(完整版)五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道.教師版.docx

1、MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道（A級(jí)）.教師版P age 6 of11知識(shí)框架本講中的行程問(wèn)題是特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決 多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合 理的線段圖進(jìn)行分析。一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和二相遇時(shí)間X速度和路程差二追及時(shí)間X速度差二、解環(huán)形跑道問(wèn)題的一般方法：環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 則每追上一圈相遇一次.這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例題精講環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)直徑

2、兩端同向：路程差nSnS +0.5 S相對(duì)（反向）：路程和nSnS-0.5 S【例1】一個(gè)圓形操場(chǎng)跑道的周長(zhǎng)是500米，兩個(gè)學(xué)生同時(shí)同地背向而行.黃鶯每分鐘走 66米，麻雀每分鐘走59米.經(jīng)過(guò)幾分鐘才能相遇 ？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】黃鶯和麻雀每分鐘共行66 59 125 （千米），那么周長(zhǎng)跑道里有幾個(gè) 125米，就需要幾分鐘，即500 66 59) 500 1254 （分鐘）.【答案】4分【鞏固】周老和王老沿著學(xué)校的形林道散步，王老每分走55米，周老每分走 65米。已知林道周是 480米，他從同一地點(diǎn)同背向而行。在他第10次相遇后，王老再走米就回到出點(diǎn)?！究键c(diǎn)】

3、行程之形跑道【度】型】填空【解析】幾分相遇一次：480 +（55 + 65 ）=4 （分）10次相遇共用：4 X 10=40 （分）王老 40 分行了： 55 X40=2200（米）2200 4-480=4 （圈）280 （米）所以正好走了 4圈多280米，480 - 280-200（米）答：再走 200米回到出點(diǎn)。【答案】200米【例2】上海小學(xué)有一 300米的形跑道，小和小胖同從起跑起跑，小每秒跑6米，小胖每秒跑4米，（1）小第一次追上小胖兩人各跑了多少米？自）小第二次追上小胖兩人各跑了多少圈？【考點(diǎn)】行程之形跑道【度】型解答【解析】第一次追上，小多跑了一圈，所以需要300 （6 4） 1

4、50秒，小跑了 6 150 900 （米）。小胖跑了 4 150 600（米）；第一次追上，小胖跑了 2圈，小跑了 3圈，所以第二次追上，小胖跑4圈，小跑6圈?！敬鸢浮啃∨峙?圈，小跑6圈【鞏固】小和小王各以一定速度，在周500米的形跑道上跑步,小王的速度是200米/分.小和小王同從同一地點(diǎn)出，反向跑步，1分后兩人第一次相遇，小的速度是多少米/分？小和小王同從同一點(diǎn)出，同一方向跑步，小跑多少圈后才能第一次追上小王？【考點(diǎn)】行程之形跑道度型解答【解析】?jī)扇讼嘤觯簿褪呛掀饋?lái)跑了一個(gè)周的行程.小的速度是500 1 200 300 （米/分）.在形的跑道上，小要追上小王，就是小比小王多跑一圈（一個(gè)周

5、）,因此需要的是：500 (300 200)5 (分).300 5 5003 (圈).(2) 3 圈【答案】300米/分【例3】小新和正南在操場(chǎng)上比賽跑步，小新每分鐘跑250米，正南每分鐘跑210米，一圈跑道長(zhǎng)800米,他們同時(shí)從起跑點(diǎn)出發(fā)，那么小新第三次超過(guò)正南需要多少分鐘？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】小新第一次超過(guò)正南是比正南多跑了一圈，根據(jù)S差v差t,可知小新第一次超過(guò)正南需要：800 (250 210) 20價(jià)鐘)，第三次超過(guò)正南是比正南多跑了三圈，需要800 3 (250 210) 60價(jià)鐘).【答案】60分鐘【鞏固】幸福村小學(xué)有一條 200米長(zhǎng)的環(huán)形跑道，

