南理工信號(hào)與系統(tǒng)課件SS_Chap9.

1、第9章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法9.1系統(tǒng)的狀態(tài)變量和狀態(tài)方程9.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 9.3離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 9.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解9.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1、經(jīng)典的線性系統(tǒng)理論 廣系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)外部特性2、狀態(tài)變量分析r狀態(tài)變量,系統(tǒng)內(nèi)部特性I單輸入單輸出系統(tǒng)R多輸入多輸出系統(tǒng)<.(022C 士 vc(t)厶啤。=欠一"一吃 d/c勢(shì)十）29.1 系加的狀態(tài)sea和 狀態(tài)方程經(jīng)典分析法中（輸出輸入分析法）A（Z）（X川）O微分方程（或差分方程）Oy(t)0川)o49.1 系加的狀態(tài)sea和 狀態(tài)方程#9.1 系加的狀態(tài)sea和 狀態(tài)方程不關(guān)心系

2、統(tǒng)內(nèi)部變量的變化情況，只對(duì)輸出變量y感 興趣，這種方法稱為端口分析法或輸入輸出分析法。狀態(tài)變量分析法中只要知道t = g時(shí)的一組數(shù)據(jù)和r>心時(shí)的系統(tǒng)輸入， 就能完全確定系統(tǒng)在/> /0的任何時(shí)間的行為。這紅I數(shù)據(jù)就稱為系統(tǒng)在f = 的狀態(tài)（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)耍最少）。9. 1 系城的狀態(tài)和狀態(tài)方SL表示系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間了變化的變最稱為狀態(tài)變量。n階系統(tǒng)有X個(gè)狀態(tài)變量描述系統(tǒng)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變呈和激勵(lì)信號(hào) 關(guān)系的方程稱為狀態(tài)方程，狀態(tài)方程是個(gè)一階微分方程組。描述系統(tǒng)輸! H與狀態(tài)變廣和激勵(lì)之間關(guān)系的方程稱為 輸出方程。輸出方程是代數(shù)方程組。59. 1系加的狀態(tài)和狀態(tài)方程用狀態(tài)變量法分析系

3、統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn):便于研究系統(tǒng)內(nèi)部物理量的變化2）適合于多輸入多輸出系統(tǒng)3）也適用于非線性系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)便于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性5）便于采用數(shù)字解法，為計(jì)算機(jī)分析系統(tǒng)提供了 有效途徑59. 1系城的狀態(tài)交量和狀態(tài)方程（1）連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式設(shè)系統(tǒng)有&個(gè)狀態(tài)變屋：A,入，人加個(gè)輸入彳言號(hào)：X （t）,兀2（），?！保ǎ﹔個(gè)輸出信號(hào)：X（F）,兀，兒 則狀態(tài)方程和輸出方程分別為：人（）=© I人（f） + + alnAk （r） + bx 內(nèi)（/） + + blmxm （/）&仃）=勺| 人（C + + 勺“人（F） + 婦|.勺（/） + + b2mxm （/）

4、2（F） = S入（F）+ + %At（）+® 內(nèi)+ + “如兀"（F）其中如沁態(tài)變咲）的-階導(dǎo)數(shù)。§Ji =C人 + + 樂(lè)人(/) + d內(nèi)(/) + + dmxin (0 y2(Z)= C21A()+ + C2k A, (f)+ 2勺(')+ + 2“?！?° »()=j人a)+5人(。+/內(nèi)(0+”兀#)上述狀態(tài)方程和輸出方程可以寫成矩陣形式：狀態(tài)方程：2(r)IxI =AhxJ2(r)LxI 4-LBJ,xwx(/)wxl 輸出方fth Ly(OJrxI =LCJrxAR(r)hxl +LZJ>JrxWfLx(OJ/MX

