1979年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及解答

1、1979年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題第一試1.求證：sin3 9=4sin Osin(7+ ()sin(g+ 0)332 .已知：雙曲線的兩條漸近線的方程為x+y=0和xy=0,兩頂點(diǎn)間的距離為 2,試求此雙曲線方程.3 .在 ABC中，/ A為鈍角，求作一個(gè)面積最小的圓，把 ABC完全蓋住.4 .圓的兩條非直徑的圓相交，求證：它們不能互相平分.x- y+z= 1,(1)y-z+u=2,5 .解方程組 z-u+v=3,u v+x= 4,(4)v x+y= 5.6 .解方程：5x2+x- x5x2 1 2=0.7 .寫(xiě)出并證明立體幾何中的“三垂線定理”8 .設(shè) ABC三內(nèi)角成等差數(shù)列，三條對(duì)應(yīng)邊 a、b

2、、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試求 A、B、C.9 .已知一點(diǎn) P(3, 1)及兩直線1i： x+2y+3=0,x+2y= 7=0,試求通過(guò) P點(diǎn)且與l1、l2相切的圓 的方程.10 .已知銳角三角形的三邊 a、b、c滿足不等式a>b>c,問(wèn)四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的三個(gè)正方 形哪個(gè)最大？證明你的結(jié)論.第二試1,已知f(x)=x2-6x+5,問(wèn)滿足f(x)+f(y)W0和f(x) f(y)>0的點(diǎn)(x, y)在平面上的什么范圍內(nèi)？ 并畫(huà)圖.2 .命題“一對(duì)對(duì)邊相等及一對(duì)對(duì)角相等的四邊形必為平行四邊形”對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)證明，如 果不對(duì)，請(qǐng)作一四邊形，滿足已知條件，但它不是平行四邊形.并證

3、明你的作法.3 .設(shè)0< a<2, 0<火2,證明1 十 1: 9cos2 a sin2 o(sin2 阿os2 34 .在單位正方形周界上任意兩點(diǎn)間連了一條曲線，如果它把正方形分成兩個(gè)面積相等的兩部分,試證這條曲線的長(zhǎng)度不小于1.5 .在正整數(shù)上定義一個(gè)函數(shù)f(n)如下：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(n尸當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(n)=n+3,1°證明：對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)m,數(shù)列a0=m , a1=f(a。)，an=f(an i),中總有一項(xiàng)為 1或3.DCFEO2OiB2在全部正整數(shù)中，哪些 m使上述數(shù)列必然出現(xiàn) “3” ？哪些m使上 述數(shù)列必然出現(xiàn)“ 1” ？6 .如圖，假設(shè)兩圓

4、Oi和O2交于A、B,。1的弦BC交。O2于E, O O2的弦BD交。Oi于F,證明 若 / DBA= ZCBA,則 DF=CE ; 若 DF=CE ,則/ DBA= /CBA.7 某區(qū)學(xué)生若干名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每個(gè)學(xué)生得分都是整數(shù)，總分為 8250 分，前三名的分?jǐn)?shù)是88、 85、 80， 最低分是 30 分， 得同一分?jǐn)?shù)的學(xué)生不超過(guò)3 人， 問(wèn)至少有多少學(xué)生得分不低于60 分 （包括前三名 ）？1979年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答第一試x=105x= 一 1x=1. 2. 一八.八.1兀八.，2兀八、sin3 9=4sin 0sin(3+ ()sin(+ 0)證明：4 sin 9sin(3+

5、0)sin(2+ ()=2sin 0 cos(兀+ 2()+ cos3=2sin (Cos2 0+ sin 0=2sin 9(1 2sin2 () + sin 0 =3sin 0 4sin3 0 =sin3 0.2 .已知：雙曲線的兩條漸近線的方程為x+y=0和xy=0,兩頂點(diǎn)間的距離為2,試求此雙曲線方程.解：設(shè)雙曲線方程為 x2-y2= X,以(1, 0)及(0, 1)分別代入，得雙曲線方程為x2-y2= 1.3 .在 ABC中，/ A為鈍角，求作一個(gè)面積最小的圓，把ABC完全蓋住.解：以BC為直徑作。O,則。即為所求的最小圓.首先，BC是 ABC的最長(zhǎng)邊，對(duì)于任意直徑小于BC的圓，不可能

