排列組合知識(shí)點(diǎn)與方法歸納

1、排列組合組臺(tái)數(shù)公苴與它用排列數(shù)公式與以用，、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、局考考點(diǎn)1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解； 關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合 數(shù)兩個(gè)性質(zhì)的掌握；3、運(yùn)用排列與組合的意義與公式解 決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題（多為排列與組合的混 合問(wèn)題）三、知識(shí)要點(diǎn)一.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)算原理1分類計(jì)算原理（加法原理）：完成一件事，有n 類辦法，在第一類辦法中有mi種不同的方法，在第二類辦 法中有m2種不同的方法，；在第n類 辦法中有mn種不同的方法，那么完成這 件事共有 N= mi+ m2+ m種不同的方 法。2 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n 個(gè)步驟，做第1

2、步有mi種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法，；做第n步有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有N=mi x mxXn種不同的方法。3、認(rèn)知：上述兩個(gè)原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計(jì)數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)別在于，加法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成若干類，并且各類辦法以及各類辦法中的各種方法相互獨(dú)立，運(yùn)用任何一類辦法的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進(jìn)行，各個(gè)步驟不可缺少，只有當(dāng)各個(gè)步驟依次完成后這件事才告完成(在這里，完成某一步的 任何一種方法只能完成這一個(gè)步驟，而不 能獨(dú)立完成這件事)。二排列1定義(1)從n個(gè)不同元素中取出m

3、 () 個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做 從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一排 列。(2)從n個(gè)不同元素中取出m () 個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù).叫做從 n個(gè)不 同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記為.2排列數(shù)的公式與性質(zhì)(1)排列數(shù)的公式：=n (n-1) (n-2) 聞(n-m+1)=值-荷特例：當(dāng) m=n時(shí)，=n! =n (n-1) (n-2) 義 3X2X1規(guī)定：0! =1(2)排列數(shù)的性質(zhì)：(I )=嗎|=蝴=/(排列數(shù)上標(biāo)、 下標(biāo)同時(shí)減1 (或加1)后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（n）父=三請(qǐng)"=言出（排列數(shù)上標(biāo)加1或下標(biāo)減1后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（田）女不出（分解或合并的依據(jù)）三.組

4、合1定義 （1）從n個(gè)不同元素中取 出商人團(tuán)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不 同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合（2）從n個(gè)不同元素中取出5期個(gè) 元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同 元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示。2組合數(shù)的公式與性質(zhì)=空=雙-立3-初一1）（1）組合數(shù)公式：一三一（乘積表示）=幾%仁且附為（階 乘表示）特例：= （2）組合數(shù)的主要性質(zhì)：（I ）片中（上標(biāo)變換公式）（II）（楊輝恒等式）認(rèn)知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下 標(biāo)相同，而上標(biāo)為相鄰自然數(shù)；合二為一 后的右邊組合數(shù)下標(biāo)等于左邊組合數(shù)下 標(biāo)加1,而上標(biāo)取左邊兩組合數(shù)上標(biāo)的較 大者。3比較與鑒別由排列與組合的定義知，

5、獲得一個(gè)排 列需要取出元素”和對(duì)取出元素按一定 順序排成一列”兩個(gè)過(guò)程，而獲得一個(gè)組合 只需要取出元素”，不管怎樣的順序并成 一組這一個(gè)步驟。(1)排列與組合的區(qū)別在于組合僅 與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的 元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有 關(guān)。因此，所給問(wèn)題是否與取出元素的順 序有關(guān)，是判斷這一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是 組合問(wèn)題的理論依據(jù)。(2)注意到獲得(一個(gè))排列歷經(jīng) 獲得(一個(gè))組合”和 對(duì)取出元素作全排 列”兩個(gè)步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的 關(guān)系：四、經(jīng)典例題例1、某人計(jì)劃使用不超過(guò) 500元的 資金購(gòu)買單價(jià)分別為 60、 70 元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買 3 片，磁