5、I其中:A(OJ =A(o 兄=_A(o_ x(r)=-V|(O ' y(M =>i(0y2(0 人(/)入(/)Mi宀（o兒a) 79. 1系加的狀態(tài)交畳和狀態(tài)方Ata °12你5如wA =知 a22'" a2k B =21 乃22 2/w _ak ak2u * ' akk _Jk “2 bg .C 1 °12 ii d、2 dg|C| =C21 C22 c2k£> ="21 “22 “2,” C t C 0 2L rr2rk J_dr 4*2 £”_8(2) 離敗系筮狀態(tài)方fit和榆出方稅的一般

6、形式設(shè)系統(tǒng)有k個(gè)狀態(tài)變罠：&剛,占從*【并1 加個(gè)輸入信號(hào):x,/i, x2n, »%,/ r個(gè)輸出信號(hào): xl川，力川，,y川 則狀態(tài)方程和輸出方程分別為：2和+ 1= “人|川+ 4山人川+也1百川+%”兀”川l2n + = a2llln + -ha2kAkn + b2xln- + b2inxmn 人畀+ 1 = 5人川+他入|川+如內(nèi)川+鵝?！贝↗i« = 5入九+ + clkAkn+% |斗川+ + dltnxmn y2 W】=C21 人 W + + % /? +d2lxt n + + d2mxmnj yrW = s人/i + + 5入n + drlxtn

7、+ + dntlxmn9(2) 離散耳J冼狀態(tài)方程平榆出方祝的TiU杉式上述狀態(tài)方程和輸出方程可以寫成矩陣形式:狀態(tài)方程:以W + llz=【A“ 如llz+IBkUM輸出方程:畑打-Crx,恥g + £>lrxm XMmx|/U|h+ 1 e a/z =人 n 4- 1其中：咖+1 =x"M"l=x2nyl«l =MM10(2) TIT散狀態(tài)方程*輸出方程的一般瘧式an 化0 k 'hn Q An "IA =勺咳鄉(xiāng)人 B = _akl %Jk 1徐2嘰八_C =乙£廠 q £k D =“21"12“

8、】加“222m _Cr 02Crk _d2 dm _9. 2狀態(tài)方穩(wěn)的理立建立狀態(tài)方程的基本步驟包括；(1) 確定狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，它等于系統(tǒng)的階數(shù)；<2)選樣狀態(tài)變帚:；(3) 列寫狀態(tài)變鍛的一階微分方程組；對(duì)步驟(3)屮所列寫的方程組進(jìn)行化簡(jiǎn)，為求 解方便起見(jiàn)，一般寫成矢量矩陣的形式。129. 2. 1系址狀態(tài)方的寫具體步驟：（1）確定狀態(tài)變雖的個(gè)數(shù)：它等于獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)， 即獨(dú)立電感和電容個(gè)數(shù)Z和:（2）選樣狀態(tài)變童：一般選抒流過(guò)電感的電流幾和電容兩 端電圧叱（）作為狀態(tài)變量；（3）微分方程的編寫：依據(jù)網(wǎng)絡(luò)約朿條件（即KVL和KCL） 來(lái)建立電路方程；（4）消去井狀態(tài)變量：運(yùn)算

9、化簡(jiǎn)成狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式, 并寫成矢量矩陣形式。9. 2. 1系玻狀態(tài)方程的宜觀編寫169. 2. 1系玻狀態(tài)方程的宜觀編寫例921：給定下圖所示電路，列寫狀態(tài)方程。 1/3H°兄2 加)y2入(/) +丁入(/)+/3(/)=兀1(/)atA(0 + - A(0_ A(0 - 一 兀2 5 at*2禺=入一人2QnEO1H W1/2F-11IQC 齊2(f)解：回路1：回路2：159. 2. 1 系玻狀態(tài)方程的宜觀編寫整理得:-2 0 -1人(滬1 0_Z V4(0-0 -3 3+0 -3«¥(/)Z啟加22-2 02")_0 0-z、#.人=一2入一

