍代入得 例4 解不等式（x+2）2(x+3)(x2)錯(cuò)解：（x+2）2原不等式可化為：(x+3)(x2)原不等式的解集為x| x 3或x錯(cuò)因:忽視了“”的含義，機(jī)械的將等式

6、的運(yùn)算性質(zhì)套用到不等式運(yùn)算中.正解：原不等式可化為：（x+2）2(x+3)(x2) 或（x+2）2(x+3)(x2)，解得：x=3或x2或x2解得：x 3或x2原不等式的解集為x| x 3或x或x例5 解關(guān)于x的不等式解：將原不等式展開(kāi)，整理得： 討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若0時(shí)；若<0時(shí)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：在解一次不等式時(shí)，要討論一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).例6關(guān)于x的不等式的解集為求關(guān)于x的不等式的解集解：由題設(shè)知，且是方程的兩根， 從而 可以變形為即： 點(diǎn)評(píng)：二次不等式的解集與二次方程的根之間的聯(lián)系是解本題的關(guān)健，這也體現(xiàn)了方程思想在解題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.例7不等式的解集為解：，0， 解得反思：在數(shù)的比較大小過(guò)

7、程中,要遵循這樣的規(guī)律,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分,就會(huì)很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和1比較大?。?2)找中間量,往往是1,在這些數(shù)中,有的比1大,有的比1?。?(3)計(jì)算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫(huà)出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.解不等式2. 解不等式 3.解不等式 4. 解不等式 5.解不等式6.k為何值時(shí)，下式恒成立：7. 解不等式8. 解不等式§5.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 目標(biāo)函數(shù): 是一個(gè)含有兩個(gè)變 量 和 的 函數(shù)，

8、稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱(chēng)為可行域.3. 整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)4.線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱(chēng)為整數(shù)線性規(guī)劃二、疑難知識(shí)導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門(mén)研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問(wèn)題的專(zhuān)門(mén)學(xué)科.主要在以下兩類(lèi)問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任

9、務(wù).1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫(huà)成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域若 直 線 不 過(guò) 原點(diǎn)，通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入檢驗(yàn)3. 平 移 直 線 k 時(shí)，直線必須經(jīng)過(guò)可行域4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)5.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無(wú)論此類(lèi)題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出，其

10、求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域.錯(cuò)解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.錯(cuò)因一是實(shí)虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯(cuò)了.正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范圍.錯(cuò)解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 ×(1)+ 得：02y3 .×2+×(1)得. 34x2y12錯(cuò)因：可行域范圍擴(kuò)大了. 正解：線性約束

11、條件是：令z4x2y，畫(huà)出可行域如右圖所示，由得A點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，0.5）此時(shí)z4×1.52×0.55.由得B點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）此時(shí)z4×32×110.54x2y10 例3 已知,求x2+y2的最值.錯(cuò)解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2由得A點(diǎn)坐標(biāo)（4，1），此時(shí)zx2+y242+1217，由得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，6），此時(shí)zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點(diǎn)坐標(biāo)（3，2），此時(shí)zx2+y2（3）2+2213，當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37，當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值13.錯(cuò)因：誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平

12、方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的平方的最值.正解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2,則z即為點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方.由得A點(diǎn)坐標(biāo)（4，1），此時(shí)zx2+y242+1217，由得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，6），此時(shí)zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點(diǎn)坐標(biāo)（3，2），此時(shí)zx2+y2（3）2+2213，而在原點(diǎn)處，此時(shí)zx2+y202+020，當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37，當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值0. 例4某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥

13、需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元.如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書(shū)櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤(rùn)最大？分析： 數(shù)據(jù)分析列表書(shū)桌書(shū)櫥資源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利潤(rùn)（元/張）80120計(jì)劃生產(chǎn)（張）xy設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張，書(shū)櫥y張，利潤(rùn)z元，則約束條件為 2x+y-600=0 A(100,400) x+2y-900=0 2x+3y=0目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y作出上可行域：作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（100，400）時(shí)，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書(shū)桌100張，書(shū)櫥40

14、0張，有最大利潤(rùn)為zmax=80×100+400×120=56000(元)若只生產(chǎn)書(shū)桌，得0<x300，即最多生產(chǎn)300張書(shū)桌，利潤(rùn)為z=80×300=24000（元）若只生產(chǎn)書(shū)櫥，得0<y450，即最多生產(chǎn)450張書(shū)櫥，利潤(rùn)為z=120×450=54000（元） 答：略例5某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請(qǐng)你

15、們?yōu)樵搹S計(jì)劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少?gòu)?，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最?。恐挥玫谝环N鋼板行嗎？ 解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t， 2x+y=15x+y=12 x+3y=27 x+2y=0由可得交點(diǎn)，但點(diǎn)不是可行域內(nèi)的整點(diǎn)，其附近的整點(diǎn)（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20若只截第一種鋼板，由上可知x27，所用鋼板面積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板，則y15，最少需要鋼板面積z=2