6、盤至少買 2 盒，則不同的選購(gòu)方式是（）A .5種種C. 7種D. 8種分析： 依題意 “軟件至少買3 片， 磁盤至少買 2 盒”，而購(gòu)得 3 片軟件和 2 盒磁盤花去 320 元， 所以， 只需討論剩下的 180 元如何使用的問(wèn)題。解：注意到購(gòu)買 3 片軟件和 2 盒磁盤花去 320 元， 所以， 這里只討論剩下的 180 元如何使用，可從購(gòu)買軟件的情形入手分類討論： 第一類，再買 3 片軟件，不買磁盤，只有1 種方法； 第二類，再買2 片軟件，不買磁盤，只有 1 種方法；第三類，再買 1 片軟件，再買 1 盒磁盤或不買磁盤，有2 種方法； 第四類，不買軟件，再買2 盒磁盤、 1 盒磁盤或不

7、買磁盤，有 3 種方法； 于是由分類計(jì)數(shù)原理可知，共有N=1+1+2+3=7種不同購(gòu)買方法，應(yīng)選C。例 2、已知集合 M=-1, 0, 1, N=2, 3,4, 5,映射 wtR，當(dāng)xG M時(shí)，5+丑） 為奇數(shù)，則這樣的映射 的個(gè)數(shù)是（）分析：由映射定義知，當(dāng)xGM時(shí)， 三虱當(dāng)xW M時(shí)，這里的x可以是奇數(shù)也 可以是偶數(shù)，但x”山 必須為奇數(shù)，因 此，對(duì)M中x的對(duì)應(yīng)情況逐一分析，分步 考察：第一步，考察x=-1的象，當(dāng)x=-1時(shí), x+n力餉+WEI 此時(shí)FE 可取N 中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的 元素有4種對(duì)應(yīng)方法；第二步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時(shí)， x+f+如”為奇數(shù)，故 只有2

8、種取法（=3或=5）,即M中的元素0與N中 的元素有2種對(duì)應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時(shí)， 小川 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可 為偶數(shù)，可取N中任一數(shù)值，即M中的元 素1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法，于是 由分步計(jì)數(shù)原理可知，映射共有4 X 2 X 4=32。例3、在圉中有4個(gè)編號(hào)為1,2,3, 4的小三角形，要在每一個(gè)小三角形中涂 上紅、藍(lán)、黃、白、黑五種顏色中的一種， 使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多 少種不同的涂法解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形 顏色不同，但 對(duì)角”的兩個(gè)小三角形可以 是相同顏色，于是考慮以對(duì)角的小三角形 1、4同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類， 進(jìn)而 在每一類中分

9、步計(jì)算。第一類：1與4同色，則1與4有5 種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法， 故此時(shí)有N5X 4義4=晰同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種 涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有 3種涂法，故此時(shí)有N2=5X4X3X3=W 同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。點(diǎn)評(píng)：欲不重不漏地分類，需要選定 一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，一般地，根據(jù)所給問(wèn)題的具體情況，或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從某一元素的特定要求入手分類，或是從問(wèn)題中某一事物符合條件的情形入手分類，或是從問(wèn)題中有關(guān)事物的相對(duì)關(guān)系入手分類等等。例 4、 將字 1、 2、 3、 4 填入標(biāo)號(hào)為 1、2、 3、 4

10、的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） 種種種種解法一（采用 “分步 ”方法）：完成這件事分三個(gè)步驟。第一步：任取一個(gè)數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有 3 種不同填法；第二步：取與填入數(shù)字的格子編號(hào)相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有 3 種不同填法；第三步：將剩下的兩個(gè)數(shù)字按規(guī)定填入兩個(gè)格子，只有 1 種填法；于是，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有N=3義3義1=9不同填法。解法二：（采用 “列舉 ”方法）：從編號(hào)為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進(jìn)行分類。第一類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2, 共有3種不同填法：，匚口2工411 3 口 2工114 3口213，1第二類：編號(hào)1的方格內(nèi)填數(shù)

