(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)離散型隨機變量及其概率分布教案(含解析)

1、11.4 離散型隨機變量及其概率分布考情考向分析以理解離散型隨機變量及其概率分布的概念為主，考查離散型隨機變量、離散型隨機變量的概率分布的求法在高考中常以解答題的形式進行考查，難度多為中低檔71 .離散型隨機變量的概率分布(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機變量,常用字母X, Y, I , T,表示，所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量.2 2) 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為 X1, X2,，Xi,，xn, X取每一個值Xi(i=1,2,，n)的概率 P(X= Xi)=p,則稱表XX1X2XiXnPPiP2piPn為離散型隨機變量 X的概率分布表.(3)離散型隨

2、機變量的概率分布的性質(zhì):Pi >0, i = 1,2 ,，n； P1+P2+ p + + Pn=1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和二2 .兩點分布如果隨機變量X的概率分布表為X01P1 pp其中0卬<1,則稱離散型隨機變量 X服從兩點分布.3 .超幾何分布般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有MW N)件次品.從中任取n(n< N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么CMCnL MP(X= r)=b (r= 0,1,2 ,，l).X01lPC&CN- M CNcMcN- mccN m ""CT其中 l = m

3、in( M n),且 nW N, Me N, n, M NC N*.如果一個隨機變量 X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.概 念 方 法 微 思 考1 隨機變量和函數(shù)有何聯(lián)系和區(qū)別？提示 區(qū)別：隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量是隨機試驗結(jié)果到實數(shù)的映射，函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的映射；聯(lián)系：隨機試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域2 離散型隨機變量X 的每一個可能取值為實數(shù)，其實質(zhì)代表的是什么？提示 代表的是“事件”，即事件是用一個反映結(jié)果的實數(shù)表示的3如何判斷所求離散型隨機變量的概率分布是否正確？提示 可用pi >0, i = 1,2

4、,，n及pi+ P2+ pn= 1檢驗.題組一 思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打或“X”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量.( V )2 2) 離散型隨機變量的概率分布描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象(3)某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布.(X )(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù) X服從超幾何分布.( V )(5)離散型隨機變量的各個可能取值表示的事件是彼此互斥的.(V )題組二教材改編2 . P48練習(xí)T3設(shè)隨機變量X的概率分布如下：X12345P111112636P則p =答案4,1111解析

5、由概率分布的性質(zhì)知， 12+6+3+g+p= 1，p=1-43 . P52T1有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是.答案 0,1,2,3解析因為次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0,1,2,3.題組三易錯自糾4 .袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是 .(填序號)至少取到1個白球；至多取到 1個白球；取到白球的個數(shù)；取到的球的個數(shù).答案解析 表述的都是隨機事件；是確定的值2,并不隨機；是隨機變量，可能取值為0,1,2.5 .隨機變量X等可能取值1,2,3 ,，n,如果P(X<4)=0.3,則

6、n =.答案 10解析 由 RX<4)= RX= 1) +RX= 2) + RX= 3) =+n = 3=0.3 ,得 n=10.盒中,答案解析6 .一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取 3個球來用，用完后裝回 此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則 P(X= 4)的值為.27220由題意知取出的 3個球必為2個舊球、1個新球，故 P(X= 4)=CC?= 2270.題型一離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)1.離散型隨機變量 X的概率分布規(guī)律為RX= n)=n na1 (n=1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則1 5p 2<x<2的值為.答案6一a解析 . PX=

7、 n)=n-n7T(n=1,2,3,4),”+a+ 旦+a=i,=52 6 12 20， a 4'15P 2<X<2 = RX= 1) + P(X= 2)#5 15 15=X | X -=一.4 2 4 6 6252.設(shè)離散型隨機變量P" =0) =RX= 1) =0.1 ,R 刀=2) = RX= 3) =0.3 ,X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m求2X+ 1的概率分布.解由概率分布的性質(zhì)知,0. 2+0.1 +0.1 +0.3 +m 1,得 m 0.3.列表為X012342X+ 113579從而2X+ 1的概率分布為2X+ 113579P

