理論力學重難點及相應題解

1、運動學部分: 一、點的運動學 重點難點分析1. 重點：點的運動的基本概念（速度與加速度，切向加速度和法向加速度的物理意義等）；選擇坐標系，建立運動方程，求速度、加 速度。求點的運動軌跡2. 難點：運動方程的建立。解題指導:1. 第一類問題（求導）：建立運動方程然后求導。若已知點的運動軌跡，且方程易于寫出時，一般用自然法，否則用直角坐標法。根 據點的運動性質選取相應的坐標系，對于自然法要確定坐標原點和正向。不管用哪種方法，注意將點置于一般位置，而不能置于特殊位 置。根據運動條件和幾何關系把點的坐標表示為與時間有關的幾何參數(shù)的函數(shù)，即可得點的運動方程。2.第二類問題（積分）：由加速度和初始條件求運

2、動方程，即積分并確定積分常數(shù)。二、剛體的簡單運動 重點難點分析:1. 重點：剛體平移、定軸轉動基本概念；剛體運動方程，剛體上任一點的速度和加速度2. 難點：曲線平移 解題指導: 首先正確判斷剛體運動的性質。其后的分析與點的運動分析一樣分兩類問題進行。建立剛體運動方程時，應將剛體置于一般位置 三、點的合成運動（重要） 重點難點分析:1. 重點：動點和動系的選擇；三種運動的分析。速度合成與加速度合成定理的運用。2. 難點：動點和動系的選擇。解題指導:1. 動點的選擇、動系的確定和三種運動的分析常常是同時進行的，不可能按順序完全分開。2. 常見的運動學問題中動點和動系的選擇大致可分以下五類:(1)兩

3、個（或多個）不墳大小的物體獨立運動，（如飛機、海上的船舶等）對該類問題，可根據情況任選一個物體為動點，而將動 系建立在另一個物體上。由于不考慮物體的大小，因此動系（剛體）與物體（點）只在一個點上連接，可視為鉸接，建立的是平移動坐 標系(2)一個小物體（點）相對一個大物體（剛體）運動，此時選小物體為動點，動系建立在大物體上(3)兩個物體通過接觸而產生運動關系。其中一個物體的接觸只發(fā)生在一個點上,而另一個物體的接觸只發(fā)生在一條線上。選動點精品資料為前一物體的接觸點，動系則建立在后一物體上。此時，那條線就是動點的相對運動軌跡。(4)兩個物體或多個物體通過接觸或約束而產生運動關系。其中兩個物體的接觸也

4、有上述點、線關系,但提供線的物體運動狀態(tài)不簡單，而其上有運動狀態(tài)已知或明確的點。此時，將此點選為動點，動系建立在接觸處的物體（如套筒）上。(5)兩個物體通過接觸而產生運動關系。兩個物體各為接觸提供了一條線。對此類問題通常有兩種分析方法:A如果一個物體的接觸線是圓弧，則選其圓心為動點，動系建立在另一物體上;B假想有一個忽略大小的環(huán)套在兩條接觸線上，將其設為動點，分別將動系 建立在兩個物體上，共同研究小環(huán)的運動。此時兩條線分別是小環(huán)在兩個動系的相對運動軌跡。3. 選擇動系時通常希望相對運動簡單明確，但不是所有問題都能做到這一點。（如第一類問題多數(shù)不能明確相對運動軌跡。此時可將 相對速度分解為兩個垂

5、直分量來計算4. 速度和加速度合成定理是矢量式，各可以建立兩個投影方程，如果未知數(shù)過多將無法全部求得。可以選擇適當?shù)耐队拜S，使得不需 計算的未知短量垂直于投影軸，減少方程中的未知數(shù)。5. 速度和加速度合成定理表示的是合成關系，不是平衡方程。在寫投影方程時，應先寫絕對速度（加速度）的投影和等號，再寫等號 右邊的各個加速度的投影。要注意投影的正負號。6. 有些問題最后關心的是加速度，但在計算時首先要分析速度，在不是很困難的情況下最好將動點的各個速度都計算出來，以備加速 度分析使用。7. 要注意不能遺漏關于簡直氏加速度的分析，正確判斷其方向、計算其大小。四、剛體的平面運動（重要） 重點難點分析: 重

