(完整版)數(shù)學(xué)系常微分方程期末試卷A及答案

1、年月日人題審 師教課任 一 號學(xué)題號一一三四五六七總 分分?jǐn)?shù)閱卷人試卷份數(shù)考試本科考試科目常微分方程(A)二名姓 班 級 系院學(xué)計數(shù)試卷說明：1、該門考試課程的考試方式：閉卷；2、考試所用時間：120分鐘。3、考試班級：數(shù)計學(xué)院數(shù) 11級一、填空題（每小題3分，本題共15分）1 .方程x（y2 1）dx y（x2 1）dy 0所有常數(shù)解是 .2 .方程y 4y 0的基本解組是.3 .方程dy x2 sin y滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 .4 .線性齊次微分方程組的解組 Y1（x）,Y2（x）, ,Yn（x）為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式 W（x） 0 .5 . 一個不可延展解的

2、存在在區(qū)間一定是 區(qū)間.二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6 .方程dy x 3 y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（）.（A）上半平面（B） xoy平面 （C）下半平面（D）除y軸外的全平面7 .方程dy Jy 1 （）奇解.dx（A）有一個（B）有兩個（C）無 （D）有無數(shù)個8 . n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（）個.（A） n（B） n-1（C） n +1（D） n+29、微分方程xln x y y的通解 ()B、yc1x ln x 1D、ycix ln x 1c2).(B)構(gòu)成一個n 1維線性空間(D)不能構(gòu)成一個線性空間A、y c1xln x c2C、

3、y xln x10 . n階線性非齊次微分方程的所有解(A)構(gòu)成一個線性空間(C)構(gòu)成一個n 1維線性空間三、簡答題(每小題6分，本題共30分)11 .解方程曳ex y dx12 .解方程（x 2y）dx xdy 0第2頁(共 5頁)年月日13.14.yy解方程 e dx (xe 2y)dy 0.、一 dy y ,解方程i i 1 dx xd 2x一 dx一一15 .試求 - 3 2x0的奇點類型及穩(wěn)定性dt2 dt四、計算題（每小題10分，本題共20分），、1 X ，一16 .求萬程y y e的通解217 .求下列方程組的通解2x ydx dt dy dt第4頁（共 5頁）五、綜合能力與創(chuàng)新

4、能力測試題(每小題10分，本題共20分)18 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(,)上連續(xù)，求證：若 p(x)恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式川(*)是(，)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x), q(x)在(,)上連續(xù).求證：該方程的任一非零解在 xoy平面上不能與x軸相切.12-13-2學(xué)期期末考試常微分方程A參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院）制卷 審核一、填空題（每小題3分，本題共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3 . xoy平面4 .充分必要5.開二、單項選擇題

5、（每小題3分，本題共15分）6. D 7. C 8. A 9. D 10. D三、簡答題（每小題6分，本題共30分）11 .解分離變量得eydy exdx（3 分）等式兩端積分得通積分ey ex C（6 分）12.解方程化為（2分）（4分）（5分）（6分）dy 12、dxx令y xu ,則dy u x-du-,代入上式，得 dxdxdu .x 1 udx分量變量，積分，通解為u Cx 1原方程通解為y Cx2 x13 .解 對應(yīng)齊次方程dy y 的通解為 dx xy Cx（2 分）令非齊次方程的特解為y C（x）x（3 分）代入原方程，確定出c/（x）（4分）再求初等積分得C（x）ln x C

6、（5分）因此原方程的通解為（6分）y Cx + xlnx（2分）14 .解： 由于a ey N ,所以原方程是全微分方程. yx?。▁°, y0）（0, 0）,原方程的通積分為15.解:xeydx2ydyxey（4分）（6分）人dx令dtV，則:dydt3y2x因為0,又由0解之得11，22為兩相異實根，且均為負(fù)故奇點為穩(wěn)定結(jié)點，對應(yīng)的零解是漸近穩(wěn)定的。四、計算題（每小題10分，本題共20分）16.解：對應(yīng)的齊次方程的特征方程為：（1分）特征根為:1, 2（2分）故齊次方程的通解為:C1exC2e x（4分）因為1是單特征根.所以,設(shè)非齊次方程的特解為（6分）xy（x） Axe代入原

7、方程，有可解出故原方程的通解為17.解:特征根為可確定出2AexC1ex特征方程為Axex2對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足1a12 b1Axex1 -xe4(7分)(8分)(10 分)(2分)(5分)同樣可算出21對應(yīng)的特征向量為(8分)a2 b2所以，原方程組的通解為xC1 y2te2e2tC2tete(10 分)五、綜合能力與創(chuàng)新能力測試題(每小題 10分，本題共20分)18.證明 設(shè)y(x), y2(x)是方程的基本解組，則對任意),它們朗斯基行列式在()上有定義，且 W(x) 0 .又由劉維爾公式W(x)W(x0)exp(s)dsx0,x。(5分)xW (x)W(x0)ep(s)dsx0p(x)由于W(x0)0, p(x) 0,于是對一切x (W (x) 0 或 W (x) 0故 川門)是(，)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).(10分)19證明：由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是(,) ( 2 分)顯然，該方程有零解y(x) 0( 5 分)假設(shè)該方程的彳E一非零解y1(x)在x軸上某點x0處與x軸相切，即有y1(x0) y1(x0) = 0,那么