8、0.20.10.10.30.3引申探究1 .若題2中條件不變，求隨機變量t =|X- 1|的概率分布.解由題2知m= 0.3 ,列表為X01234|X-1|101231- P( t = 1) = P(X= 0) + RX= 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3 ,P(刀=3) = R X= 4) = 0.3.故刀=| X 1|的概率分布為0123P0.10.30.30.32.若題2中條件不變，求隨機變量t =X的概率分布.解依題意知Y的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而Y =X2的概率分布為014916P0.20.10.10.30.3思維升華(1)利用概率分布

9、中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù).(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.題型二離散型隨機變量的概率分布的求法多維探究命題點1與排列、組合有關(guān)的概率分布的求法例1在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1, A A A A, A和4名女志愿者 B,艮，R, 3,從中隨機抽取

10、5人接受甲種心理暗示， 另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的概率分布.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的事件為MntC8 5則P(M=cr6(2)由題意知，X可取的值為0,1,2,3,4 ,則C61P(X= 0)=或=4?P(X= 1)=c6c45C50 =21'C3C4P(X= 2)=篇1021，C2C45P(X= 3)= c5T = 2?4C6C4P(X= 4)=高142.X01234P151051422T212142因此X的概率分布為命題點2與互斥事件有關(guān)的概率

11、分布的求法例2已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出 3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出 3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的概率分布. A2A33解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件 A,則RA) =72-=訕.(2) X的可能取值為200,300,400.A2 1P(X= 200) = A2= 10-, A510A3+G1G3A13P(X= 300)

12、= -=而，P( X= 400) = 1 -P(X= 200) P( X= 300)1 _3 3=1 io-10= 5.故X的概率分布為X200300400P13310105命題點3與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的概率分布的求法例3(2018 蘇州期初)在公園游園活動中有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球和2個黑球，乙箱子里裝有 1個白球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲都從這兩個箱子里各隨機地摸出 2個球，若摸出的白球不少于 2個，則獲獎.每次游戲結(jié)束后將球放 回原箱.(1)求在一次游戲中摸出 3個白球的概率；(2)在兩次游戲中，記獲獎次數(shù)為X,求X的概率分布.3個白球”為事

13、件A,解(1)記“在一次游戲中摸出P(A)=G2G2= 1.G5G3 51故在一次游戲中推出3個白球的概率為5.(2) X的所有可能取值為0,1,2 ,記“在一次游戲中摸出 2個白球”為事件 B,P(B) =C2C2+C1C2C11CC3= 2,1 17則在一次游戲中獲獎的概率為5+2=而.33P(X= 0) = X '110 102150?173P(X= 1) = C2x -x -=774910 10P(X= 2) = -X=一10 10 100X的概率分布為X012P9214910050100思維升華求離散型隨機變量 X的概率分布的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2

14、)求X取每個值的概率；(3)寫出X的概率分布.求離散型隨機變量的概率分布的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng) 用計數(shù)原理、古典概型等知識.跟蹤訓(xùn)練1連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第 i次得到的點數(shù)為 a ,若存在正整數(shù)k,使a1 + a2+ak=6,則稱k為你的幸運數(shù)字.(1)求你的幸運數(shù)字為 3的概率；(2)若k=1,則你的得分為6分；若k=2,則你的得分為4分；若k=3,則你的得分為2分;若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分E的概率分布.解(1)設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A,則它包含事件A, A,A3,其中A:三次恰好均為2; A2:三次中恰好為1,2

