2014高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 14.2 直接證明與間接證明教案 理 新人教A版

1、14.2直接證明與間接證明典例精析題型一運(yùn)用綜合法證明 【例1】設(shè)a0，b0，ab1，求證：8.【證明】因?yàn)閍b1，所以1122248，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立.【點(diǎn)撥】在用綜合法證明命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從已知逐漸引出結(jié)論.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a，b，c0，求證：abc.【證明】因?yàn)閍，b，c0，根據(jù)基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc).即abc.題型二運(yùn)用分析法證明【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長，Iabc，Sabbcca.求證：I24S.【證明】由I2(ab

2、c)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22S，故要證I24S，只需證a2b2c22S4S，即a2b2c22S.欲證上式，只需證a2b2c22ab2bc2ca0，即證(a2abac)(b2bcba)(c2cacb)0，只需證三括號中的式子均為負(fù)值即可，即證a2abac，b2bcba，c2cacb，即abc，bac，cab，顯然成立，因?yàn)槿切稳我庖贿呅∮谄渌麅蛇呏?故I24S.【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑.(2)應(yīng)用分析法證明問題時(shí)要注意：嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.【變式訓(xùn)練2】已知a0，求證：a2.【證明】要證a2，只要證2a.

3、因?yàn)閍0，故只要證(2)2(a)2，即a244a222(a)2，從而只要證2(a)，只要證4(a2)2(a22)，即a22，而該不等式顯然成立，故原不等式成立.題型三運(yùn)用反證法證明【例3】 若x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy2.求證：2或2中至少有一個(gè)成立.【證明】假設(shè)2和2都不成立.則2，2同時(shí)成立.因?yàn)閤0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加得2xy2x2y，所以xy2，這與已知條件xy2相矛盾.因此2與2中至少有一個(gè)成立.【點(diǎn)撥】一般以下題型用反證法：當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更具體、更明確；否定命題，唯一性命題，存在性命題，“至多”“至少”型命題；有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)

4、論涉及到無限個(gè)元素，用直接證明形式比較困難因而往往采用反證法.【變式訓(xùn)練3】已知下列三個(gè)方程：x24ax4a30；x2(a1)xa20；x22ax2a0，若至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有由(4a)24(4a3)0，得4a24a30，即a；由(a1)24a20，得(a1)(3a1)0，即a1或a；由(2a)24(2a)0，得a(a2)0，即2a0.以上三部分取交集得Ma|a1，則三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍為RM，即a|a或a1.總結(jié)提高分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：分析法是執(zhí)果索因，比較容易尋求解題思路，但敘述繁瑣；綜合法敘述簡潔，但常常思路阻塞.因此在實(shí)際解題時(shí)，需將兩者結(jié)合起來運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法簡潔地?cái)⑹鼋忸}過程.從邏輯思維的角度看，原命題“pq”與逆否命題“qp”是等價(jià)的，而反證法是相當(dāng)于由“q”推出“p”成立，從而證明了原命題正確.因此在運(yùn)用反證法的證明過程中要特別注意條件“q”的推理作用.綜合法與分析法在新課標(biāo)中第一次成為獨(dú)立的顯性的課題，