10、碼(r) + X|(r)v入二一3人(門+ 3珞一3七人=2入-2人表示成矩陣形式為：1718ii?)n例9.2-2列寫如圖923所示電路的狀態(tài)方程。若以電阻R2上 的電壓耳和電源電流作為輸出，列寫狀態(tài)方程和輸出方 程，其申R = R2 = lfl, L = L2 = 0.5Hr z解；無(wú)()=2(0 =鼻2(小 右=(f) o節(jié)點(diǎn)“ cl(r)=Al(0-A2(0(921) 乂) Q，2回路 II: 2(0=23(0 + 心 i5(t)(9.2-2)回路III : L/i(0=么 + R、/4(0(9.2-3)vs(0 = /?|Z4W W(0(9.2-4)17i5(t) = f4(r) +

11、 c4(0(9.2-5)9. 2. 1 系統(tǒng)狀態(tài)方程的JL接編寫由式(9.2-1)、式(9.2-4)和式(9.2-5),以及給定的元件參數(shù)得到；4(O = O.5ps(/)-(r) + /l2(/)；5(r) = 0.5vs(r) + x1(/)-(/)由式(9.2-1),式(9.22)和式(923)得到的狀態(tài)方程為人(?)= 一入 + 人()-2Zj(r) + vs(t)< 4 (r) = A(0 - A2 (0 + 2 (r) + v5 (r) 心/) = 2人(/)一2易(。#輸出方程為：= v5(o =心y2(t) = /(r) = 2(0 + Z4(r) 將W)和W)代入即可得

12、：yi (/) = 0.5 A (0 - (0 + V/D* =05人(f) + XoO) + v5(r)將狀態(tài)方程和輸出方程改寫為矩陣形式:1V/Z)1 -1 011 1 0人(f)+ 2_入一2;叫1199. 2. 2系統(tǒng)狀態(tài)方程的間接編寫系統(tǒng)狀態(tài)方程間接編寫的一般步驟：（1）根據(jù)給定系統(tǒng)的表示方式（微分方程、沖激響應(yīng). 系統(tǒng)函數(shù)），模擬出系統(tǒng)的信號(hào)流圖（直接型、級(jí)聯(lián)型、 并聯(lián)型）；（2）確定狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)，它等于系統(tǒng)的階數(shù)；（3）依據(jù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖，選擇積分器的輸出作為狀態(tài)變量；（4）根據(jù)信號(hào)流圖的運(yùn)算規(guī)則，列寫狀態(tài)方程和輸出方程，并 寫成矩陣形式；20例9.23：分別給出用直接型.級(jí)聯(lián)

13、型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)下式所示系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程："")一臣 + 6$2+11$ + 625+8解：直接型2嚴(yán)+8尸H（5）=；1+6屛+11尸+6廠o yU)X0o-4, (/) = 2(/)入=入(022人=一6人("一1心(“一6入(0 + x(Z)>(/) = 8/ (/) + 2A,(Z)21寫成矩陣形式：9. 2. 2系軟狀態(tài)方程的間接編寫A, (f) = A,(f)4(0 = 2.(/)，()=8人(0 + 2“)A (z) = 一6 石(z)-HA, (/) 一 6入 + x(/) 入MB()1 0A(o' 0X(r)00 1入+0

14、人IM-6-1 1 -6Ml1 x(r)A(oW) = 8 2 0易入23(2)級(jí)聯(lián)型 H(s) = 2$+ 8s3口I s十4H(5)s+1 s+2+ 6s +115 + 625_,1 + 4/ 2sxX(f)S + 3 l + J 1 + 2sx 1 + 3$人(/) = 3人(/)+4 入 Q) + 22 +心(r) 3入(r) + 2X> (/)+人(/) 人a)= -2易a)+入 人=_+垃)-32 r°人(/)0-2 1入+0人00 -1V1 MO 232.v + 8并聯(lián)型 5 25 + 83, -41H (s)=-+ -+(5 4- 1)(5 4- 2)(5+ 3