6、點：平面運動的分解；基點與動點的選擇；速度瞬心的確定；投影方程的建立。難點：運動學綜合問題的求解。解題指導:剛體的平面運動可以視為跟隨基點的平移與繞基點轉動的合成，也可以有其他的分解方法2.基點的選擇是任意的，一般選運動狀態(tài)已知的點?；c不同，隨基點平移的速度、加速度等將有變化，但平面運動剛體轉動的角速度、角加速度是不隨基點的選擇而變的。3.平面運動剛體內的點的速度計算常用的有三種方法，即基點法、速度投影法和瞬心法，它們各有特點:(1)基點法：該方法延續(xù)了點的合成運動的分析思路，通用性強，適用于計算各種運動學物理量。但計算步驟多，不靈活。(2)投影法：該方法在計算速度時是最快捷的。但它卻只能用

7、來求速度。(3)瞬心法：該方法可以用來求速度，也可用來計算角速度。缺點是有時幾何關系復雜。4.在點的合成運動與剛體的平面運動結合，就構成了復雜的運動學綜合問題。對于這類問題?？捎媚嫦蚍治?，順向求解”的方法。即先對要計算的物理量進行分析，找出合成關系，看看合成關系中哪些是待求的，再對這些待求的物理量進行分析，找出合成關系，再看要計算哪些量，依次類推，直到可用已知條件求解。而求解過程與分析過程順序正好反向5.在綜合問題墳解時常遇到某一中間物理量是其他物理量的短期聚落量運算結果，對這種結果不一定要求出，而是可將這種關系式直接代入后面的運算過程中。6.與點的合成運動分析一樣，有的物理量方向可以假設，如

8、切向加速度等，但法向加速度和簡直氏加速度的方向一般是可以確定的,不能任意假設。方向反了就會得到錯誤的結果。靜力學部分:一、平面匯交力系與平面力偶系重點難點分析重點：受力分析。難點：平衡關系的建立。解題指導:解析法:(1)仔細審題。這就是要弄清題意，明確已知量和未知量，選取適當?shù)姆蛛x體，使要求的未知量都能被表示在分離體上。(2)畫受力圖。利用所給出的各種支座和連接的力學模型，畫出正確的受力圖。特別要善于應用二力桿和三力平衡定理的概念，以減少未知力的個數(shù)(3)選取坐標系。選取的原則是盡量使一個平衡方程中，只包含一個未知數(shù)。通常使一坐標軸與某一未知力的作用線垂直。(4)列平衡方程。(5)解平衡方程。

9、求得的力的絕對值表示力的大小，力的正負號表示在受力圖中所假設的力的指向是否與實際的指向一致。幾何法:(1)仔細審題。(2)(3)(4)用比例尺和量角器從封閉的力的三角形或多邊形中確定畫受力圖。（此兩步驟與解析法相同，所不同的是要事先假定約束反力的指向）。選擇適當?shù)谋壤?，根據受力圖，作封閉的力的三角形或封閉的力的多邊形。作圖要先從已知力開始。二、平面任意力系（重要） 力的平移定理，平面任意力系的簡化，平面任意力紗的平衡方程求解平面靜定桁架的內力:(1)節(jié)點法。逐個地取節(jié)點為研究對象，應用平面匯交力系的平衡方程，求出各桿的內力。(2)截面法。將待求內力的桿截斷，把桁架分割成兩部分，取其中一部分為

10、研究對象，應用平面任意力系的平衡方程，求出各桿的內力。重點難點分析重點：選取平衡對象，建立平衡方程。難點：剛體系統(tǒng)的平衡問題。解題指導解題步驟:1.對于單個剛體的平衡問題，其解題步驟為:(1)取分離體。根據問題的要求，選擇合適的平衡對象，并取出為隔離體(2)畫受力圖。根據平衡對象與周圍物體的聯(lián)系，確定約束的性質，并根據約束性質分析約束力，應用作用與反作用定律，分析隔離體所受力的可能方向和作用線，畫出隔離體的受力圖。(3)列平衡方程求解。建立已知力與未知力之間的關系，求解未知力。2.對于剛體系統(tǒng)平衡問題求解剛體系統(tǒng)平衡問題的基本方法與分析單個剛體平衡問題的方法大體相似，但也有一些差異。根據剛體系