15、,3各一次；A3:三次中有兩次均為 1 , 一次為4.A, A A3為互斥事件，則1 3 _1 1111112 15P(A) = P(A) + PAa) + P(A3)=c3 6 3+C1- 6 - c2 - 6 - c1 - + C3 6 2(2)由已知得士的可能取值為6,4,2,011 21115= 1=356 36 108 54P(E=6)=6,也=4)= 6 +2XC2X6><6=36,5P( E =2)=疝 R E =0) 108故e的概率分布為6420P1553563610854題型三超幾何分布 例4某外語學(xué)校的一個社團中有 7名同學(xué)，其中2人只會法語，2人只會英語，3

16、人既會法語又會英語，現(xiàn)選派 3人到法國的學(xué)校交流訪問.求: (1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的概率分布.解(1)設(shè)事件A:選派的3人中恰有2人會法語，則 P(A)=警=4. C77(2)由題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3C34P(X= 0) = CT 3?C4C3 18P(X=止不=點P(X= 2)=c4c3 12C7 =35'C31P(X= 3) = C3= 3?X0123P418121353535351- X的概率分布為思維升華(1)超幾何分布的兩個特點超幾何分布是不放回抽樣問題；隨機變量為抽到的某類個體的

17、個數(shù).(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類不同的物品(或人、事)；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體.跟蹤訓(xùn)練2PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn) GB3095- 2012, PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方 米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85頻數(shù)

18、311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出 3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記 乙表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求 己的 概率分布.解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A,C3C2則 P( A) = kC102140.(2)由條件知，工 服從超幾何分布，其中N= 10, M= 3, n=3,且隨機變量七的可能取值為0,1,2,3.(k=0,1,2,3)P( E =k)=c3 mk0123P72421407401 120cC0C37.E = 0)=24,P(

19、E =1)c3c7 21c3r=4o,P( E =2)C2C77c3r=4o,C3C01P( e =3) = c3r=i20.故E的概率分布為1 .某射手射擊所得環(huán)數(shù) X的概率分布為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為答案 0.79解析 根據(jù)X的概率分布知，所求概率為0.28 +0.29 + 0.22 =0.79.2 .從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量 己表示所選3人中女生的則 R /1)=答案c4c2 4解析P( 1)=1 P( E =2) =1方=5.3 .設(shè)X是一個離散型隨機變量，其概

20、率分布為答案3332一 萬X10112 3q2P3q解析1 c C 22 3q + q =1,3q2-3q+ 4 = 0,解得 q = |±乂33.又由題意知 0<q2<2,，q=3 32632334 .設(shè)隨機變量E的概率分布為P( E = k) = m- k(k= 1,2,3),則m的值為3-27 昌木38解析由概率分布的性質(zhì)得P( E =1) +RE =2) + PH =3)22 22 3 38m=mx 3+ mx 3 +mx 3 芋=1，27. " 38.5. (2018 江蘇省常州市田家炳高級中學(xué)期末 )袋中有2個白球，1個紅球，這些球除顏色外 完全相同

21、.現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取 1個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn) 2次時停止, 設(shè)停止時共取了 X次球，則P(X= 4)=.答案427解析所以由題意可知最后一次取到的是紅球，前dC3224RX= 4）= 丁=2?3次有1次取到紅球,6.某班級在2018年國慶節(jié)晚會上安排了迎國慶演講節(jié)目，共有6名選手依次演講，則選手甲不在第一個也不在最后一個演講的概率為 答案34A 2云=3.解析 6名選手依次演講有屋種方法，選手甲不在第一個也不在最后一個演講的安排方法有 4A5,所以6名選手依次演講，則選手甲不在第一個也不在最后一個演講的概率為 7. 口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5 ,從中任取3只球，

22、以X表示取出的球的最大號碼,則X的概率分布為 答案X345P0.10.30.6解析X的取值為3,4,5.又 P(X= 3) =3 = 0.1, P(X= 4)=，=0.3,P(X= 5) = C3= 06C5所以X的概率分布為X3P0.1450.30.68.袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取 4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量 E，則P（己W6） =.答案1335解析P（<6） = P（取到3只紅球1只黑球）+ R取到4只紅球）=C3C3 C413C7 +C7=35.9.隨機變量X的概率分布如下:X101Pabc其中a, b, c成等差數(shù)列，則 P(| X

