矩形（基礎(chǔ)）知識講解練習(xí)(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上矩形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形的定義有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)詮釋：矩形定義的兩個要素：是平行四邊形；有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件. 要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對角線相等；3.矩形的四個角都是直角；4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸. 要點(diǎn)詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對稱圖形，有

2、兩條對稱軸（分別通過對邊中點(diǎn)的直線）.對稱軸的交點(diǎn)就是對角線的交點(diǎn)（即對稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.要點(diǎn)三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形. 要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3、推論：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形的性質(zhì)1、（2015云南）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且PNB=3CBN（1）求證：PNM=2CBN；（2）求線段AP的長【思路點(diǎn)撥】（1）由MN

4、BC，易得CBN=MNB，由已知PNB=3CBN，根據(jù)角的和差不難得出結(jié)論；（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知PAN=CBN，由（1）知PNM=2CBN=2PAN，由ADMN，可知PAN=ANM，所以PAN=PNA，根據(jù)等角對等邊得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP【答案與解析】解：（1）四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，MNBC，CBN=MNB，PNB=3CBN，PNM=2CBN；（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知PAN=CBN，MNAD，PAN=ANM，由（1）知PNM=2CBN，PAN=PNA，AP=PN，AB=CD=4，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，

5、DN=2，設(shè)AP=x，則PD=6x，在RtPDN中PD2+DN2=PN2，（6x）2+22=x2，解得：x=所以AP=【總結(jié)升華】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合運(yùn)用，難度不大，根據(jù)角的倍差關(guān)系得到PAN=PNA，發(fā)現(xiàn)AP=PN是解決問題的關(guān)鍵舉一反三：【高清課堂 矩形 例7】【變式】如圖，RtABC中，C90，AC3，BC4，點(diǎn)P為AB邊上任一點(diǎn)，過P分別作PEAC于E，PFBC于F，則線段EF的最小值是_ 【答案】；提示：因為ECFP為矩形，所以有EFPC.PC最小時是直角三角形斜邊上的高.類型二、矩形的判定2、（2015內(nèi)江）如圖，將ABCD的邊AB延長至點(diǎn)E，使AB=BE

6、，連接DE，EC，DE交BC于點(diǎn)O（1）求證：ABDBEC；（2）連接BD，若BOD=2A，求證：四邊形BECD是矩形【答案與解析】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，ABCD，則BECD又AB=BE，BE=DC，四邊形BECD為平行四邊形，BD=EC在ABD與BEC中，ABDBEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB四邊形ABCD為平行四邊形，A=BCD，即A=OCD又BOD=2A，BOD=OCD+ODC，OCD=ODC，OC=OD，OC+OB=OD+OE，即BC=ED，平行四邊形BECD為矩形【總結(jié)升華】本題考查了平行四

7、邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，熟練掌握特殊幾何圖形的性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，ABAC，D為BC中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形.求證：四邊形ADCE是矩形.【答案】證明：四邊形ABDE是平行四邊形，AEBC，ABDE，AEBDD為BC的中點(diǎn)，CDBDCDAE，CDAE四邊形ADCE是平行四邊形ABACACDE平行四邊形ADCE是矩形.3、如圖所示，ABCD四個內(nèi)角的角平分線分別交于點(diǎn)E、F、G、H 求證：四邊形EFGH是矩形【思路點(diǎn)撥】AE、BE分別為BAD、ABC的角平分線，由于在ABCD中，BAD+ABC180，易得BAE+ABE90

8、，不難得到HEF90，同理可得HF90【答案與解析】證明：在ABCD中，ADBC， BADABC180， AE、BE分別平分BAD、ABC， BAEABEBADABC90 HEFAEB90 同理：HF90 四邊形EFGH是矩形【總結(jié)升華】 (1)利用角平分線、垂線得到90的角，選擇“有三個直角的四邊形是矩形”來判定(2)本題沒有涉及對角線，所以不會選擇利用對角線來判定矩形類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)4、（2012佳木斯）如圖，ABC中，ABAC10，BC8，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則CDE的周長為（）A20 B12 C14 D13【答案】C；【解析】解：