11、字3, 也有3種不同填法：，m 31 114 丁2T7 314 11 T2T1 3工 4 1 2 已第三類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4, 仍有3種不同填法：.m 4工1工2工3 口 4工31112口 4工312工11于是由分類計(jì)數(shù)原理得共有 N=3+3+3=9 種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）：將上述 4個(gè)數(shù)字 填入4個(gè)方格，每格填一個(gè)數(shù)，共有 N1=4X 3X 2X 1#2不同填法，其中不合條 件的是（1）4個(gè)數(shù)字與4個(gè)格子的編號(hào)均 相同的填法有1種；（2）恰有兩個(gè)數(shù)字與 格子編號(hào)相同的填法有6種；（3）恰有1個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填 法有8種； 因此，有數(shù)字與格子編號(hào)相 同的填法共有N2=

12、1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為24-15=9 種。點(diǎn)評(píng)：解題步驟的設(shè)計(jì)原則上任意，但不同的設(shè)計(jì)招致計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度不同，一般地，人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的安排，以減少問(wèn)題的頭緒或懸念。當(dāng)正面考慮頭緒較多時(shí)，可考慮運(yùn)用間接法計(jì)算：不考慮限制條件的方法種數(shù) 不符合條件的方法種數(shù)=符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的 “分析”與間接法主體的 “分類 ” ，恰恰向人們展示了 “分步 ” 與 “分類 ”相互依存、 相互聯(lián)系的辯證關(guān)系。例 5、 用數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字4 位數(shù)，其中，必含數(shù)字 2 和3，并且 2 和 3 不相鄰的四位數(shù)有多少個(gè)

13、解： 注意到這里“ 0的特殊性，”故分兩類來(lái)討論。第一類：不含“ 0的符合條件的四位”數(shù)，首先從1， 4， 5 這三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有種；進(jìn)而將2 和 3 分別插入前面排好的兩個(gè)數(shù)字中間或首尾位置，又有 種排法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知， 不含0且符合條件的四位數(shù)共有=36個(gè)。第二類：含有“0的符合條件的四位 數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運(yùn) 用間接法”：首先從1, 4, 5這三個(gè)數(shù)字 中任選一個(gè)，而后與0, 2, 3進(jìn)行全排列， 這樣的排列共有個(gè)。其中，有如下三種情況不合題意，應(yīng) 當(dāng)排險(xiǎn)：(1) 0在首位的，有個(gè)； (2) 0 在百位或十位，但2與3相鄰的，有以起 個(gè)(3) 0在個(gè)位

14、的，但2與3相鄰的， 有2國(guó)個(gè)因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共 有小.但用+蝕期=30個(gè)于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個(gè)點(diǎn)評(píng)：解決元素不相鄰的排列問(wèn)題， 一般采用插空法”，即先將符合已知條件 的部分元素排好，再將有不相鄰”要求的 元素插空放入；解決元素相鄰的排列問(wèn) 題，一般采用 捆綁法”，即先將要求相鄰的元素捆綁”在一起，作為一個(gè)大元素與 其它元素進(jìn)行排列，進(jìn)而再考慮大元素內(nèi) 部之間的排列問(wèn)題。例6、某人在打靶時(shí)射擊8槍，命中 4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù) 命中的，那么該人射擊的 8槍，按命中” 與 不命中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有( )種種種種分析：首先，對(duì)未命中的4槍

15、進(jìn)行排 列，它們形成5個(gè)空擋，注意到未命中的 4槍 地位平等”，故只有一種排法，其次， 將連中的3槍視為一個(gè)元素，與命中的另 一槍從前面5個(gè)空格中選2個(gè)排進(jìn)去，有 種排法，于是由乘法原理知，不同的報(bào)告 結(jié)果菜有君-加種點(diǎn)評(píng)：這里的情形與前面不同，按照 問(wèn)題的實(shí)際情況理解，未命中的4槍 地位 平等”，連續(xù)命中的3槍亦 地位平等”。因 此，第一步排法只有一種，第二步的排法 種數(shù)也不再乘以。解決此類相同元素的排列問(wèn)題，切忌照搬計(jì)算相同元素的排列種數(shù)的方法，請(qǐng)讀者引起注意。例7、(1)cii + 5加 4+4 % -)(2 )若)則n=；(3)2Cj +9C -biacj CC；-(4)若出樂(lè)專，則n