16、×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行.答：略 例6設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值.解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過(guò)程知，當(dāng)與所在直線重合時(shí)最大，此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)最小，說(shuō)明：1線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得； 2線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè).四、典型習(xí)題導(dǎo)練1畫(huà)出不等式+2y40表示的平面區(qū)域.2畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域 3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸

17、成本1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過(guò)6000元，運(yùn)費(fèi)不超過(guò)2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？5.某工廠家具車(chē)間造A、B型兩類(lèi)桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí)，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí)；又知木工、漆工每天工作分別不得超過(guò)8小時(shí)和9小時(shí)，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元，試問(wèn)工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少?gòu)?，才能獲得利潤(rùn)最大？6在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 的最大值的變化范圍是

18、A.6,15B.7,15C.6,8D.7,8§5.3 基本不等式的證明一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)為求商法).(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“-0；-0”.其一般步驟為：作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式

19、兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法.(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若，R+，/1；/1”.其一般步驟為：作商：將左右兩端作商；變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法.2.綜合法：利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”.即從已知逐步推演不等式成立的必要

20、條件從而得出結(jié)論.3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書(shū)寫(xiě)的模式是：為了證明命題成立，只需證明命題1為真，從而有，這只需證明2為真，從而又有，這只需證明為真，而已知為真，故必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式>，先假設(shè)，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定>.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、

21、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法.5.換元法：換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示.此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題； (2)增量換元法：在對(duì)稱(chēng)式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如>>等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，

22、其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn).如+=1，可以用=1-，=或=1/2+，=1/2-進(jìn)行換元.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.在用商值比較法證明不等式時(shí)，要注意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向.2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因?yàn)樗鼦l理清晰，形式簡(jiǎn)潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書(shū)寫(xiě)形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明”等字眼不寫(xiě)，就成了錯(cuò)誤.而用綜合法書(shū)寫(xiě)的形式，它掩蓋了分析、探索的過(guò)程.因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法常常是不能

23、分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫(xiě)出它的證明過(guò)程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).3.分析法證明過(guò)程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒(méi)有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問(wèn)題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了.用分析法證明問(wèn)題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”

24、、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ).4.反證法證明不等式時(shí)，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知a>b(ab),比較與的大小.錯(cuò)解： a>b(ab)，<.錯(cuò)因：簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是：當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正解：，又 a>b(ab)，(1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，即a>b>0或b<a<0時(shí)，則ab

25、>0,ba<0, ,<.(2)當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，則a>0,b<0, >0,<0>.例2 當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.錯(cuò)解：所以選B.錯(cuò)因是由于在、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實(shí)上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項(xiàng)A、B、C中，最小，而，由當(dāng)ab時(shí)，a+b>2,兩端同乘以，可得（a+b）·2ab, ，因此選D.例3 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a

26、+ )2+(b+ )2的最小值.錯(cuò)解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.錯(cuò)因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例4

27、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小.解法一： 0 < 1 - x2 < 1, 解法二： 0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, 解法三：0 < x < 1, 0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, 左 - 右 = 0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 例5已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xyac + bd證：證法一（分析法）a, b, c, d, x, y都是正

28、數(shù) 要證：xyac + bd 只需證：(xy)2(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開(kāi)得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式，顯然成立 xyac + bd證法二（綜合法）xy = 證法三（三角代換法） x2 = a2 + b2，不妨設(shè)a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(

29、a - b)xy例6 已知x > 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2a<b 由顯然 2a<b a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 上式 > 0f (x)在上單調(diào)遞增，左邊四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.比較（a+3）(a5)與（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：4.若，求證：5.若x > 1，y > 1，求證： 6證明：若a > 0，則§5.4不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.利用均值不等式求最值：如果a1，

30、a2R+，那么.2.求函數(shù)定義域、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，或證明不等式.3.涉及不等式知識(shí)解決的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，這些問(wèn)題大體分為兩類(lèi)：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問(wèn)題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關(guān)系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，特別是近幾年來(lái)，高考試題帶動(dòng)了一大批實(shí)際應(yīng)用題問(wèn)世，其特點(diǎn)是：1問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，如“物價(jià)、稅收、銷(xiāo)

31、售收入、市場(chǎng)信息”等，題目往往篇幅較長(zhǎng).2函數(shù)模型除了常見(jiàn)的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標(biāo)準(zhǔn)形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)”為模型的新的形式.三經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求y=的最小值.錯(cuò)解： y=2y的最小值為2.錯(cuò)因：等號(hào)取不到，利用均值定理求最值時(shí)“正、定、等”這三個(gè)條件缺一不可.正解：令t=,則t,于是y=由于當(dāng)t時(shí)，y=是遞增的，故當(dāng)t2即x=0時(shí)，y取最小值.例2m為何值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m23=0有兩個(gè)正根.錯(cuò)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)正根.錯(cuò)因：忽視了一元二次方程有實(shí)根的條件，即判別式大于等于