11、統(tǒng)平衡問題的特點，求解剛體系統(tǒng)平衡問題，一般可按下列步驟進行:(1)判斷剛體系統(tǒng)的靜定與超靜定性質，只有肯定了所給的剛體系統(tǒng)是靜定的，才著手求解。對于超靜定問題，需要平衡方程聯(lián)合相應數(shù)量的補充方程才能求解。(2)先考慮整體平衡，求得某些未知的約束力，然后根據要求的未知量，選擇合適的局部或單個剛體作為研究對象，根據約束性質及作用力與反作用力定律，區(qū)分施力體與受力體，區(qū)分內力與外力，畫出研究對象的受力圖(3)分別考慮不同研究對象的平衡，建立平衡方程，求解未知量。方法與技巧1.單個剛體求解過程中要注意以下問題(1)對單個物體的平面任意力系問題，其解步驟與平面匯交力系問題的解題步驟基本相同,不同之處是

12、平面任意力系的獨立平衡方程有三個,可解出三個未知數(shù)。(2)要根據實際情況，選擇合適的坐標軸，盡量使一個平衡方程中出現(xiàn)一個未知力。(3)建立平衡方程時，要考慮力系中所有的力，任何一個力都不能遺漏。(4)要正確確定每一個力在坐標軸上投影的大小和正負號，特別要注意正負號。(5)當未知約束力的作用線確定，而方向不能確定時（一般情況下均如此），可以先假定方向（一般假定約束力的正方向與坐標軸正向一致）。然后，根據所得結果的正負號，判斷未知約束力的實際方向：若所得結果為正，則實際方向與所設方向一致；若為負，則實際約束力的方程與所設方向相反(6)當未知約束力的作用線不能確定時，可先假設未知約束力在兩個坐標上投

13、影的方向（一般設為正向）。然后建立平衡方程，這時，約束力的投影方向為已知，投影大小為未知。由平衡方程求得約束力投影的大小，唧可求得相應的約束力2.岡咻系統(tǒng)求解求解過程中需要注意的幾個問題(1)當有幾個平衡對象可供選擇時，應考慮選擇哪能一個最合適，或者先選擇哪能一個，然后再選擇哪一個。選擇的原則是，能夠利用平衡條件確定某些未知力（不一定確定全部未知力）的部分應優(yōu)先考慮。(2)當剛體間相互作用力的方向無法確定時，可以稱假設其方向。必須注意的是，當所求結果為負時，表示施力體作用在所研究的剛體上的方向與實際方向相反。(3)畫各個構件的受力圖時，要特別注意作用與反作用定律、二力平衡及三力平衡定理等概念和

14、原理的應用。雖然所有構件的受力圖對建立平衡方程及求解所感興趣的未知數(shù)不一定都有用，但是同時畫出所有構件的受力圖，會減少受力分析的錯誤(4)建立平衡時，應盡量使一個平衡方程中只出現(xiàn)一個未知力，以避免求解聯(lián)立方程(5)解方程時，若求得的約束反力為負值，說明在受力圖中假設的約束反力方向與實際方向相反但若用它代入另一方程中求解其他未知數(shù)時，應連同其負號一并代入(6)可以利用解題過程中尚未被選為研究對象的剛體，對其作受力分析，建立平衡方程，以驗證所得結果的正確性(7)鍘體系的平衡問題是靜力學的重點內容，多數(shù)情況下，是各種考試心肝考的內容3. 受力分析時應注意的幾個問題(1)怎樣根據問題的性質，選取合適的

15、研究對象。所謂合適” 一是指在研究對象上既有未知力又有已知力；二是指所選擇的研究對象上受力比較簡單。(2)一定要根據約束性質確定研究對象上所受力約束力,力爭做到，在研究對象上每畫一個力都有充分的依據,切忌主觀隨意以及毫無根據的猜測。4. 剛體系統(tǒng)的 內力”和 外力”(2)剛體系統(tǒng)或其分系統(tǒng)中的各個剛體之間的相互作用力,對于系統(tǒng)而言，都是內力”內力總是成對出現(xiàn)的， 它們兩兩大小相等,(2)熟練地計算力在空間坐標軸上的投影和力對軸的矩。(3)當力與坐標軸相交或平行時，力對該軸之矩等于零。在建立力矩方程時，應使力矩軸與盡可能多的未知力平行或相交。以減少方程中的未知量，簡化計算。(4)空間力系的獨立投

