基本不等式的變形及應用

1、精品文檔2隨意編輯基本不等式a2b22ab的變式及應用2 2不等式a b 2ab是課本中的一個定理，它是重要的基本不等式之一，對于它及它各種變式的掌握與熟練運用是求解很多與不等式有關問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應用1、十種變式2 2, a b ab2 ab (-T2 ；號)2 a2 b2.2(a2b2)2若b 0，則2aba,b4b11 2若 a,b R，(-1)2a b4ab若ab上述不等式中等號成立的充要條件均為:若 m, n R ,a,b R，則a2b2(a b)2（當且僅當anm nbm時等號成立）2 2(a b c) 3(ab2（當且僅當a b c時等號成立）2、應用

2、例 1、若 a,b,c Rc 2，求證：、a 1.b 1.c 14證法一：由變式得21HI 二理同vbb- 2廠VCc- 2因此.a 1 b 1 c 1由于三個不等式中的等號不能同時成立，故a 1- b 1 c 14精品文檔2 b2評論：本解法應用"ab”觀察其左右兩端可以發(fā)現，對于某一字母左邊是2一次式，而右邊是二次式，顯然，這個變式具有升幕與降幕功能，本解法應用的是升幕功證法二：由變式得a 1 b 1 . 2(a 廠b)同理：.c 1 12(c_1一1)a 1.b 1、c 112(a b 2) 2(c 2)2(a b c 4).12 5故結論成立評論：本解法應用“ a b V2(

3、a2 b2) ”，這個變式的功能是將 “根式合并”，將“離 散型”要根式轉化為統(tǒng)一根式，顯然，對問題的求解起到了十分重要的作用。證法三：由變式得(a 1 b 1 c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15故,a 1 b 1. c 14 即得結論評論：由基本不等式a2 b2 2ab易產生2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca，兩邊2 2 2 2 2 2 2同時加上ab c即得3(a b c ) (a b c)，于是便有了變式，本變式的功能可以將平方進行“分拆”與“合并”。本解法是將平方進行分拆，即由整體平方轉化為個整平方，從而有效的去掉了根號。例 2、設 a,b,c R，求證：羋7a

4、<b Vc<bVc Va證明：由變式得 a 2 .a .b， b 2 b c， c 2；c -a<bVc<a隨意編輯精品文檔隨意編輯三式相加即得： vb <c評論：本解法來至于“若b2a0，則2abb ”,這個變式將基本不等式轉化成更為靈活的形式，當分式的分子與分母出現平方與一次的關系時，立即可以使用，方便快捷。例3、實數a,b滿足(a 4)2 (b 3)22，4，解析：結合變式得(a 4)242(b 3)3求a b的最大值與最小值2(a b 7)因此 J4 a b 14當且僅當3(a4)4(b3)、再結合條件得3、14丁及4.147別獲得最小值與最大值;評論：由

5、a2m2b2n222mnab n(m n)am(m n)b2mn(am,n R即得變式，這可是3 147時，分4.147b)2再結合個很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產生的一個特殊分式的關系，它的靈活應用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們處理圓錐曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑。例4、已知x, y (2,2)，且 xy 1，求 u4_4 x299-的最小值y解析：由變式u44 x299 y21219422(1 F (1 行492 2x y2 ( )49125上述兩不等式當且僅當|x|2號、再結合xy2或.632時，3取得最小值;評論：由a2 b22abb(a b) a(

6、a b)4ab結合a,b R,兩邊同除以ab(a b)即得變式，本題兩次使用基本不等式，第一次應用變式，第二次應用基本不等式。值得注意的是兩次等號成立的條件必須一致，否則,最值是取不到的。例5、當0 x a時，不等式2x1(a x)22恒成立，求a的最大值;解：由變式、得1 1 1 1 2(x (a x) 2 x丄)2a x1 _42 x(a14x) 2(X a Xy(2上述三個不等式中等號均在同一時刻x時成立故a的最大值為2 ；2評論：由(a b)4ab再結合a,b R即得變式；又由a b 2ab 得2(a2 b2)(a b)2b2 a2 如b)2結合ab 0，兩邊同除a2b2即得變式。本題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來之實在不易。首先這兩個變式不一定大家都熟悉,其次,三次使用變式進行轉化，必須保證等號在同一時刻取得，可