小學奧數(shù)平面幾何五種面積模型(等積,鳥頭,蝶形,相似,共邊)

1、實用標準文檔文案大全小學奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊）目標：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共邊（含燕尾模型和風箏模型），掌握五大面積模型的各種變形 知識點撥一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖a:b夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖S ACD a BCD；反之,如果S ACD Sa BCD ,則可知直線AB平行于CD .等底等高的兩個平行四邊形面積相等 （長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形

2、面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比.如圖在4ABC中，D,E分別是AB,AC上的點如圖 （或D在BA的延長線上，E在AC 上），則5A ABC : Sa ade （AB AC）: （AD AE）任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝶形定理”）： S：S2$4$或者&S3S2S4 AO:OCSi& :S4S3蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造 模型，一方面可

3、以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān) 系.梯形中比例關(guān)系（“梯形蝶形定理”）： §:S3 a2:b2（2） S1 : S3 : S2: S4 a2:b2:ab:ab；S的對應(yīng)份數(shù)為a b2.四、相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型DEBCAF .AG 'AF2:AG2.dad AEAB AC S»A ADE : S>A ABC所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 （只要其形狀不改變, 不論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如 下: 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長

4、度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半.相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工旦/、 在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形. 五、共邊定理（燕尾模型和風箏模型） 在三角形ABC中，AD, BE, CF相交于同一點O,那么S ABO ： S ACO BD : DC .上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因 為ABO和ACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱 為燕尾定理.該定理在許多幾何

5、題目中都有著廣泛的運用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為 三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑典型例題【例1】 如圖，正方形 ABCD邊長為6, ae 1.5, cf 2.長方形EFGH勺面積為.【解析】連接DE DF,則長方形EFGH勺面積是三角形DEF®積的二倍.三角形DEF勺面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，Sa def6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5，所以長方形 EFGH面積為33.【鞏固】如圖所示，正方形ABCD的邊長為8厘米，長方形EBGF的長BG為10厘 米，那么長方形的寬為幾厘米？【解析】本題主要是

6、讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底 等高的平行四邊形面積的一半.證明：連接AG.（我們通過4ABG把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起）.1.在正方形ABCD中，S/xABG - AB AB邊上的局，21. Saabg2 SwABCD （三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）1 一同理， SA ABG 二 SEFGB 2正方形ABCD與長方形EFGB面積相等. 長方形的寬8 8 106.4（厘米）.G為各邊中點,H為AD邊上任【例2】 長方形ABCD的面積為36cm2, E、F、 意一點，問陰影部分面積是多少？

7、BH、 HC ,【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接如下圖:SabcdS AHB S CHBS CHD 36即 S EHBS EBFBE BFS _ _ ° EHBAHB S CHB S CHD )S BHF S DHG:(SS EHBBHF S DHGSM影S EBFS DHG36 18 ；11 1(AB)(222BC)所以陰影部分的面積是:8Sw36 4.5 .18 Sebf 18 4.513.5解法二：特殊點法.找H的特殊點，把H點與D點重合,那么圖形就可變成右圖:S陰影這樣陰影部分的面積就是DEF的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有:SABCDS AEDS BEFS CFD361 2

8、 136 一1113636 13.5.222【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點P,將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與 P點連接，求陰影部分面積.【解析】(法1)特殊點法.由于P是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法， 假設(shè)P點與A點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰 影三角形的面積分別占正方形面積的 1和1 ,所以陰影部分的面積為4662 (- 1) 15平方厘米. 4 6(法2)連接PA、PC .由于PAD與PBC的面積之和等于正方形 ABCD面積的一半，所以上、 下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的1 ,同理可知4左、右兩個陰影三角形的

9、面積之和等于正方形 ABCD面積的1,所以陰6影部分的面積為62 (1 1) 15平方厘米.4 6【例3】如圖所示，長方形 ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為 70, AB 8, AD 15,四邊形EFGO的面積為.【解析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進而求出四邊形EFGO 的面積.由于長方形ABCD的面積為15 8 120 ,所以三角形BOC的面積為120 1 30,所以三角形AOE和DOG的面積之和為120 - 70 20 ； 44又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120 1 -30,所以2