15、)5 4- 15 + 25 + 33廠"一4$5"1=；r + r +r =(s) + H2(s) + H. (s) +2" + 3昇 1心二-兄”) + 4)< 力 2(f)= 22 2(/) + x(f)y(t) = 3人4入+右y(t)1/s X13-1-42 3=-3久 3(f) + X(f)-1oo00/t/r)' 1-20八+10-3丄久“)1 2 22 3曲)25久(/) = -2 /) + %(/)y(t) = 32j - 4An + 入« 2 2(/) = -22 2(f) + x()2 3(/) = -32 3(/)+垃

16、)兒/ o(O =*2 3(0y(t) = 3 -49. 2. 2系綻狀態(tài)方程的間接編寫IJ9.2-3用并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式列寫下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解:H(g(s + l)3(；：；)($ + 3)/(滬卑+半+叫芻竺(5 + 1/($ + 1)25 + 1 S + 25 + 32(1 + "丿4(1 +昇丿根據(jù)上式可以畫出如下流圖:15 +8+1 + 3 昇(5-'7('昇)ll+小4【+"丿3)=2155_，_5_，15_，8 1+昇1 + 2$"8 l + 3s"27人(r)= 一人(r) + 兄2(r) 丄()=-坷(r) +入

17、(f) 人(/) = -(z) + x(r) 兄4 a)= 24 a)+兀(/) 人(。=一3以)+ W)37151y(.f )=空人(r) 才 A(f) + 入(/) 一 2 兄4()+ g 入()9. 3離散系玻狀態(tài)方程的理立寫成矩陣形式：-1100o'(r)_0-11010(r)00-100(f)0001-2)0Aa)000；0_3A(r)_K) V) / / z / F /V /IX /k /( 15-8xz XI/ xz /* / / / / r(v z( z( z( z(v A入人A人 廠 22.9選擇每個(gè)延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變最。329. 3離散系玻狀態(tài)方程的理立選擇每個(gè)

18、延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變最。329. 3離散系玻狀態(tài)方程的理立入=Q人+b入+兀2( + %=(t)+(r)+兀 i (r)+(r)例 己知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如下圖所示，列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程 與輸出方程(寫成矩陣形式)。M) °-解. 0(r)=希)，(/)=人(/) + 兀2(。9. 3. 1 根摒給定J8U匪的土分方IX理立狀態(tài)方fityin + qyn-1J + a2yn一2 + + ak_yn 一 (k- 1) + akyn 一k=boxn + bxn - 14-b2xn 2bk xn (k 1)+仇xn 一 k叱)4+仟七加：l+qz+ 4iZ +d«Z根據(jù)上式nliHl

19、ifll何接型信號(hào)流圖。31ynxn Oak*z:HO 二 b° +b憶 i + +九憶 u ')+g :"I 4-6/jZ 1 +«2Z一憶""+色廠選擇每個(gè)延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變最。32x1» + 1| =易 I川韌+1=如川:4 + 11 =伽AJ/ + 1 = -ak 人n-孤-入川他兀 1W 一 aiW + 以川yn = bk 入n + 0 仏旳 + + b2Zkn + bkn + bQn + =（bk - akb0 ）2, n + （bk - ak_bQn +. +02 一冷久）入一11川+（勺一卩仇）入川+處川3

20、39. 3. 1入 w + l010 0入燈+ 100I 0入4 + 100013 + 11 _一如一兔2人川O心川0+01yn = （bk-akb0 一代/J,（乞一“）,（仇一ap。）+ （川川9. 3. 2楓掲繪定系疑的號(hào)派圖理立狀態(tài)方例9.3-1給定離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖，列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和人 + 1=人川+ 刃(yt n=人" + 2JH + 1 = a2Z2n-x2ny2w = nj + xjn359. 3. 2 根揭箱定系兢的樞0BJ«/rfr號(hào)5t0B理立狀態(tài)方WL入/7 + 1_4 0_4-1 0飛訂ZJh + IL。a2_2Pd_0 1 x.nB«