6、蓋住 BC.(若能蓋住，則得到圓的弦長(zhǎng)大于同圓的直徑，這是不可能的)其次，由于/ A>90 ,故點(diǎn)A在圓內(nèi).即此圓蓋住了 ABC.故證.4 .圓的兩條非直徑的弦相交，求證：它們不能互相平分.證明：設(shè)。O的弦AB、CD互相平分于點(diǎn) M,連OM,則由M是弦AB中點(diǎn).OM XAB,同理OMLCD.于是過(guò)點(diǎn) M可能作OM的兩條垂線，這是不可能的.故證.x- y+z= 1,(1)y-z+u=2,5 .解方程組z-u+v=3,u v+x= 4,(4)v x+y= 5.解：五式相加：x+y+z +u +v= 15.z=7; + ： z + x=7, + ： u+y=9,v=1;(1) + (2)： x

7、+ u=3,+ :y + v=5,x= 0, y=6, u= 3.即 x=0, y=6, z=7, u= 3, v= 1 .6 .解方程：5x2+x xV5x2- 1 2=0.解：5x2 1 > 0,x>拳或 x< 一法.(5x2 1)2 1 x 5x2 1 + x= 0,( 5x2 1 1)(寸5x2 - 1 + 1 x)=0,5x2 1=1.x= 0及 x>1 時(shí)，5x2 1= 1 2x+ x2,2x2+x 1= 0,7 .寫(xiě)出并證明立體幾何中的“三垂線定理”證明：略(見(jiàn)課本)8 .設(shè) ABC三內(nèi)角成等差數(shù)列，三條對(duì)應(yīng)邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試求A、B、C.解

8、：B= 60 , -+-1=-2-,sin60 (sinA +sinC)=2sinAsinC,sinA sinC sinBA C人A C /口12cos(AC) 3cos-2- +1=0, 'v x= cos-2-,得 4x23x1 = 0, x=1, x= -4 (舍)A=B=C= 60 .9 .已知一點(diǎn) P(3, 1)及兩直線li: x+2y+3=0, 12： x+2y=7=0,試求通過(guò) P點(diǎn)且與li、I2相切的圓 的方程.10斛：兩直線距曷 =+22=2)5,圓心在直線 x+ 2y2=0上.設(shè)圓方程為(x 2+2b)2+(yb)2=5,(3-2+ 2b)2+ (1 - b)2=

9、5,1 + 4b+4b2+1 2b+b2= 5,5b2+2b 3=0, b= - 1, b=3.5所求圓方程為(x 4)2+ (y+ 1)2= 5 (x5)2+(y 5)2= 5.10.已知銳角三角形的三邊 形哪個(gè)最大？證明你的結(jié)論.解：此正方形有 4個(gè)頂點(diǎn), 設(shè)a、b、c邊上的高分別為ha x x ,-h-=a，aha=(a+ha)x,a、b、c滿足不等式a>b>c,問(wèn)四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的三個(gè)正方故必有一邊在三角形的邊上.ha、hb、hc,且立于a邊上正方形邊長(zhǎng)為 x,x= .a+ha a+haaha=bhb=2S, a>b,于2S 2S2Sa+ ha (b + hb)

10、=(a-b)+(-)= (a b)(1 -0b) = (a- b)(1 sinC)>0.1 .并畫(huà)圖.a+ ha>b+ hb>c+ hc.立于c邊上的正方形最大.第二試已知f(x)=x2 - 6x+5,問(wèn)滿足f(x)+f(y)W0和f(x) f(y)>0的點(diǎn)(x, y)在平面上的什么范圍內(nèi)?解：f(x)+f(y)<0,x2-6x+5+y2-6y+5<0,(x- 3)2+(y-3)2< 8,表示以(3, 3)為圓心，2-只為半徑的圓及圓內(nèi)部分.f(x)-f(y)>0,x2-6x-y2+6y>0,(x 3)2 (y-3)2>0一 6)(x

11、 一 y) > 0.所求圖形為陰影部分.2 .命題“一對(duì)對(duì)邊相等及一對(duì)對(duì)角相等的四邊形必為平行四邊形” 對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)證明，如果不對(duì)，請(qǐng)作一四邊形，滿足已知條件，但 它不是平行四邊形.并證明你的作法.證明：不對(duì)，如圖，作 ABD,及過(guò)B、A、D三點(diǎn)的弧，以BD為軸作此 弧的對(duì)稱(chēng)圖形，以 D為圓心，AB為半徑作弧與所作對(duì)稱(chēng)弧有兩個(gè)不同的交點(diǎn) C、C ,則四邊形 ABCD、ABC D都是有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊 形，其中有一個(gè)不是平行四邊形.(x+y7t兀兀 、一一3.設(shè)0< a<2, 0<火2,證明證明:cos2 0+ sin2 osin2 阿os29 