10、 4四邊形EFGO的面積為30 20 10 .另解：從整體上來看，四邊形 EFGO的面積 三角形AFC面積 三角形 BFD面積 白色部分的面積，而三角形 AFC面積 三角形BFD面積為長 方形面積的一半，即60,白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即120 70 50,所以四邊形的面積為60 50 10.【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是36, E是AD的三等分點, 陰影部分的面積為Is ： s-C CAE ： ° CDE如圖，連接OE.根據(jù)蝶形定理，ON : NDS COE ： S CDE21:1 ,所以S _° OEN-SOED2OM ： MA S boe

11、 : S BAE-S ： SS BDE ： S BAE21： 4 ,所以 S OEM1s又 S OED-Shi 形 ABCD 43 ， S OEA2Soed 6,所以陰影部分面積為:【例4】 已知ABC為等邊三角形，面積為400, D、E、F分別為三邊的中點， 已知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形 HBC ）BEC【解析】因為D、E、F分別為三邊的中點，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形 ABN和三 角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200.根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有Sabc 顯即400 S 丙又SK影S

12、 ADF200 200 Samhn ,所以 SWSpS乙Samhn“影 &8StS ADF143 4004S ABN SAMHN43.S AMCSAMHN ,【例5】如圖，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6,線段AB將圖形分成兩部 分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形ADG的面 積是.連接AF , BD .根據(jù)題意可知，CF 515所以，S BEF 27 S CBF ,7 15S BEC27 ； DG7 15 6 28 ；21于是：21S28可得S ADG"SADGS2712S277CBFCBF 65 ； TZ28S ADGc 21cS

13、AEG - S28鼻27 CBFADG , S AED S ADG ,2838 ；40 .故三角形ADG的面積是40.【例6】 如圖在ABC中，D,E分別是AB, AC上的點，且AD: AB 2:5 ,AE： AC 4:7 , SAade 16平方厘米，求 ABC的面積.【解析】連接 BE,S. ade： Sa abe AD： AB 2:5(24):(5 4),Sk ABE : Sa ABCAE ：AC 4:7 (4 5):(7 5),所以 S adeSabc (2 4):(7 5), 設(shè)Saade 8份，則Sabc 35份，SAade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米， 35份就是70平方

14、厘米， ABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一 個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比.【鞏固】如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角 形ADE的面積等于1,那么三角形ABC的面積是多少？【解析】 EC 3AE3SVABESVABC又 AB5AD, , SVADESVABE5SVABC15 ,SVABC15SVADE15 .【鞏固】如圖，三角形 ABO分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD DC 4, BE 3, AE 6,乙部分面積是甲部分面積的幾倍？【解析】連接AD . BE 3 , AE 63SVBDE.AB

15、3BE , Svabd 又 BD DC 4,SVABC2SvaBD ,SVABC6SVBDE ,Sfc【例7】 如圖在 ABC中，D在BA的延長線上， E在AC上，且 AB: AD 5:2, AE:EC 3:2, SA ade 12平方厘米，求 ABC的面積.【解析】 連接 BE, SA ade： Sa ABE AD： AB 2:5 (2 3):(5 3)SAabe ：Saabc AE：AC 3： (3 2) (3 5)： (3 2) 5 ,所以 SA ADE ： S abc (3 2)：5 (3 2) 6:25,設(shè) SAade 6 份,貝U &abc 25 份,SAade 12平方厘

16、米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4ABC的面積是50平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共 角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比【例8】如圖，平行四邊形ABCD,BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平行四邊形ABCD的面積是2, 積比.求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面連接AC、BD .根據(jù)共角定理,在 4ABC和 4BFE 中，ABC與 FBE 互補, Saabc AB BC 111. .Safbe BE BF 1 33又 Sa ABC1 ,所以 SAfbe同理可得S GCF8 ,SA DHG15 ,

