第九章矩陣和行列式初步

1、第 九 章 矩陣和行列式初步 格致中學 王國偉 9.1 矩陣的概念（2）教學目標1、 掌握矩陣的三種基本變換；2、掌握運用矩陣基本變換求線性方程組的解。教學重點運用矩陣基本變換求線性方程組的解。教學難點如何利用系數(shù)矩陣判斷線性方程組是否有解。教學過程一、復習引入：根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對應的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對應線性方程組解的關系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：這些方程組為；。這些增廣矩陣所對應的線性方程組的解都是相同的。二、新課講解：通過上面練習，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個有關線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一

2、行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。 顯然，通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解。三、應用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價值132元，每公斤一元硬幣價值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計462個，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）解：設一元硬幣有個，五角硬幣有個，則根據(jù)題意可得：加到不變 則該方程組的增廣矩陣為，設、分別表示矩陣的第1、2行，對矩陣進行下列變換：不變不變 加到不變 由最后一個矩陣可知：答：一元硬幣有110個，五角硬幣有352個。例2、用矩陣變換

3、的方法解三元一次方程組的解。解：此方程對應的增廣矩陣為：設此矩陣第1、2、3行分別為、，對此矩陣進行下列變換：加到加到不變 、不變加到加到不變 加到加到不變、不變 交換、不變， 此方程組的解為說明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個行向量所對應的方程只有一個變量； 2、在變換過程中，實際為加減消元的過程，此過程中應根據(jù)數(shù)字的特點，運用適當?shù)某绦蜻M行化簡運算。例3、運用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）加到不變解：此方程組對應的增廣矩陣為：，設、分別表示此矩陣的第1、2行，對此矩陣進行下列變換： ）當，即時，以上矩陣可作如下變換：加到不變不變 不變 ，此時方程有唯一解；）當即時，若即時，方程組

4、無解；）當即時且時，方程組有無窮多解，它們均符合。說明：（1）符合情況）時，方程組有唯一解，此時兩個線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時，兩個線性方程所表示的直線平行，此時方程組無解； （3）符合情況）時，兩個線性方程所表示的直線重合，此時方程組有無窮多解。四、課堂練習：用矩陣變換方法解下列問題：（1）若方程組的解與相等，求的值。解： 解得，由題意知：求得：。（2）有黑白兩種小球各若干個，且同色小球質量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質量均為克，每只黑球和白球的質量各是多少克？第一次稱量第二次稱量解：設黑球和白球的質量各為、千克，則由題意知：通過矩陣變換解得：黑球每個3千克，白球每個1千克。（3）解方程組：解：即方程組的解為。五、小結：本課學習了利用矩陣的三種基本變換求解線性方程組的解，此方法的實質為加減消元法解線性方程組，通過基本變換，將方程組對應的增廣矩陣的系數(shù)矩陣化為單位矩陣，則最后一個列向量即為方