16、影平衡方程總數(shù)不能超過三個，而獨立的力矩平衡方程可以超過三個（甚至多達六個）。有時用力矩平衡方程代替投影平衡方程較方便，但應注意力矩平衡方程的獨立性。（三個力矩平衡方程形式的平衡方程為基本式平衡方程，相應的還有四矩式、五矩式、六矩式平衡方程。如同平面任意力系的二科研項目式、三矩式平衡方程，四、五、六矩式平衡方程也有限制備件。在使用四、五、六矩式平衡方程過程中，一般也不會出問題。只要所列的方程能把要求的全部求出，則所列的平衡方程一般就沒有違反平衡方程的聘用制條件。）(5)空間任意力系是力系中最一般的情形，空間任意力系的平衡方程是平衡方程最一般的形式，空間（平面）匯交（共點）力系、空間（平面）力偶

17、系、平面任意力系、空間（平面）方法與技巧，空間力系求解過程中要注意以下問題:要根據實際情況，選擇合適的坐標軸，盡量使平衡方程寫得簡單，解得簡單建立平衡方程時，要考慮力系中所有的力，不能遺漏。要正確確定每一個力的坐標軸上投影泊大小和正負號，特別要注意正負號。當未知約束力的方向不能確定時（一般情況下均如此），可采用設正法及分量形式確定。當有幾個平衡對象可供選擇時，應考慮選擇哪一個最合適，選擇的原則是，在研究對象上既有未知力又有已知力，能夠利用平衡條件確定某些未知力（不一定確定全部未知力）的部分應優(yōu)先考慮。必須注意的是，當所求結果為負時，表明施力體作用在所研究的剛體上力的方向與實際方向相反。根據作用

18、力與反作用力定律，這一剛體對于施力體的反作用力亦與原假設的方向相反。因此，當下一步以施力體作為研究對象時，可以將所設之反作用力的方向改成與實際方向一致，然后建立平衡方程，也可以不改變其作用方向，而將上一步所得的負值代入平衡方程?？梢岳媒忸}過程中尚未被選為研究對象的剛體，對其作受力分析，建立平衡方程，以驗證所得結果的正確性。建立力矩平衡方程時，所選擇的坐標軸應盡量與某些未知力作用線相交或平行。這樣，在一個力矩平衡方程中出現(xiàn)的未知力就比較少,從而使計算簡化。在很多情形下，空間力系的六個平衡方程中，有幾個是自然滿足的，這些方程是無助于求解未知力，因而無需寫出四、摩擦重點：考慮摩擦的平衡問題。難點：

19、運動狀態(tài)不定時的有摩擦平衡問題。動力學部分:一、質點動力學方向相反，而且作用在同一條直線上(3)當考慮剛體系統(tǒng)的平衡問題時，要特別注意那種對于系統(tǒng)是內力，對局部或單個剛體卻是外力的力。這種力很容易被漏掉5. 剛體系統(tǒng)的 整體平衡”與局部平衡” 當剛體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，其中的每一個局部以及每個剛體也必然處于平衡狀態(tài)。反之亦然。因此，求解剛全系統(tǒng)的平衡問題時，作 用于系統(tǒng)及每個局部上的力系，既滿足整體的平衡要求，也滿足局部的平衡要求。（此為剛化公理應用之結果） 三、空間力系 空間任意力系平衡方程（六個），重心（對稱法，組合法，積分法，實驗法） 重點難點分析 重點：空間任意力系簡化；重心計算。難點

20、：空間幾何關系。解題指導: 解題步驟 空間力系平衡問題的解題步驟和方法與平面力系基本相同，即取研究對象，畫受力圖和列寫平衡方程求解等。另外還需注意以下幾點:(1)首先要對研究對象，受力情況與所選坐標軸之間的關系有清晰的空間概念，并能正確地表示出空間的約束力建立質點運動微分方程的方法，或質點動力學的建模方法，是整個動力學任務的中心問題，十分重要。已知運動求力（第一類問題）和已知力求運動（第二類問題）。也有些混合問題，即已知部分運動和部分力，求未知的運動和力 基本要求:理解質點動力學基本方程和基本概念。2.3.能正確建立直角坐標形式與弧坐標形式的質點運動微分方程 掌握質點動力學兩類基本問題的解法。