6、冬冬和晶晶同時(shí)從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6米，晶晶每秒鐘跑4米，問(wèn)冬冬第一次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少米，第 2次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答少圈?600米)，又知道了冬冬和晶晶的【解析】這是一道封閉路線上的追及問(wèn)題，冬冬與晶晶兩人同時(shí)同地起跑，方向一致.因此，當(dāng)冬冬第一次追上晶晶時(shí)，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個(gè)周長(zhǎng) 速度，于是，根據(jù)追及問(wèn)題的基本關(guān)系就可求出追及時(shí)間以及他們各自所走的路程.冬冬第一次追上晶晶所需要的時(shí)間：200 (6 4) 100秒)冬冬第一次追上晶晶時(shí)他所跑的路程應(yīng)為：6 100 600集)晶晶第一次被追上時(shí)所跑的路程：4 10

7、0 400穌:)冬冬第二次追上晶晶時(shí)所跑的圈數(shù)：(600 2) 200 6倜)晶晶第2次被追上時(shí)所跑的圈數(shù)： (400 2) 2004陶)【答案】4圈250米，乙每分鐘跑 200米，兩人同時(shí)同例4兩名運(yùn)動(dòng)員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長(zhǎng)跑.甲每分鐘跑地同向出發(fā)，經(jīng)過(guò) 45分鐘甲追上乙；如果兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人相遇?【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】在封閉的環(huán)形道上同向運(yùn)動(dòng)屬追及問(wèn)題，反向運(yùn)動(dòng)屬相遇問(wèn)題.同地出發(fā)，其實(shí)追及路程或相隔距離就是環(huán)形道一周的長(zhǎng).這道題的解題關(guān)鍵就是先求出環(huán)形道一周的長(zhǎng)度.環(huán)形道一周的長(zhǎng)度可根據(jù)兩人同向出發(fā)，45分鐘后甲追上乙，由追及問(wèn)題

8、，兩人速度差為：250 200 50 （米/分）, 所以路程差為：50 45 2250味），即環(huán)形道一圈的長(zhǎng)度為 2250米.所以反向出發(fā)的相遇時(shí)間 為：2250 （250200） 5 份鐘）.【答案】5分鐘【鞏固】?jī)扇嗽诃h(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)， 小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】（4+3 ） X45=315 米一一環(huán)形跑道的長(zhǎng)（相遇問(wèn)題求解）315 + （4-3 ）=315秒一一（追及問(wèn)題求解）【答案】315秒【例5】在300米的環(huán)形跑道上，田奇和王強(qiáng)同學(xué)同時(shí)同地起跑，

9、如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】同向而跑，這實(shí)質(zhì)是快追慢.起跑后，由于兩人速度的差異，造成兩人路程上的差異，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，兩人間的距離不斷拉大，到兩人相距環(huán)形跑道的半圈時(shí)，相距最大.接著，兩人的距離 又逐漸縮小，直到快的追上慢的，此時(shí)快的比慢的多跑了一圈.背向而跑即所謂的相遇問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系為：路程和速度和 相遇時(shí)間.同向而行 2分30秒相遇，2分30秒=150秒，兩個(gè)人的速度和為：300 150=2 （米/秒），背向而跑則半分鐘即30秒相遇，所以兩個(gè)人的速度差為： 300 30=10 （米/秒）

10、.兩人的速度分別為：（10 2） 2 4俅/秒），10 4 6味/秒）【答案】6米/秒【鞏固】在400米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時(shí)同地起跑，如果同向而行 3分20秒相遇，如果背向而 行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【解析】甲乙的速度和為： 400 40 10俅/秒），甲乙的速度差為： 400 200 2集/秒），甲的速度為：（10 2） 2 6俅/秒），乙的速度為：（10 2） 2 4集/秒）.【答案】4米/秒例6 周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走 65米。已知林蔭道周長(zhǎng)是480米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而行。在他們第10次相遇

11、后，王老師再走 米就回到出發(fā)點(diǎn)?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】?jī)扇嗣抗沧?圈相遇1次，用時(shí)480 -? （55+60）=4 （分）,到第10次相遇共用40分鐘，王老師共走了。55 X40=2200 （米），要走到出發(fā)點(diǎn)還需走，480 X5-2200=200（米）【答案】200米【鞏固】在周長(zhǎng)為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以6米/秒，5米/秒的騎車速度同時(shí)同向出發(fā)，沿跑道行駛。問(wèn)： 16分鐘內(nèi)，甲追上乙多少次 ？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】甲、乙二人第一次相遇時(shí)，一共走過(guò)的路程是竺= 100（米）.所需要的時(shí)間是丫（秒）以后，