21、;1 r加1+0 o-丄皿0 1_入川_|+|_1 0369. 3. 2 根1&給定系疑的框0HJC侑&派圖理立狀態(tài)方稅例932列寫圖示離散系統(tǒng) 的狀態(tài)方程和輸H :方程o石”+ = -An +2Zn-1 ）+.V|/jJr2nZJn+l | =+X|/?| -3x2|/d2+1 =-3（對(duì)川+刃時(shí)）+對(duì)川yjw =（Aj n +222W+I） +"川y2n =2（2J/7 +2入+1）+（入川 +A3n）''379. 3. 2 根摒給定系兢的樞圖或倩號(hào)stBB理立狀態(tài)方程經(jīng)整理彳W： AJ/2+11 = -11+4/1 -a:i«+5a2/

22、2AW+l = -2n +Xjn -3x2nn+l = 一3為燈-323n+ x2n川川=入川 一32 +2XW1y2ll =22I|/i| -7221/? +禺|和I +4.t|/7 2x2n矩陣形式:r-i 40入"1-I5 0-201 d AAn+1_3X|W0-3-3如刀101_v2L«J入S+l如+ 11袖+ 11.vikdW+0124-6 ir xjnj-12"389. 4 延琰時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求稱- =斗加）=A2G） + BX01讓dF .（/）l = CA（/） + Dx（/）兩邊取拉氏變換LA（5）-2（0） = AA（5） + |5X（5）

23、|y（5）=CA（5）+PX（5）整理得JA（s） =（£/ 4尸銳（0-） + （$/ A）BX（s）b（3） = C&/-Am（F） + Lc（H/ A尸+ DX（s）399. 4 連壊時(shí)間狀態(tài)方程的求解A（5） =（電-劉）"口（0-）+（£/- IBX（S）K（5） = C（4/-A） 1 A（0）+C（4/-A）_，B+D |X（$） 手徐入響應(yīng)%（$）'零狀態(tài)響匕心H*這樣，就町以通過(guò)求逆變換，得到時(shí)域表示式。其中:H（S） = C（sl-Ayl B + D系統(tǒng)函數(shù)矩陣Hh（5）耳2（0）=w21（5）H22（s） H2tn（s） H

24、八 HZ Hrnl（s）m40”、第，個(gè)輸出乙（s）中對(duì)第/個(gè)輸入,（$）的響應(yīng)第j個(gè)輸入X's）兒他輸入=0如0）=例如：'3Hh（5）=系 統(tǒng)H品）=弘）Wn（5）W2I（5）X2)=oX2(5)=0W12（5）W22（5）弘2（$）X 2 (s )=07/32(3) =X|(5 >=04142#矩陣的逆A =222K#14存在的條件是：1）|A是方陣；2） |4|hQ非奇異、滿秩）性質(zhì)：(1)A-A=AA-' =/(2) (A-')1 = A/的伴隨矩陣/的行列式A-i = a4iM 其中：adj A lAl#9. 4 連琰時(shí)間J8U01狀態(tài)方程的求

25、解LAJ-*A.4>i -厲2A,. adj|A = £去2AKK扛中，A”是元素勺了的代數(shù)余因子(代數(shù)余子式) 州=(T)F®叫是劃去矩陣S的第i行和第/列后所得的(K-l)x(K-l)階 矩陣的行列式。439. 4 連琰時(shí)間J8U01狀態(tài)方程的求解9. 4 連琰時(shí)間J8U01狀態(tài)方程的求解解：a0 11A =1 00求皿1 12=一】工0所以，A存在逆矩陣。|九每_ 0 -1 0 _a22人32=-2 -1 1LasAs.1 1 -1例己知adjM=0碼=(T嚴(yán)012.110 _2 =0=2其中：九=(1)30-119. 4連續(xù)時(shí)間系疑狀態(tài)方程的灰解對(duì)于二階矩陣劉=沖。21 22469. 4連續(xù)時(shí)間系疑狀態(tài)方程的灰解#9. 4連續(xù)時(shí)間系疑狀態(tài)方程的灰解例已知?jiǎng)?；求M廣解：，MB«31A-* =7-3 -1221 1-1 1111 3L 22#9. 4連續(xù)時(shí)間系疑狀態(tài)方程的灰解45#9. 4