32、0.正解：由題意：因此當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)正根. 例3若正數(shù)x，y滿足，求xy的最大值解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時(shí)，取“=”號(hào)因，則，即，所以的最大值為.例4 已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值S，試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值分析：經(jīng)過(guò)審題可以看出，長(zhǎng)方體的全面積S是定值因此最大值一定要用S來(lái)表示首要問(wèn)題是列出函數(shù)關(guān)系式設(shè)長(zhǎng)方體體積為y，其長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則y=abc由于a+b+c不是定值，所以肯定要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來(lái)了解：設(shè)長(zhǎng)方體的體積為y

33、，長(zhǎng)、寬、高分別是為a，b，c，則y=abc，2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac，即a=b=c時(shí)，上式取“=”號(hào)，y2有最小值答：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都等于時(shí)體積的最大值為.說(shuō)明：對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的處理，要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，列好函數(shù)關(guān)系式是求解問(wèn)題的關(guān)健.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？2.證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比

34、截面是正方形的水管流量大.3.在四面體P-ABC中，APB=BPC=CPA=90°，各棱長(zhǎng)的和為m，求這個(gè)四面體體積的最大值4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相交，試證明對(duì)一切R都有.5青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問(wèn)漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例？6輪船每小時(shí)使用燃料費(fèi)用(單位：元)和輪船速度(單位：海里時(shí))的立方成正比已知某輪船的最大船速是18海里時(shí)，當(dāng)速度是10海里時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)用是每小時(shí)30元，其余費(fèi)用(不論速度如何)都是每小時(shí)480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費(fèi)

35、用與船速的函數(shù)關(guān)系，并問(wèn)船速為多少時(shí)，總費(fèi)用最低？5.5 推理與證明 一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 推理一般包括合情推理和演繹推理.2. 合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程.歸納、類(lèi)比是合情推理常用的思維方法.3. 歸納推理：根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理.4. 歸納推理的一般步驟：通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.5. 類(lèi)比推理：根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似性，推出其中一類(lèi)事物具有另一類(lèi)事物類(lèi)似的性質(zhì)的

36、推理.6. 類(lèi)比推理的一般步驟：找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；從一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.7. 演繹推理：根據(jù)一般性的真命題導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.8. 直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法反證法.9. 分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法. 10. 綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法. 11. 反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.12. 應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：分清命題的條件和結(jié)論；做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；間接證明命題為真.13. 數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)p

37、n是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果證明起始命題p1成立；在假設(shè)pk成立的前提上，推出pk1也成立，那么可以斷定，pn對(duì)一切正整數(shù)成立.14. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟：    （1）證明當(dāng) （如 或2等）時(shí)，結(jié)論正確；    （2）假設(shè) 時(shí)結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.歸納推理是根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理. 而類(lèi)比推理是根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似性，推出其中一類(lèi)事物具有另一類(lèi)事物類(lèi)似的性質(zhì)的推理.2. 應(yīng)用反證法證明命題的邏輯依據(jù)：做出與命題結(jié)論相矛盾的假定，由假定

38、出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果3. 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，歸納推理是一種推理方法.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,并且對(duì)于所有的自然數(shù),與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng).(1)寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng);(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程);錯(cuò)解：由(1)猜想數(shù)列有通項(xiàng)公式=4-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是=4-2. (N).當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有將=4-2代入上式，得，解得由題意,有將代入，化簡(jiǎn)得解得.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.根據(jù)、

39、,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立. 錯(cuò)因在于解題過(guò)程中忽視了取值的取舍.正解：由(1)猜想數(shù)列an有通項(xiàng)公式an=4n-2.猜想數(shù)列有通項(xiàng)公式=4-2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是=4-2. (N).當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有將=4-2代入上式，得，解得由題意,有將代入，化簡(jiǎn)得解得.由這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.根據(jù)、,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立. 例2用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意自然數(shù)，    錯(cuò)解：證明：假設(shè)當(dāng)（N）時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，

40、這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式成立可知等式對(duì)任意N成立錯(cuò)因在于推理不嚴(yán)密，沒(méi)有證明當(dāng)?shù)那闆r 正解：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左式，右式，所以等式成立（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式成立由（1）、（2），可知等式對(duì)任意N成立例3是否存在自然數(shù)，使得對(duì)任意自然數(shù)，都能被整除，若存在，求出的最大值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由分析本題是開(kāi)放性題型，先求出，再歸納、猜想、證明解：，猜想， 能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，能被36整除（2）假設(shè)當(dāng)，（N）時(shí)，能被36整除那么，當(dāng)時(shí)，             &