2020年中考數(shù)學(xué)人教版專題復(fù)習(xí)：多邊形

1、2020年中考數(shù)學(xué)人教版專題復(fù)習(xí)：多邊形、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 . 了解多邊形的有關(guān)概念，了解多邊形的內(nèi)角和與外角和；2 .知道什么樣的圖形可以鑲嵌平面，能進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計.、重點、難點：重點：多邊形的內(nèi)角和公式與外角和.難點：多邊形能覆蓋平面需要滿足的條件.三、考點分析：本講內(nèi)容在中考試卷中多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，屬基本內(nèi)容，主要考點有兩個:1 .多邊形的邊數(shù)與角度的換算，對角線的條數(shù)和邊數(shù)之間的關(guān)系；2 .用一種或幾種正多邊形鑲嵌成一個平面，進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計.知識梳理1 .多邊形的有關(guān)概念(1)在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.(2)連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，

2、叫做多邊形的對角線.(3)各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.2 .多邊形的內(nèi)角和與外角和(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2) - 180° .(2) n邊形的外角和等于 360° .3 .鑲嵌(1)用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌).(2) 一般地，多邊形能覆蓋平面需要滿足兩個條件：拼接在同一個點的各個角的和 恰好等于360° (周角)；相鄰的多邊形有公共邊.典型例題知識點一：多邊形及其內(nèi)角和例1. 一個十二邊形有幾條對角線？思路分析：題意分析：本題考查多邊形的邊數(shù)和對角線條數(shù)之間的關(guān)系.解題思路：過十

3、二邊形的任意一個頂點可以畫9條對角線，但每條對角線在每個頂點都重復(fù)計算了一次，所以實際對角線的條數(shù)應(yīng)該為12X9+2=54 (條).解答過程：十二邊形的對角線共有 54條.解題后的思考：對于一個n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律，共有n(n23)條,牢記這個公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對角線的條數(shù).例2.已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之比為7 ： 2,求這個多邊形的邊數(shù).思路分析：題意分析：本題考查多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用及外角和.解題思路：由于多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，為 360，,故此題只要根據(jù) 7 : 2的關(guān)系列出 方程，解方程即可.解答過程：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為 n.(

4、n 2)180°7根據(jù)題意，得-Z-= 7.3602解得，n=9.解題后的思考：此類問題多是通過等量關(guān)系建立方程來求邊數(shù).例3.正五邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是 .思路分析：題意分析：本題考查正多邊形的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式.(52) X 180°解題思路：根據(jù)題意得正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為 =108。.5解答過程：108°解題后的思考：n邊形的內(nèi)角和公式為(n-2) - 180° ,正多邊形的每個內(nèi)角都相等，如果 設(shè)其內(nèi)角為x ,則5x= (5 2) X 180,可解得x= 108,或利用外角和列方程：180 x = 360 + 5.例4.如圖所示，求/

5、A+ / B+/ C+ / D+ / E+ / F 的度數(shù).思路分析：題意分析：這個多邊形不是我們通常研究的多邊形類型，需先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其變成凸多邊形，再用多邊形的內(nèi)角和公式求解.解題思路：要求六個角之和，則需在同一個多邊形中，故需連接 BF將原多邊形轉(zhuǎn)化為四邊 形.解答過程：連接BF.因為/1 = ZC+ZD, /1 = / CB斗 / DFB,所以/ C+ / D= / CBF+ / DFB.所以/ A+ / ABC+ / C+ / D+ / E+ / DFE=Z A+ / ABC+ / CB斗 / DFB+ / E+ / DFE=/ A+ / ABF+ / BF曰 / E = 360&#

6、176; .解題后的思考：多邊形問題常通過連接兩點或?qū)蔷€從而轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問題來解 決.例5.如圖所示，已知在 ABC中，/ A= 60° , / B=75° ,將 ABC的一角折疊，使 點C落在 ABC內(nèi)，若/ 1=20° , / 2的度數(shù)是多少？這個結(jié)論是如何得出來的？思路分析：題意分析：可把/ 2看作四邊形ABED一個內(nèi)角的一部分.解題思路：解本題的基本思路是：在 ABC中求出/ C,在 CED中求出/ CDE+ / CED在 四邊形 ABED中求出/ 1 + /2,進(jìn)而求出/ 2.解答過程：72=70° .因為/ A= 60°

7、 , / B= 75° ,所以/ C= 180° (/ A+/B) =45° .所以/ CDE+ Z CED= 180° -Z C= 135° .所以/ 1 + 7 2= 360° (/ A+ / B+ / CD曰 / CED)=90° .又因為/ 1=20。，所以/ 2=70。.解題后的思考：折疊前后/ C的度數(shù)不變，是解此題的關(guān)鍵.例6.如圖所示，已知六邊形ABCDEF中，/A=/B= / C= Z D=Z E=Z F=120° ,邊長AB=2cm, BC= 8cm, CD= 11cm, DE= 6cm,求這個