17、SA AEH8 .所以SefghSA AEHSA CFGS DHGSA BEFSABCD8 8 15+3+2 36 .所以S幽22SEFGH 3618【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少?【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形OAB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為13的兩條邊重合，此時三 角形OAB將旋轉(zhuǎn)到三角形OCD的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新 圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形 的面積.因此，原來四邊形的面積為12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10如圖所示，ABC中，

18、ABC 90 , AB 3 , BC 5 ,以AC為一邊向 ABC外作正方形ACDE ,中心為O,求OBC的面積.【解析】如圖，將OAB沿著O點順時針旋轉(zhuǎn)90 ,到達OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90 ,所以 OAB OCB 180 ,而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180 ,那么B、C、F三點在一條直線上.由于OB OF, BOF AOC 90 ,所以BOF是等腰直角三角形，且斜邊BF為5 3 8,所以它的面積為82 - 16 .4根據(jù)面積比例模型，OBC的面積為16 5 10.8【例11如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE,AEB 90 ,

19、 AC、BD交于 O. 已知 AE、BE的長分別為 3cm、5cm, 求 三角形OBE的面積.【解析】如圖，連接DE ,以A點為中心，將ADE順時針旋轉(zhuǎn)90到ABF的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90 , 而 AEB也是90 , 所以四邊 形AFBE是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE的面積為：12 3 5 3 - 12( cm ).2又因為ABE是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AB2 AE2 BE2 3 2 52 34 ,所以Sabd刃B么SBDE所以S OBE1AB2 2S ABDISS BDE217( cm2).S ABE S ADE S ABD Saf

20、be 17125( cm2),2.5( cm2).【例12】如下圖，六邊形ABCDEF中，AB ED , AF CD, BC EF ,且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,對角線FD垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，請問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？【解析】如圖，我們將BCD平移使得CD與AF重合，將DEF平移使得ED與AB重 合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG 了.這樣就組成了一個長方形 BGFD,它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD的面積為24 18 432平方厘米，所以六邊形ABCDEF的面積為432平方厘米.【例13】如

21、圖，三角形 ABC的面積是1 ,BD: DC 1:2, AD 與 BE 交于點 F .E是AC的中點，點D在BC上，且 則四邊形DFEC的面積等于A【解析】方法一：連接CF ,根據(jù)燕尾定理,設(shè) S»A BDF如圖所標所以Sdcef1 份，貝（J SA DCF2份,BD 1S ABFAEDC 2，sSA CBFEC3份，S>A AEFS*A EFCS/ ABF SA ACF SA ABF1,3份,5Sa ABC1251211方法一：連接DE ,由題目條件可得到SlABD -SaABC-,33Sa ADE1sa adc1 2s2 3 SA ABC所以IFS ABDSA ADESA

22、BEC1111Sa ABC 一2 3 212而$4cde 2 AO 1CO , . . OC 2 3 6, . OC:OD 6:3 2:1 , Sa ABC 1.所以則四邊形DFEC的面積等于3 2312【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC 2DE,F是DG的中點.陰 影部分的面積是多少平方厘米？DEC【解析】設(shè)Sa DEF1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.Sb影-5 $ BCD1212【例14】四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）.如果三角形ABD 的面積等于三角形BCD的面積的3,且AO 2, DO 3,那么CO的長度【解析】在本題中，四邊形AB

23、CD為任意四邊形，對于這種"不良四邊形”，無 外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解 決；通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條件Szabd : Svbcd 1:3,這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法.又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得 到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個"不良四邊 形”，于是可以作AH垂直BD于H, CG垂直BD于G,面積比轉(zhuǎn)化為高 之比.再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從 而主觀上愿意掌握并使用

24、蝶形定理解決問題.解法：: AO ：OCS ABD : S BDC 1:3 ,OC 2 3 6 ,OC :OD 6:32:1 ,解法二：作 AH BD于H , CG BD于G .111 S ABD 3S BCD ,AH - CG , . S AOD 3 S DOC ,【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成 4個三角形，其中三個三角形的面 積已知，求：三角形BGC的面積；AG:GC ?B【解析】根據(jù)蝶形定理 ,SVBGC 1 2 3 , 那么 SVBGC 6 ； 根據(jù)蝶形定理，AG:GC 12:36 1:3.【例15如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于O點，CEF、AOEF > AODF