21、對運動初始條件的力學意義及其在確定質點運動規(guī)律中的作用有清晰的認識 重點難點分析: 重點：建立質點運動微分方程；掌握兩類問題的解法。質點的運動規(guī)律不僅取決于質點的質量和作用力，還與質點運動的初始條件（運動開始時質點的位置和速度）有關。在第二類問題中, 積分常數(shù)或定積分的上下限由初始條件決定。在數(shù)值計算中，常用投影形式的微分方程。在建立運動微分方程時，應該注意各物理量投影的正負號。微分方程等號左邊總設為正，等 號右邊是力在坐標軸上的投影，應注意投影的正負。一般情況下，力是時間、速度和位置的函數(shù)。因此，加速度也是這些參量的函數(shù)。在求解動力學問題時，不要無根據地用交變速或交速 運動公式 在靜力學中，

22、約束反力只決定于主動力。但在動力學中，約束反力不僅與主動力有關，還與質點的加速度有關。在求約束反力的動力學 問題中，要特別注意 難點：經變量代換再積分的方法對于第二類問題：當力是常量或 時，直接分離變量，逐次積分。當或時，先變量代換，再分離變量積分。也可用常系數(shù)二階線性微分方 程求解。當力的函數(shù)非常復雜或是非線性方程時，用計算機按數(shù)值積分方法求解。二、動量定理（重要） 動量與沖量1 . 動量(1)質點的動量：質點的質量與速度的乘積(2)(3)質點系的動量還等于質點系的總質量與質心速度的乘積質點系的動量：質點系內各質點動量的矢量和（動量主矢）2. 力的沖量(1)力的元沖量:在微小時間間隔內，力的

23、元沖量為:(2)在時間間隔內，力的沖量為:3. 質心坐標公式質點系質心（質量中心）C到某固定點的矢徑為動量定理 1 .動量定理（1）質點的動量定理 微分形式：質點的動量對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點上的力，即: 積分形式：在一段時間內，質點動量的變化，等于作用力在同一時間內的沖量，即:（2）質點系的動量定理 微分形式：質點系動量對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系上外力的矢量和（外力主矢），即: 積分形式: 具體計算中，常用動量定理的投影形式：即質點系動量在坐標軸上的投影對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點的所有外力在同一軸上的 投影的代數(shù)和。質點系動量在某方向上投影的變化，等于作用于質點系所有外

24、力沖量在同一方向投影的代數(shù)和。2.動量守恒定理3. 定常流形式的動量定理附加動壓力 質心運動定理 1 .質心運動定理: 2.質心運動守恒定理: 基本要求:深刻理解質點系的動量、質心的概念。2.熟練計算質點系的動量和質心坐標3.掌握動量定理與質心運動定理的各種表達形式，并熟練應用它們求解動力學問題。重點難點分析 重點:1. 質點系的動量;2. 動量定理與質心運動定理的各種表達形式。動量及沖量都是矢量，是有大小和方向的量。質心運動定理與牛頓第二定律在數(shù)學形式上相似，但意義不同。牛頓第二定律是公理，它描述的是質，即質點的質量與加速度的乘積等 于力。質心運動定理是導出的定理，它描述的是質點系質心的運動

25、規(guī)律。難點：動量定理中力的計算。質點系的內力總是成對出現(xiàn)的，因此內力的主矢為零，對任一點的主矩也為零。內力沖量的矢量和亦為零，這是內力的三個重要性質 只有外力才能改變質點系的動量，因此在質點系的動量定理中根本不考慮內力 解題指導1.動量定理常見題目類型:(1)求約束反力力問題；(2)突然解除約束問題；(3)已知主動力求運動問題(4)綜合動力學問題。2.解題步驟:(1)選定研究對象：可以選質點，也可以選質點系，在千金情況下，取整體為研究對象往往會對解題帶來方便，因為系統(tǒng)的內力不必考慮(2)進行受力分析和運動分析(3)(4)解出未知量。3.注意的問題:(1)動量是矢量，運算時必須同時考慮其大小和方