8、六邊形的周長是多少？AFE思路分析：題意分析：在這個六邊形中，有四條邊長已知，求其周長關(guān)鍵是要求出AF和EF的長.解題思路：由題意中各角都為 120。，想到它的外角為 60。，如果延長各邊，能得到 4個 等邊三角形，從而求得 EF AF的長.解答過程：向兩邊分別延長 AB、CD EF,如圖所示，得 PQR.因為/ PAF= 180° -Z BAF= 180° 120° =60° ,同理/ AFP= 60° ,所以/ P= 60° .所以/ P= / PAF= /AFP.所以 PAF為等邊三角形.同理 BCQ DER均為等邊三角形.所以

9、 PQR也為等邊三角形.所以 CQ= BQ=BC= 8 (cm), DR= ER= DE= 6 (cm).所以 QR= 8+11+6=25 (cm),AF= PA= PQ-AB-BQ=25-2-8=15 (cm),EF= PR- PF- ER= 25156=4 (cm).所以六邊形 ABCDEF的周長為2 + 8+11+6+4+15=46 (cm).解題后的思考：當(dāng)題中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角時，應(yīng)想到把它們轉(zhuǎn)到特 殊三角形中，如等邊三角形、直角三角形等.本題就是把AF和EF轉(zhuǎn)化成等邊三角形的邊,利用等邊三角形的性質(zhì)來求解的.小結(jié)：

10、有關(guān)多邊形的問題，常考查對角線的條數(shù)，多邊形的內(nèi)角和，外角和等知識，熟記其 中蘊含的規(guī)律性的東西，遇到這些問題時就能迎刃而解.知識點二：平面鑲嵌例7.如果限定用一種正多邊形鑲嵌，在下面的正多邊形中，不能鑲嵌成一個平面的是( )A.正三角形B.正方形C正六邊形D.正八邊形思路分析：題意分析：本題考查用同種正多邊形鑲嵌平面.解題思路：當(dāng)正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是360。的約數(shù)時，用這樣的正多邊形能鑲嵌平面.題目中A、B、C項的內(nèi)角度數(shù)均是 360°的約數(shù)，而只有 D項不符合，因為正八邊形每 (82) X 180°個內(nèi)角的度數(shù)為 =135。，顯然135。不是360。的約數(shù)，所以限

11、定用正八8邊形這一種正多邊形來鑲嵌，不能鑲嵌成一個平面，故選 D.解答過程：D解題后的思考：判斷用同種正多邊形能不能進(jìn)行鑲嵌時，只需用360。除以這個正多邊形的內(nèi)角.如果能整除，就能進(jìn)行平面鑲嵌；如果不能整除，就不能進(jìn)行平面鑲嵌.例8.我們常見到如圖所示圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣的材料能鋪成平整、無空隙的地面.(1)你能不能另外想出一個用一種多邊形(不一定是正多邊形)的材料鋪地的方案？ 把你想到的方案畫成草圖.(2)請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖.思路分析：題意分析：這是一道平面鑲嵌的實際應(yīng)用問題.解題思路：解答此題時要注意觀察周圍環(huán)

12、境中的鑲嵌問題，從中找到靈感，還要進(jìn)行多次嘗 試，善于創(chuàng)新.解答過程：(1)符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考.(2)符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考.解題后的思考：在實際生活中，鑲嵌平面時最常用的是四邊形， 有時也會用三角形和六邊形, 不管用什么樣的圖形，只要滿足鑲嵌的條件即可.小結(jié)：平面鑲嵌的關(guān)鍵是使拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360。.提分技巧本講我們探索歸納了幾條規(guī)律，正確利用這些規(guī)律可大大加快解題速度和準(zhǔn)確程度:1. n邊形的對角線條數(shù):n (n 3)2 . n邊形的內(nèi)角和：（n-2） - 180° , n邊形的外角和是 360° ,與

13、邊數(shù)無關(guān).3 .根據(jù)鑲嵌的定義可知，用一種相同的多邊形能否鑲嵌平面，關(guān)鍵是看這種多邊形的幾個內(nèi)角之和是否等于 360。（或180。），如圖和所示；用一種相同的正多邊形能否鑲嵌平面，關(guān)鍵是看周角 360。能否被正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)整除，如圖所示.用 多種多邊形鑲嵌平面時，如圖所示，要看兩點：a.拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360° （周角）；b.相鄰的多邊形有公共邊.同步測試一、選擇題1. 一個多邊形的每個內(nèi)角都等于120° ,這個多邊形的邊數(shù)為（）條A. 5B. 6C.7D. 82.用正四邊形一種圖形進(jìn)行平面鑲嵌時， 它在一個頂點周圍的正四邊形的個數(shù)為 （）A.