25、> BOE的面積依次是 2、4、4和6.求：求OCF的面積；求4GCE 的面積.【解析】 根據(jù)題意可知， 4BCD的面積為2 4 4 6 16,那么ABCO和CDO的 面積都是16 2 8,所以O(shè)CF的面積為8 4 4；由于ABCO的面積為8, 4BOE的面積為6,所以O(shè)CE的面積為8 6 2,根據(jù)蝶 形 定理，EG ：FG S coe : S cof 2:4 1:2,所 以S GCE : S GCF EG:FG 1:2,一1 八 1-2那么 S GCES CEF 21 233BE:EC 2:3 , DF :FC 1:2, 三角形 DFG 的面積 ABCD的面積.【例16如圖，長方形AB

26、CD中， 為2平方厘米，求長方形【解析】SVDEF【例17】BE:EC 2:3FE .連接AE因(51G_ )S長萬形ABCD. _ S長萬形ABCD 2101 -因為 SVAED2 s長方形 ABCD , AG ： GF厘米，所以Svafd12平方厘米.ABCD的面積是72平方厘米.DF:FC 1:2105:1 ,所以 SvAGD5Svgdf10 平方因為-1 .SVAFD- S長方形 ABCD , 所以長方形6如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米, 陰影部分的面積.M是AD邊上的中點.求圖中因為M是AD邊上的中點，所以AM:BC 1:2,根據(jù)梯形蝶形定理可以知 道& AMG : &

27、amp; ABG : S*A MCG : & BCG 12 :(1 2):(1 2) :22 1:2:2:4 , 設(shè) S.AGM 1份，則Sa mcd 1 2 3 份，所以正方形的面積為12243 12份，晶影2 2 4份，所以端影：S正方形1:3,所以時影1平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點， 三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是 平方厘米.【解析】連接DE ,根據(jù)題意可知BE:AD 1:2 ,根據(jù)蝶形定理得 2S弟形（1 2）9（平萬厘米），S"CD3（平萬厘米），那么Swabcd 12（平方厘米）.【例

28、18】 已知ABCD是平行四邊形，BC:CE米.則陰影部分的面積是3:2,三角形ODE的面積為6平方厘 平方厘米.【解析】連接AC .由于ABCD是平行四邊形，BC:CE 3:2,所以CE: AD 2:3,根據(jù)梯形蝶形定理,Svcoe : S/AOC : Svdoe : Svaod 22 : 2 3 : 2 3 : 32 4 : 6 : 6 : 9 ,所 以 SVAOC 6（平方厘米） ,SVAOD 9 （平方厘米），又 Svabc Svacd 6 9 15（平方厘米），陰影部分面積為6 15 21（平方厘 米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位

29、：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.【分析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S OCD S OAE 2根據(jù)蝶形7E理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36 ,故 S OCD 36 ,所以SOCD 6（平方厘米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所 示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 S OCD S OAE 根據(jù)蝶形定理， S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16,故 S OCD 16 ,所以SO

30、CD4（平方厘米）.另解：在平行四邊形ABED中，SADE -SYABED - 16 8 12 （平方厘米）， 22所以S AOE S ADE S AOD 12 8 4（平方厘米）,根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8 2 4 4（平方厘米）.已知其中3塊的面積分別OFBC的面積為【例19如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊, 為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 平方厘米.【解析】連接DE、CF .四邊形EDCF為梯形，所以S EOD SvFOC ,又根據(jù)蝶形定理,S EOD S FOCS EOF S COD , 所以S EODS FOCS EOF S COD2 8 16,所以SEOD 4

31、（平方厘米），SECD 4 8 12（平方厘米）.那么長方形ABCD的面 積為12 2 24平方厘米，四邊形OFBC的面積為24 5 2 8 9（平方厘米).【例20】如圖，于K點.多少？D A GB E M F CABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交已知正方形DEFG的面積48, AK:KB 1:3,則BKD的面積是【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在 梯形ADBC中，BDK和ACK的面積是相等的.而AK : KB 1:3,所以ACK 的面積是ABC面積的，1,那么BDK的面積也是 ABC面積的1.1 3 44由于ABC是等腰