26、向，特別要注意取投影時的正負號。當質點作復合運動時，應采用質點的絕對速度來計算其動量。(2)在應用質心系動量定理時，總是把作用力分為外力與內力，但因內力不能改變質點系的動量，故只需考慮外力，而不必考慮內力。(3)動量定理建立了動量與沖量的關系，在動量方程（定理）中所包含的物理量有質量，速度、力和時間，所以在解決與速度、國和時間有關的問題時，應用動量定理較為簡便(4)當質點系的南心的加速度為已知或通過運動學關系可以求出時,質心運動定理實際上就是外力的關系式,而外力一般包括主動建立方程，應用定理的微分形式時，必須取運動的一般位置建立方程，應用定理的積分形式成守恒形式時，必須明確所考查過程的始末位置

27、及所對應的時間。力和約束反力。若主動力為已知，則可從這個關系式中求出約束反力。此外，若已知質點系的外力，則可用質心運動定理確定質點系質 心的運動。(5)動量守恒定理是動量定理的特殊情形。它反映了機械運動在移動中相互傳遞的一個方面。三、動量矩定理（重要） 質點和質點系的動量矩質點的動量矩:2.質點系的動量矩:3.動量矩在過固定點 O的直角坐標系上的投影:4.定軸轉動剛體對轉軸的動量矩:動量矩定理 1 .質點的動量矩定理 質點對某固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點上的力對同一點之矩。即 2.質點系的動量矩定理 質點系對某固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系上所有外力對同一點

28、之矩的矢量和，即3. 動量矩守恒定律 當外力對某固定點之矩矢量和始終為零時，質點系對同一點的動量矩保持不變。剛體繞定軸的轉動微分方程 1 .轉動慣量 2.剛體定軸轉動微分方程式 定軸轉動剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于外力對該軸之矩的代數(shù)和。即剛體對軸的轉動慣量剛體對轉軸的轉動慣量2.平等軸定理3.回轉半徑質點系相對于質心的動量矩定理 1 .相對質心的動量矩 以質點系質心C為坐標原點的平動坐標系為動系，則各質點質量與相對速度之乘積對質心相對于質心之矩的矢量和稱為相對于質心的動 量矩 2.相對于質心的動量矩定理 質點第相對于質心的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系的外力對質心之矩

29、的矢量和。剛體作平面運動時，相對于質心的動量矩定理為 當速度瞬心P以質心C的距離保持不變時，也可取速度瞬心為矩心建立動量矩方程，即 3.相對于質心動量矩守恒定理 當外力對質點系質心之矩矢量和為零時，質點系對質尺度的動量矩為常矢量。剛體的平面運動微分方程 1.平面運動剛體（具有質量對稱面）對質心的動量矩 平面運動剛體（具有質量對稱面）對質心的動量矩為剛體對質心的轉動慣量與平面圖形角速度的乘積: 2.剛體平面運動微分方程 將質心運動定理與相對于質心的動量矩定理的相結合，就得到剛體平面運動微分方程式基本要求:全面理解動量矩和轉動慣量的物理意義。2.掌握動量矩定理的各種表達式、意義及其應用3.4.了解

30、質心點相對質心（平移坐標）的動量矩定理。5.熟練應用剛體平面運動微分方程求解動力學問題。重點難點分析重點:熟悉剛體繞定軸轉動及剛體平面運動的微分方程，并能用它們解決相應的實際問題。質點系的動量矩和轉動慣量。2.質點系相對定點的動量矩定理（包括守恒式）3.定軸轉動微分方程應用。4.剛體平面運動微分方程及其應用對點的動量矩是矢量，對軸的動量矩是代數(shù)量。計算質點系相對于質心的動量矩陣收縮時，無論是用絕對運動的動量還是用相對于以質 心為基點的平移坐標系的相對運動的動量，其計算結果是相同的。但是對質心之外的其他的點，用此兩種方法計算的動量矩陣收縮是不 同的，必須用在絕對運動中的動量來計算動量矩;平行移軸