12、60 16 pi1 = 53.3 ,11211兩人每隔把秒）相遇一次因?yàn)?216分鐘內(nèi)二人相遇 53次.【答案】53次【例7】甲、乙二人在操場(chǎng)的400米跑道上練習(xí)競(jìng)走，兩人同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)甲在乙后面，出發(fā)后 6分甲第一次超過(guò)乙，22分時(shí)甲第二次超過(guò)乙。假設(shè)兩人的速度保持不變，問(wèn)：出發(fā)時(shí)甲在乙后面多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】150米。提示：甲超過(guò)乙一圈（400米）需22 6 = 16 （分）?！敬鸢浮?6分MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道（A級(jí)）.教師版P age 9 of11【鞏固】在400米的環(huán)行跑道上，A, B兩點(diǎn)相距100米。甲、乙兩

13、人分別從 A , B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按 逆時(shí)針?lè)较蚺懿健＜准酌棵肱?米，乙每秒跑 4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么甲追上乙需要時(shí)間是多少秒？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 甲實(shí)際跑100/（ 5-4 ）=100 （秒）時(shí)追上乙，甲跑100/5=20 （秒），休息10秒；乙跑100/1=25（秒），休息10秒，甲實(shí)際跑 100秒時(shí)，已經(jīng)休息4次,剛跑完第 5次，共用140 秒；這 時(shí)乙實(shí)際跑了 100秒，第4次休息結(jié)束。正好追上?！敬鸢浮?40秒【例8 有甲、乙、丙 3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，丙每分鐘行走70米.如果3個(gè)人 同時(shí)同向，從同

14、地出發(fā)，沿周長(zhǎng)是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之后,3人又可以相聚在跑道上同一處？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答5【解析】由題意知道：甲走完一周需要時(shí)間為300 120二一（分）；乙走完一周需要時(shí)間為300 +100=3230（分）丙走完一周需要時(shí)間為 300 +700=_ ,那么三個(gè)人想再次相聚在跑道同一處需要時(shí)間為：75 305,30,330八,330 分2 72,7,11【答案】30分【鞏固】如下圖所示的三條圓形跑道，每條跑道的長(zhǎng)都是0.5千米，A、B、C三位運(yùn)動(dòng)員同時(shí)從交點(diǎn) 。出發(fā)，分別沿三條跑道跑步， 他們的速度分別是每小時(shí) 4千米，每小時(shí)8千米，每小時(shí)6千米。

15、問(wèn)： 從出發(fā)到三人第一次相遇，他們共跑了多少千米？MSDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道（A級(jí)）.教師版P age 10 of11【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】【答案】例9 【考點(diǎn)】【解析】1 1 1三個(gè)運(yùn)動(dòng)員走完一圈的時(shí)間分別為8 4、日寸、 16小時(shí)、12小時(shí)，他們?nèi)讼嘤龅攸c(diǎn)只能是_ 一 ° 點(diǎn),_所以三人相遇時(shí)間是 1小時(shí)、1小時(shí)、 1小時(shí)的公倍數(shù)，即 1小時(shí)，分別跑了 2圈、4圈、3 816124圈,共計(jì)4.5千米。4.5千米【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】【解析】【答案】林琳在450米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑一圈, 那么她的后一半路程跑了多少秒？行程

16、問(wèn)題之環(huán)形跑道設(shè)總時(shí)間為X,則前一半的時(shí)間為X/2 將+X/2M = 450X = 100總共跑了 100秒前50秒每秒跑5米，跑了 250米后50秒每秒跑4米，跑了 200米后一半的路程為450 -2=225米后一半的路程用的時(shí)間為(250也2555秒某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈, 則他后一半路程跑了多少秒？行程問(wèn)題之環(huán)形跑道已知她前一半時(shí)間每秒跑【難度】X勿,后一半時(shí)間同樣為X25米，后一半時(shí)間每秒跑 4米,【題型】解答4444)+5+50 = 55 秒已知他前一半時(shí)間每秒跑【難度】5米，后一半時(shí)間每秒跑 4米,【題型】解答【例10 甲和乙兩人分別從圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速