32、直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么 M是BC的中點，而且AM DE,可見 ABM和ACM的面積都等于正方 形DEFG面積的一半，所以 ABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為 48.那么BDK的面積為48 1 12 .4【例21】下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是 AB, BC, CD, DA的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分 的面積之比是最簡分數(shù)m,那么，(m n)的值等于.n【解析】左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀 察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積.如下

33、圖所示，在左圖中連接EG .設(shè)AG與DE的交點為M .左圖中AEGD為長方形，可知 AMD的面積為長方形AEGD面積的-,所 4以三角形AMD的面積為12 1 1 L又左圖中四個空白三角形的面積是2 4 8相等的，所以左圖中陰影部分的面積為1 1 482AEB如上圖所示，在右圖中連接AC、EF .設(shè)AF、EC的交點為N.可知EF/ AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的1 ,所以三角形BEF的面積為12 1 1梯形AEFC的面積為J 42 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2,根據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比為：12:1 2:1 2:22 1:2

34、: 2:4 ,所以三角形EFN的面積為3 1一那么四邊形BENF的面積為1工 L而右圖中四個空8 1 2 2 4 248 24 6白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為 1141.63那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為3:2 ,2 3即m 9, n 2那么m n 3 2 5 .【例22 如圖， 4ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD DF FB ,貝！J & ADE : S3邊形 DEGF : S3邊形 FGCB .設(shè)&ADE 1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方,所以S.ade:SA AFG22AD2:AF2SA ADE : SA ABC22

35、AD2 : AB2因止匕Saafg 4份，Saabc9份,進而有Sg邊形DEGF3份,S四邊形FGCB5份，所以Saade:S3邊形 DEGF:S3邊形 FGCB1: 3: 5【鞏固】如圖,DE 平行 BC ,且 AD 2 , AB 5 , AE 4 ,求 AC 的長.【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE:ACDE: BC 2:5AC 4 2 5 10【鞏固】如圖， ABC中，DE, FG , 相平行，BC互【例23】【例24】AD DF FM MP PB ,貝USa ADE : S3邊形DEGF : S四邊形FGNM : S四邊形MNQP:S四邊形PQCB設(shè) Saade1 份，&

36、;ade afg AD2 : AF21:4,因此S*A AFG4份，進而有S3邊形DEGF3份，同理有S3邊形FGNM5份，包邊形 MNQP 7份， S3邊形PQCB9份.所以有S ADE : S四邊形DEGF : S四邊形FGNM : S四邊形MNQP : S四邊形PQCB1:3: 5:7:9如圖，已知正方形ABCD的邊長為4, F是BC邊的中點，E是DC邊上AF與BE相交于點G ,求SA abg的點，且 DE:EC 1:3 ,方法一：連接AE ,延長AF所以有AB:CMBF:FC 1:1 ,£ ABG4 7方法二SA AEF4 4SA ABF : S AEF如圖所示,11(4DC

37、兩條線交于點M ,構(gòu)造出兩個沙漏,因止匕CM 44 2)AE, EF,根據(jù)題意有CE 3,再根據(jù)另GB:GE32AB:EM 4:711BG:GE 4:7,所以 SaABGSA ABF蝶4已知平行四邊形ABCD的面積是1 ,點， BF交EC于M,求 BMG的面積.(4 4112)士7E3211F是AB、 AD的中【解析】AD的中點,EF /BD【例25】【解析】FD:BC FH : HC 1:2, EB:CD BG:GD 1:2所以 CH:CF GH : EF并得G、H是BD的三等分點,BG: EF BM : MF 2:3 ,所以 BM又因為BG 13BD,所以SBMG解法二：延長CE交DA于I