31、公式中必須是與軸平行的質心軸。難點: 1.質點系相對質心的動量矩定理;2.平面運動微分方程及其應用;內力不能改變質點系對定點或對質心的動量矩，只有外力矩才能使之改變。動量矩定理僅僅對定點（或定軸）及質心（或質心軸）成立，在滿足一定條件時對速度瞬心成立。對一般的動點或動軸通常是不成立的, 在應用動量矩定理時一定要注意這一點。解題指導1 .動量矩定理常見題目類型:(1)求約束反力偶問題；(2)突然解除約束問題；(3)已知主動力求運動問題(4)綜合動力學問題。2.解題步驟(1)(2)根據題意確定研究對象。對于多軸系統(tǒng)，必須拆開來取單軸為研究對象。受力分析。只畫外力，不分析內力。還要根據受力特點判斷是

32、否是動量矩守恒問題。(3)運動分析，建立必要的運動學關系。(4)(5)計算動量矩。動量矩的矩軸或矩心一般是固定軸或固定點。速度和角速度都是絕對速度和絕對角速度。對于相對于質心的動量建立坐標系，規(guī)定外力矩和動量矩的正轉向，且須使外力與動量矩正的轉向一致矩，矩心是質心，速度或角速度是相結于質心的速度或角速度(6)建立動量矩方程（或守恒方程）并求解3.注意的問題(1)動量矩定理從另一個側面描述機械運動規(guī)律,即動量矩對時間的變化率等于外力矩。對于有心力作用問題和定軸轉動的動力學問題，用動量矩定理求解特別有效。(2)動量定理描述了質點系隨質心的運動規(guī)律；對剛體而言，即隨質心的平動規(guī)律。相對于質心的動量矩

33、定理，描述了質點系相對于質心的運動規(guī)律。對剛體而言，即描述了繞質心的轉動規(guī)律，二者結合，則描述了質心系的總的運動規(guī)律。(3)動量矩定理建立了外力（外力矩）、時間、質量和速度（角速度）之間的關系。常應用對軸的動量矩定理或轉動微分方程解決下面幾種問題。I已知拷貝點系的轉動求作用于質點系得外力或外力矩，特別是對軸有矩的約束反力;I已知外力矩是常數(shù)或只是時間的函數(shù)時，求剛體轉動的角加速度、角速度、轉動方程;I已知外力矩等于零或外力對軸之矩代數(shù)和對于零時，應用動量矩守恒定理求運動。(4)正確計算定軸轉動剛體動量矩的關鍵是正確計算轉動慣量。應該牢記均質細長桿、均質圓柱體和均質圓環(huán)轉動慣量公式：對于其他開關

34、規(guī)則的物體的轉動慣量，可看成由幾個幾何開關規(guī)則的部分組成，根據組合法求總的轉動慣量，對有空心或缺口的物體，可用負質量法求轉動慣量。(5)計算轉動慣量時，常用到平等軸定理。(6)動量定理描述了質點系隨質心的運動規(guī)律；對剛體而言，即隨質心的平動規(guī)律。質點系相對質心（平移坐標）的動量矩定理, 描述了質點系相對于質心的運動規(guī)律；對剛體而言，即描述了繞質心的轉動規(guī)律。二者結合，則描述了質點系總的運動規(guī)律。守恒等。若是守恒問題，可根據相應的守恒定律求未知的運動。(2)求約束反力的問題，可選用動量定理、質心運動定理、動量矩定理或相對于質心的動量矩定理，但不能用動能定理直接求約束反力。(3)當作用力（力矩）是

35、時間的函數(shù)時，應優(yōu)先考慮用動量定理或動量矩定理求速度（角速度）和時間；當作用力是路程的函數(shù)或力的功容易計算時，優(yōu)先考慮用動能定理。(4)若等求量是加速度或角加速度時，對質點系可用動量定理、質心運動定理；對定軸轉動剛體，可用動量矩定理或定軸轉動微分方程；對平面運動剛體，常用平面運動微分方程；對以上各種物體運動及由兩個轉軸以上物體組成的系統(tǒng)，也常用微分形式的動能定理或功率方程形式的動能定理。(5)一般求解一個單自由度的綜合性題目，比較簡單的方法是先用動能定理求運動，再用其他定理求力(6)研究對象的選取：若不需要求質點系內力，則一般選整個系統(tǒng)為研究對象；對于兩個轉軸以上的系統(tǒng)，若用動量矩定理或定軸轉