9、ABAC，AD平分BAC，BC8，ADBC，CDBDBC4，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，DECEAC5，CDE的周長CDDECE45514【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖所示，已知平行四邊形ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O，P是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，且APCBPD90求證：平行四邊形ABCD是矩形【答案】解：連接OP 四邊形ABCD是平行四邊形 AOCO，BODO， APCBPD90， OPAC，OPBD， ACBD 四邊形ABCD是矩形【鞏固練習(xí)】一.選擇題1（2015春宜興市校級期中）下

10、列說法中正確的是（）A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 平行四邊形的對角線平分一組對角D. 矩形的對角線相等且互相平分2若矩形對角線相交所成鈍角為120，短邊長3.6，則對角線的長為( )A. 3.6B. 7.2C. 1.8D. 14.43矩形鄰邊之比34，對角線長為10，則周長為( )A.14B.28C.20D.224已知AC為矩形ABCD的對角線，則圖中1與2一定不相等的是( ) A.B.C.D. 5. 在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（ ） A測量對角線是否相互平分 B測量兩

11、組對邊是否分別相等C測量一組對角是否都為直角 D測量其中三角形是否都為直角6. 如圖，ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BEDF交DF的延長線于點(diǎn)E，已知A30，BC2，AFBF，則四邊形BCDE的面積是（） A. B. C.4 D.二.填空題7矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，AOB60，AC10，則AB_，BC_8在ABC中，C90，AC5，BC3，則AB邊上的中線CD_9. 如圖,矩形紙片ABCD中，AD4，AB10，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE_.10.（2015重慶模擬）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，且AED=90，AD=

12、10，則AB的長為11.如圖，ABCD的頂點(diǎn)B在矩形AEFC的邊EF上，點(diǎn)B與點(diǎn)E、F不重合，若ACD的面積為3，則圖中陰影部分兩個三角形的面積和為_.12. 如圖，RtABC中，C90，ACBC6，E是斜邊AB上任意一點(diǎn)，作EFAC于F，EGBC于G，則矩形CFEG的周長是_.三.解答題13.如圖,矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，OFBC，CEBD，OEBE13，OF4，求ADB的度數(shù)和BD的長.14.如圖,在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn)，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論.15.（2015通州區(qū)一模）已

13、知菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC的延長線上，且CF=BC，連接DF，點(diǎn)G是DF中點(diǎn)，連接CG求證：四邊形ECGD是矩形【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D； 【解析】對角線相等的平行四邊形是矩形，A不正確；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，B不正確；平行四邊形的對角線互相平分，菱形的對角線平分一組對角，C不正確；矩形的對角線互相平分且相等，D正確；2.【答案】B； 【解析】直角三角形中，30所對的邊等于斜邊的一半.3.【答案】B； 【解析】由勾股定理，可算得鄰邊長為6和8，則周長為28.4.【答案】D； 【解析】21.5.【答案】D；6.【答案】A； 【解析】先證AD

14、FBEF，則DF為ABC中位線，再證明四邊形BCDE是矩形，BE，可求面積.二.填空題7【答案】5，5；【解析】可證AOB為等邊三角形，ABAOCOBO.8【答案】； 【解析】由勾股定理算得斜邊AB，CDAB.9.【答案】5.8； 【解析】設(shè)DE，則AEABBEABDE10.在RtADE中，由勾股定理可得AD2AE2DE2，即，解得5.8.10.【答案】5；【解析】矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AB=CD，BE=CE，B=C=90，可證得ABEDCE（SAS），AE=DE，AED=90，DAE=45，BAE=90DAE=45，BEA=BAE=45，AB=BE=AD=10=511.【答案】3； 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出ADBC，DCAB，證ADCCBA，推出ABC的面積是3，求出ACAE6，即可求出陰影部分的面積12.【答案】12；【解析】推出四邊形FCGE是矩形，得出FCEG，F(xiàn)ECG，EFCG，EGCA，求出BEGB，推出EGBG，同理AFEF，求出矩形CFEG的周長是CFEFEGCGACBC，代入求出即可三.解答題13.【解析】解：由矩形的性質(zhì)可知ODOC.又由OEBE13可知E是OD的中點(diǎn).又因為CEOD，根據(jù)三線合一可知OCCD