23、=1)=,公差d的取值范圍是答案33,解析a, b, c成等差數(shù)列，2 b=a+c.又 a+b+c=1,，b=；,，P(|X=1)=a + c = S. 3311又 a=3" d, c=3+d,根據(jù)概率分布的性質(zhì)，得 Owdw, 0< -+ d<-, 333310. (2018 南京模擬)已知袋中裝有大小相同的2個白千2個紅球和1個黃球.一項游戲規(guī)定：每個白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出3個球，將3個球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計算完得分后將球放回袋中.當(dāng)出現(xiàn)第n局得n(nC N*)分的情況就算游戲過關(guān)，同時游戲結(jié)束，若四局過后仍

24、未過關(guān)，游戲也結(jié)束.(1)求在一局游戲中得 3分的概率；(2)求游戲結(jié)束時局?jǐn)?shù) X的概率分布.一口、一,口八，士小rC1C2c 2解(1)設(shè)在一局游戲中得 3分為事件A,則P(A) =一4=5.(2)由題意隨機變量X的可能取值為1,2,3,4 ,C2C2+C2C 3且在一局游戲中得 2分的概率為 一p一=-; C510.C2C2 1則 p( x= 1) = -43- = 5,43P(X= 2) = - X () 5 104P(X= 3) = gX31 102 28X - =,5 125'31-w3 42x - =,5 125'4P(X= 4) = -X5.X的概率分布為X123

25、4P16284252512512511 .為推動乒乓球運動的發(fā)展， 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手 2名；乙協(xié)會的運動員 5名，其中種子選手 3名.從這8名 運動員中隨機選擇 4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求 事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的概率分布.,“ -C2c3+ c3c3 6解(I)由已知，有 P(A)= -C4=35.所以事件A發(fā)生的概率為35.(2)隨機變量X服從超幾何分布，X的所有可能取值為1,2,3,4.CkC4-kP(X

26、= k) = _c(k=1,2,3,4).C5C31c5c3 3P(X= 1) = -c4-=訝 P(X= 2) = "CT=7,C3C3 3C4C01P(X= 3) = "g- = 7，RX= 4)=e=R.所以隨機變量X的概率分布為X1234P133114771412 .若隨機變量T的概率分布如下:2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(刀<x) =0.8時，實數(shù)x的取值范圍是 .答案(1,2解析 由離散型隨機變量的概率分布知P(刀<1) = 0.1 , P(r<0)= 0.3 , P(r<1)= 0.5 ,P" &

27、lt;2) = 0.8 ,則當(dāng)P(刀<x) =0.8時，實數(shù)x的取值范圍是1<xW2.13. 一只口袋中有 n(n N)個白球，3個紅球.依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球.記取球的次數(shù)為X,若P(X=2)=3f，求:(1) n的值;(2) X的概率分布.(1)由題意知P(X= 2)=A3An2An+33nn+3 n+2730'2化簡得 7n 55n+ 42=0,即(7 n 6)( n7) = 0, 因為nC N*,所以n= 7.(2)由題意知X的所有可能取值為1,2,3,4 ,A777A3A777771P(X=

28、1)= AT RX= 2)=正 P(X= 3)=苻=百 P(X=4) = 1麗=訪所以x的概率分布為X1234P710730_7_1201120*、 * * 一 . 一、 、- . . * 一、14.某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了 n位校友(n>8,且nCN),其中女校友6位, 組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機從中選出 2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”. 1.(1)若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于2,求n的最大值；(2)當(dāng)n= 12時，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為 X,求隨機變量X的概率分布.解(1)由題意可知，所選 2人為“最佳組合”的概率為Cn 6c612 n 6C2n n- 1ntt12 n-61則1美.n n 12化簡得 n2-25n+144<