12、9;1 1 J 4, 1 1cos2a sin2osin2 阿os21cos2a sin2o(sin22 3 coda sin2 a=tan2 c+1+4cot2 a+4 > 5+2 74tan2 ocot2 = 9.aha 2S4 .在單位正方形周界上任意兩點(diǎn)間連了一條曲線，如果它把正方形分成兩個(gè)面積相等的兩部分,試證這條曲線的長(zhǎng)度不小于1 .證明 設(shè)M、N是單位正方形周界上兩點(diǎn)，曲線 MN把正方形的面積兩等分.1 若M、N分別在正方形的對(duì)邊上 （圖1）,于是曲線 MN>線段 MN>1.圖1圖2圖32若M、N分別在正方形的一組鄰邊上 （圖2 ）.連對(duì) 角線AC,則曲線MN必

13、與AC相交（若不相交，則曲線 MN 全部在AC的一邊，它不可能平分正方形的面積 ）,設(shè)其中 一個(gè)交點(diǎn)為P,作曲線 的PN段關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)曲線PN', 則點(diǎn)M、N'在正方形的一組對(duì)邊上，而曲線 MN'的長(zhǎng)度等 于曲線MN的長(zhǎng)度.于是化歸為情形 1 .EF,則曲線MN必與3若M、N分別在正方形的一條邊 AB上（圖3）.連對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)EF相交（理由同上），設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為 P,作曲線 的PN段關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)曲線PN',則點(diǎn)M、N' 在正方形的一組對(duì)邊上，而曲線MN'的長(zhǎng)度等于曲線 MN的長(zhǎng)度.于是化歸為情形 1 .綜上可知，命題成立.5 .在正

14、整數(shù)上定義一個(gè)函數(shù)f（n）如下：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n尸當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n）=n+3,1 °證明：對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)m,數(shù)列ao=m , a1二f（a。），an=f（an 1）,中總有一項(xiàng)為1或3.2在全部正整數(shù)中，哪些 m使上述數(shù)列必然出現(xiàn)“ 3” ？哪些m使上述數(shù)列必然出現(xiàn)“ 1” ？ 證明：1°,當(dāng)an>3時(shí)，若an為偶數(shù)，則an+1=2<an,若an為奇數(shù)，則an+2=a2<an,即于是在an中可以找出一個(gè)單調(diào)遞減的子序列，由于該序列的每項(xiàng)都是正整數(shù)，故進(jìn)行到某一項(xiàng)時(shí)序列的項(xiàng)w 10,此時(shí)當(dāng)an=3, 6, 9時(shí)，出現(xiàn)如下的項(xiàng)： 9一 12一6一3一

15、6一3一；當(dāng)anW10且3»an時(shí)，出現(xiàn)如下 的項(xiàng)：7一 10- 5一 8 一 4一 2 一 1;總之，該數(shù)列中必出現(xiàn) 1或3.2。當(dāng)m為3的倍數(shù)時(shí)，若 m為偶數(shù)，m仍為3的倍數(shù)；若m為奇時(shí)，m+3是3的倍數(shù)，總之a(chǎn)n對(duì)于一切nC N*,都是3的倍數(shù)，于是，上述數(shù)列中必出現(xiàn)3,當(dāng)m不是3的倍數(shù)時(shí)，m（若m為偶數(shù)）與m+3（若m為奇數(shù)）都不能是3的倍數(shù)，于是an不是3的倍數(shù)，故anw 3,此時(shí)數(shù)列中必出現(xiàn)1.6 .如圖，假設(shè)兩圓 Oi和O2交于A、B, O Oi的弦BC交。2于E,。2的弦BD交。Oi于F, 證明 若 / DBA= ZCBA,則 DF=CE ; 若 DF=CE ,則/ DBA= /CBA.證明：連 AC、AD、AE、AF,由ADBE是圓內(nèi)接四邊形，得/ AEC= ZD,同理/ C=/AFD.從而/ DAF=/CAF. 若/ DBA= ZCBA,則 AD=AE , AF=AC ,（同圓內(nèi)，圓周角等，所 對(duì)弦等）于是， ADFA AEC, DF=CE . 若 DF=CE ,貝1!4 ADFA AEC, AD=AE , / DBA= / CAF .7 .某區(qū)學(xué)生若干名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每個(gè)學(xué)生得分都是整數(shù)，總分為825