17、按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M SDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道（A級(jí)）.教師版P age 7 of11M SDC模塊化分級(jí)講義體系五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道（A級(jí)）.教師版P age 9 of1160米處又第二次相遇。求此圓形場(chǎng)地的乙走了 100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前周長(zhǎng)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完，圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙1 3共走完1+ _=1圈的路程.所以從開始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1： 3 ,因而第二次相2

18、2遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即100義3二300 米.有甲、乙第二次3相遇時(shí)，共行走（1圈 60）+300,為 圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米.2【答案】480米【鞏固】如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)?A點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)?C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).【解析】第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng)；第二次相遇，兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所 走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的

19、3倍，即A到D是803 n 240（X ）. 240 60 180 俅）.180 2 360 張）.【答案】360米夕課堂檢測(cè)【隨練1】小明和小剛清晨來(lái)到學(xué)校操場(chǎng)練習(xí)跑步，學(xué)校操場(chǎng)是400米的環(huán)形跑道，小剛對(duì)小明說(shuō)：“咱們比比看誰(shuí)跑的快”,于是兩人同時(shí)同向起跑，結(jié)果10分鐘后小明第一次從背后追上小剛，同學(xué)們一定知道誰(shuí)跑得快了，小明的速度是每分鐘跑 140米，那么如果小明第3次從背后追上小剛時(shí)，小剛一共跑了 米.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空【解析】140 10 400 1000 米，1000 33000 米。【答案】3000米【隨練2】在環(huán)形跑道上，兩人在一處背靠背站好，然后開

20、始跑，每隔 4分鐘相遇一次；如果兩人從同處 同向同時(shí)跑，每隔 20分鐘相遇一次，已知環(huán)形跑道的長(zhǎng)度是1600米，那么兩人的速度分別是多少？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】?jī)扇朔聪蜓丨h(huán)形跑道跑步時(shí)，每隔 4分鐘相遇一次，即兩人 4分鐘共跑完一圈；當(dāng)兩人同向跑步時(shí)，每20分鐘相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分鐘.兩人速度和為：1600 4 400 （米/分），兩人速度差為：160020 80 （米/分），所以兩人速度分別為：（400 80） 2240 （米/分），400 240 160 俅/分）【答案】160米/分【隨練3】甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)

21、同時(shí)出發(fā)，背向而行.現(xiàn)在已知甲走一圈的時(shí)間是70分鐘，如果在出發(fā)后 45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時(shí)間是多少分鐘？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】甲行走45分鐘，再行走 70 45=25分鐘即可走完一圈.而甲行走45分鐘，乙行走45分鐘也能走完一圈.所以甲行走25分鐘的路程相當(dāng)于乙行走45分鐘的路程.甲行走一圈需 70分鐘，所以乙需70 25 X45=126分鐘.即乙走一圈的時(shí)間是126分鐘.【答案】126分鐘【隨練4】A、B是圓的直徑的兩端，甲在 A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇.已知 C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)

22、圓的周長(zhǎng)是多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】340【答案】340溫世家庭作業(yè)【作業(yè)1】一條環(huán)形跑道長(zhǎng) 400米，甲騎自行車每分鐘騎 450米，乙跑步每分鐘 250米，兩人同時(shí)從同地 同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人相遇？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】400 （450 250） 2 （分鐘）.【答案】2分鐘【作業(yè)2如圖1,有一條長(zhǎng)方形跑道，甲從 A點(diǎn)出發(fā)，乙從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按順時(shí)針?lè)较虮寂?，甲每?跑5米，乙每秒跑 4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，甲跑了 圈?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空五年級(jí)奧數(shù).行程.環(huán)形跑道（A級(jí)）.教師版P age 10 of 20【解析】（10+6） +（5-4.5）二32 秒，甲跑了 5 X32 +32=5 圈【答案】5圈【作業(yè)3】一條環(huán)形跑道長(zhǎng) 400米，小青每分鐘跑 260米，小蘭