38、可得,BM : MF可得SAI : BC AE: EBBC:IF 2:3 ,2 1sBMG _ 仁 S BDF5 3如圖，ABCD為正方形, 形PQRS的面積為多少？BM所以2BF51 2BG3 5如右圖,2:3 ,GH ,所以BFDBFD1s22ABD從而可以確定2 -BF54SYAM1MC 2MQ QC 1MC ,所以 PQ 2ABCD-1BG BD31,30NB DEFC2130SYABCDM的點的位置, （鳥頭定理），1cm 且 MN請問四邊所以Sspqr1 -1 -MC MC , 36MBEC占SaMCF所以以 Sspqr-1(11 2) (cm ).63（法 2）如圖,連結(jié) AE,

39、則 Sabe i 4 4 8（Cm2）,而理里，所以他AB EFEFAB2二2， S ABR - S ABEEF3而 Smbq1S ANS 3 422 3( cm2),因為216/28( cm33MPPC，所以MP 3MC,則Smnp P41 cm2）,陰影部分面積等于S ABRS ANS S MBQ S MNP163")【例26】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 4:9, CE: EA 4:3, 求 AF :FB .B【解析】 根據(jù)燕尾定理得Sa aobSaoc BD:CD 4:912:27SA AOB : SA BOCAE :CE 3: 4 12:16（都有 AOB的面積要

40、統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 Saaoc : SABOC 27:16 AF :FB【點評】本題關(guān)鍵是把4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我 們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達 到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 3:4, AE:CE 5:6 ,求AF : FB .【解析】 根據(jù)燕尾定理得SaaobSaoc BD :CD 3: 4 15: 20Sa aob : Sa BOCAE :CE 5: 6 15:18（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以 Saaoc : SAboc 20:18 10:9 AF :

41、 FB【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 2:3, EA:CE 5:4, 求 AF : FB .【解析】 根據(jù)燕尾定理得 SAaobSaoc BD :CD 2:3 10:15Sa aob : Sa boc AE： CE 5： 4 10:8（都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 SA AOC : SA BOC 15:8 AF : FB【點評】本題關(guān)鍵是把4AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我 們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達 到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例27】 如右圖，三角形 ABC中，AF: FB BD: DC CE: AE 3

42、:2,且三角形 ABC的 面積是1,則三角形 ABE的面積為 ,三角形AGE的面積為,三角形GHI的面積為.AA【分析】 連接AH、BI、CG .由于CE: AE 3:2 ,所以AE根據(jù)燕尾定理，Sacg : S ABGB：D C2 AC ,故 S ABE 2 S ABC 2 ；555CD ：BD 2:3, S bcg ：S abg CE：EA 3: 2 ,所以S ACG : S ABG : S BCG4:6:9 ,則 SacgS BCG那么SAGE 5sAGC 5 a 95；同樣分析可得EG :EB S ACG : S ACB 4:19 ,SACH 199則也日所 以 EG:GH : HB

43、4:5:10 ,S ACG : S ACH 4 : 9同樣分析可得AG:GI : ID所以Sbie10:5: 4 ,5 G5 2S BAE 1010 5S GHI5 c 511o S BIE1919 5 19【鞏固】如右圖，三角形ABC中,AF : FB BD: DC CE: AE 3:2,且三角形 GHI的面積是1 ,求三角形ABC的面積.AD【解析】連接BG SAAGC 根據(jù)燕S»A AGC : SABGCAF : FB 3: 2 6: 4Sa ABG : Sa AGCBD:DC 3:29:6得 Sbgc4（份），SA ABG9（份），則 Sa abc 19（份）,因此SGC.

44、SAABC同理連接AI、CH導生”9,反吧SA ABC 19 SA ABC9,所以互”19SAABC19 6 61919三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC勺面積是19【鞏固】如圖,ABC 中 BD 2DA ,影三角形面積的CE 2EB倍.AF 2FC ,那么ABC的面積是陰【分析】如圖，連接AI .根據(jù)燕尾定理， S BCI : S aci BD : AD2:1S BCI : S abi CF:AF 1:2,所以，SACI ： S bci : S ABI 1: 2 :4 ,那么，SBCI1 2-Sabc -S47ABC 同理可知ACG和ABH的面積也都等于 ABC面積的2,所以陰影三角形