14、2個B. 3個C4個D. 5個3.如果一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為1260。，那么它的一個外角為（)A.30°B. 36°C.40 °D, 45°4.多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A.810°B. 540°C.1800°D, 180°5 .如果多邊形的邊數(shù)增加1,則多邊形的內(nèi)角和、外角和分別（）A.增加180° ,增加180°B.不變，增加180°C不變，不變D.增加180° ,不變6 .能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（）A.正八邊形和正方形B.正五邊形和正十邊形C正四邊

15、形和正六邊形D.正四邊形和正七邊形*7.在n邊形一邊上取一點與各頂點相連，可得三角形的個數(shù)為（）A. n 個B. （n 2）個C.（n1）個D.（n+1）個1 8.過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成9個三角形，這個多邊形的邊數(shù)為（）條A. 9B. 10C. 11D. 12、填空題9 .在正六邊形 ABCDEF 中，/ A=120° , AB=2cm,則/ D=, DE =10 . 一個正多邊形的每個外角都是72° ,則這個多邊形是 邊形.11 . n （n為整數(shù)，且n>3）邊形的內(nèi)角和比（n+1）邊形的內(nèi)角和小 度.12 .從n邊形的一個頂點出發(fā)共引出了5條對

16、角線，則這個 n邊形是 邊形,這5條對角線把n邊形分成了 個三角形.*13.如果用三種正多邊形地磚鑲嵌地面，一個頂點處已有一個正方形和一個正六邊形 地磚，則還需一個正 邊形地磚.*14.用正三角形與正方形兩種圖案作平面鑲嵌，設(shè)在一個頂點周圍有 a個正三角形和b個正方形，則 a =, b =.三、解答題15 .若一個多邊形的各邊都相等，周長為 63,且內(nèi)角和為900° ,求它的邊長.16 .如圖所示，(1)四邊形共有 條對角線，五邊形共有 條對角線, 六邊形共有 條對角線；(2)你能說出七邊形共有多少條對角線嗎？(3)由(1)、(2),請猜想n邊形的對角線的總條數(shù)，說說你的理由.四邊形

17、五邊形六邊形*17.將五邊形截去一個角后所得的多邊形有幾條對角線？*18.小軍在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計算時，求得的內(nèi)角和為1125。，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)是少加了一個內(nèi)角，求：(1)這個多邊形是幾邊形?(2)這個內(nèi)角是多少度?四、拓廣探索*19.(1)填表:正多邊形3456n-正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)(2)如果限用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？(3)從正三角形、正四邊(方)形、正六邊形中選一種， 再在其他正多邊形中選一種,并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種請畫出這兩種不同的正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌的草圖, 不同的平面圖形，說明你的理由.試題答案一、選擇題1. B

18、2. C3. C解析：因為（n-2） - 180° = 1260° ,解得n=9.這個多邊形的每個內(nèi)角都相 等，每個外角也都相等.所以它的一個外角是360。+9=40。.4. A解析：用內(nèi)角和公式驗證.5. D 解析：外角和與邊數(shù)無關(guān)，故不變.內(nèi)角和的變化從公式（n-2） - 180°中可以看出，n增加1,內(nèi)角和增加180° .6. A 解析：正八邊形的一個內(nèi)角是135。.在一個頂點處，兩個正八邊形和一個正方形可拼出135。X2+90。= 360。.所以正八邊形和正方形組合能鋪滿地面.7. C 解析：可采用歸納猜想法，當(dāng) n = 3時，得三角形2個；當(dāng)n

19、 = 4時，得三角形3 個；n邊形得三角形（n1）個.8. C解析：過多邊形的一個頂點的所有角線把多邊形分成的9個三角形中，除去兩端各一個三角形，中間的7個三角形分別含有多邊形的一條邊， 兩端的三角形各含有多邊形 的兩條邊.所以多邊形的邊數(shù)是 2+7+2=11 （條）.二、填空題9. 120° , 2cm10. 正五11. 18012. 八,6解析：這5條對角線是從一個頂點引出的，并不是所有的對角線條數(shù).13. 十二 解析：根據(jù)題意，另一個正多邊形的內(nèi)角是360° 90° 120° =150° ,所以（n-2） 180= 150° x n,解得 n=12.14. 3, 2 解析：根據(jù)題意有 60° Xa + 90° x b=360° ,即 2a+3b= 12,且 a、b 為 正整數(shù),解得a=3, b = 2.三、解答題15. 解：設(shè)該多邊形有 n條邊，則（n-2） X 180。= 900° , 解得n=7.因為 63 + 7= 9,所以這個多邊形的邊長為 9.16.