36、動微分方程時，必須取單個軸為研究對象；對單自由度系統(tǒng)用動能定理時，常取整個系統(tǒng)為研究對象(7)補充方程；用動力學普遍定理列出的方程，其未知量個數(shù)常多于獨立的方程式數(shù)，需要列運動補充方程或力的補充方程。基本要求:深刻理解力的功和質點系的動能等概念。2.熟練掌握重力、彈性力、摩擦力、力偶等所作功的計算。3.熟練掌握剛體作平移、定軸轉動和平面運動時動能的計算方法。4.熟悉在何種約束下，約束反力作功之和等于零5.能正確而熟練地應用動能定理和機械能守恒求解動力學問題6.對每個定理中所涉及的基本物理量要有清晰的理解，并能正確和熟練地進行計算。7.掌握各定理的內容、特點、適用條件及所能解決的問題；要正確而靈

37、活地應用各定理求解動力學問題重點難點分析重點力的功和動能的計算。2.質點系的動能定理及其應用。3.綜合應用動力學普遍定理求平面機構的動力學問題。(7)對平面運動剛體，研究的對象是整個剛體，可利用平面運動微分方程求解。求解時，常常需要建立質心速度或加速度與繞質心 轉動的角速度或角加速度之間的關系 四、動能定理（重要） 普遍定理的綜合應用 1 .動力學普遍定理 2.應用原則及方法(1)通過受力分析，首先判斷是否是某種運動守恒問題：如動量守恒、質心運動守恒、動量矩或相對于質心的動量矩守恒及機械能C點不是質心時，公式也成立，即力系在剛體平面運動中的功關于剛體平面運動問題力系的功的計算方法也適用于剛體的

38、任意運動。當 等于力系向任一點簡化的主矢在該點位移上的功與主矩在繞該點轉動中所作功之和。不過通常用質心計算很方便。另外，在計算力系的 主矢和主矩時，可以不計算不作功的力。當然，無論剛體作平面運動還是作任意運動，都可以單獨計算各力的功，然后求其代數(shù)和即得 整個力系的功。利用動能定理的積分形式一般可以求出速度、角速度。如果所列出的動能定理的積分形式是函數(shù)關系式，則可以將其兩端對時間求導, 從而可求得加速度、角加速度，這是一種常用的方法。難點 對具體問題，選用合適的定理，使求解過程盡可能簡單。大量動力學問題是既求運動又求力，屬于混合型問題。由于是理想約束，而動能定理可能避免未知的約束力，只考慮主動力

39、，因此第一 步應用動能定理求得運動；第二步再應用動量或動量矩定理求未知的約束力。解題指導 1.動能定理常見題目類型(1)已知主動力求運動問題;(2)求約束反力偶問題;(3)綜合動力學問題(1)選取研究對象(2)受力分析，畫受力圖。分清內力和外力，主動力和約束反力，作功之力和不作功之力(3)運動分析；分清每個物體的運動形式、特點，為計算基本物理量和建立運動學補充方程作準備(4)根據以上分析及對已知量和未知量的分析，選取合適的定理，建立方程。(5)求解并討論。3. 注意的問題(1)功是度量力在一段路上作用的累積效應的物理量。(2)動能是代數(shù)量，并總是正的，只與速度的大小有關，與方向無關。(3)動能

40、定理從能量觀點描述了機械運動的規(guī)律，即建立了質點或質點系動能的變化與作用力所作功之間的關系。(4)正確應用動能定理的關鍵，除正確理解動能定理的意義外，熟練地、正確地計算力的功和質點系的動能是特別重要的。(5)由動能定理建立的方程是標量方程，應用時不必建立坐標系，但心須注意力所作功的正負。(6)動能定理中所涉及力、路程、速度和質量等物理量。(7)(8)不要把動能定理與機械能守恒定律相混淆(9)動力學普遍定理分別從三個不同的側面反映了機械運動的規(guī)律，建立了運動學量和機械作用量之間的關系。(10)動力學普遍定理可分為兩類：一類是動量原理（動量定理和動量矩定理），它們是矢量式，都有投影方程，用它們不僅可求未知量的大小，還可求方向。另一類是動能定理則標量方程，只能求未知量的大小。（11） 動量定理和動量矩定理 （包括質心運動定理和相對于質心的動量矩定理）只與質點系的外力有關，用其解題時，只需分析外力,不需分析內力。而用動能定理解題時需分析所有主動力所作功，不需要分析約束反力所作功。動力學普遍定理的各種守恒定律，各有特點和