45、的面積等于 ABC面積的179,所以ABC的面積是陰影三角形面積的7倍.【鞏固】如圖在MBC中，器EAFBFA最求趣嚼的值【解析】連接BG設(shè)&BGC1份，根據(jù)燕尾定理SA AGC : SA BGC AF : FB 2:1 , SAABG : SAAGC BD : DC 2:1，得&AGC 2（份）,SA ABG4（份），則8ABC 7（份），因此SA AGCSA ABC;，同理連接AI、cH導Sa ABHSa bicSAABC7SA ABC7,所以SagHISAABC【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這

46、在這講里面很 多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線.FG GA,三角形ABC【例28】 如圖，三角形 ABC的面積是1, BD DE EC, CF被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？設(shè)BGW A位于點P, BGW AE交于點QBF與A位于點MBF與 AE交于點N連接CP CQ CM CNSa AQG根據(jù)燕尾定理,S ABP : SACBPSA ABP1（份）,則 SAABC同理可得,& ABQ7 21同理,Sa bpmWS人SABDM35AG :GC 1:2 ,5（份），所以1 ,而 SAABG2PQMNSA ABP : SA ACPBD

47、: CDSA ABP一53，所以& APQ5 353570翅邊形MNED3570旦Ssc , SI邊形 NFCE422142SI邊形GFNQ2142【鞏固】如圖，ABC的面積為1,點D、E是BC邊的三等分點，點F、G是AC邊的三等分點，那么四邊形JKIH的面積是多少?【解析】 連接CK、CI、CJ .根據(jù)燕尾定理， Sack : S abk CD : BD 1:2,所以S ACK : S ABK : S CBK類似分析可得Sagi1:2:4,那么 Sack2S ABK : S CBK111 2 4 7AG:CG 1:2S AGKACK 21又 S ABJ : S CBJAF : CF那

48、么，SCGKJ114 21152:1, S abj : S ACJ BD :CD 2:11784S ACJ根據(jù)對稱性，可知四邊形CEHJ的面積也為", 84圖形的面積之和為Scgkj 2 Sagi S abe 2 -8415那么四邊形JKIH周圍的310,所以四邊形水舊的面積為1 61 70【例29】右圖，4ABC中，G是AC的中點,F是BC邊上的四等分點,AD與BG交于M , AF與BG交于N ,已知4ABM的面積比四邊形FCGN的 面積大7.2平方厘米，則 ABC的面積是多少平方厘米？【解析】連接CM、CN .根據(jù)燕尾定理，1& ABM - SA ABC，5再根據(jù)燕尾定理

49、,Sa ABM ： SacbmAG：GC 1:1,SA ABM : SA ACMBD : CD1:3 ,所以Sa ABN : Sa CBNAG：GC 1:1SA ABN : SA FBNSACBN : SA FBN4:3 ,所以 AN : NF,所以4:3 ,那么也為Sa afc424 3 7所以SfcgnSa AFC28 s'ABC 根據(jù)題意，有1SA ABC5 SSA ABC287.2 ,可得 SAABC336 （平方厘米）【例30如圖，面積為l的三角形ABCtDX E、F、GH I分別是AB BCCA的三等分點，求陰影部分面積.BADMQFG【解析】三角形在開會，那么就好好利用三

50、角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI與CD的交點為M AF與CD勺交點為N, BI與AF的交點為P, BI與CE的交點為Q連接AM BN CP求酶邊形admi :在ABC中，根據(jù)燕尾定理,AI :CI1: 2 SA ACM : SA CBMAD : BD 1:2設(shè) SABM1（份），則 SACBM2（份），SA ACM1（份工 Sa ABC4（份）,所以SaabmSA ACM一 SABC , 4所以SA ADMSA ABC , SZ AIM12一SA ABC , 12所以 SI邊形 ADMI（一125）& ABC-SA ABC, 6同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是.C面積的1求S五邊形DNPQE :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理SA ABN : SA ACNBF :CF 1: 2 Sa acn SbcnAD :BD1:2,所以SA ADN1sSA ABN3- SA ABC3 7ABC,同理品1sBEQSAABC21 ABC施八、SA ABP : SA