16、的取值集合1 = C?5 5 ）方程12*17»-,的解集所求o- D?Q即, -馴-4 = |(同之乙且固=W)=足=4n=4。(3)根據(jù)楊輝恒等式；一；原式=2y+年)+ 7總+ 0+5©+出) T(% + *Md。產(chǎn)(厘+2)(司+ 1)。； - 1)=2小+5臉=彳(4)注意到這里n滿足的條件n>5且n N*在之下，.原不等式O 3!4!工2x_!加 - 1)5 - 2) w(b- l)fri - 2)(w - 3) 雙"1)5 - 2)(?s- 3)(用-4)45一一3oh： - 11m-12 cO=一 1< 12，由、得原不等式的解集為5,

17、6,7,，11(5)由1-C瞥科2域=0於=3注意 到當(dāng)y=0時(shí)，無(wú)意義，原方程組可化為了二3/7=> <C* =*x -3y工=5丁1 _ 1 1而而一52乂2"。由此解得經(jīng)檢驗(yàn)知x= 9J、是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做 了 3套卡片，每套卡片有寫上 A、B、C、 D、E字母的卡片各一張，若從這 15張卡 片中，每次取出5張，則字母不同，且3 種顏色齊全的取法有多少種解：符合條件的取法可分為 6類第一類：取出的5張卡片中，1張紅 色，1張黃色，3張綠色，有球相 種取法；第二類：取出的5張卡片中，1張紅 色，2張黃色，2張綠色，有"”種取法；

18、第三類：取出的5張卡片中，1張紅 色，3張黃色，1張綠色，有*羽 種取法；第四類：取出的5張卡片中，2張紅 色，1張黃色，2張綠色，有序會(huì) 種取法；第五類：取出的5張卡片中，2張紅 色，2張黃色，1張綠色，有京羽 種取法；第六類：取出的5張卡片中，3張紅 色，1張黃色,1張綠色，有。眄©種取法；于是由分類計(jì)數(shù)原理知，符合條件的 取法共有N - cjcjcf + cclc +斗仃式必 + 或或弓 +- 150#點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于分類，分類討論必須選擇適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，在這里，以紅色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行主分類，以黃色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行次分類，主次結(jié)合，確保分類的不重不漏，這一思路值得學(xué)

19、習(xí)和借鑒。例 9、（ 1）從 5 雙不同的襪子中任取 4 只，則至少有2 只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少（ 2）設(shè)有編號(hào)為1， 2 ， 3， 4， 5 的五個(gè)小球和編號(hào)為 1， 2， 3， 4 ， 5 的五個(gè)盒子，將五個(gè)小球放入五個(gè)盒子中（每個(gè)盒子中放一個(gè)小球），則至少有兩個(gè)小球和盒子編號(hào)相同的放法有多少種（ 3） 將四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為 1，2， 3， 4 的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共多少種（ 4）某產(chǎn)品共有4 只次品和 6 只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn)品測(cè)試， 直到 4 只次品全部測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種解：(1)滿

20、足要求的取法有兩類，一類 是取出的4只襪子中恰有2只配對(duì)，這只 要從5雙襪子中任取1雙，再?gòu)钠溆?雙 中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有 *出洌種選法；另一類是4只襪子恰好配 成兩雙，共有 種選法，于是由加法原理 知，符合要求的取法為河V" 種。(2)符合條件的放法分為三類：第一類：恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相 同，這只需先從5個(gè)中任取兩個(gè)放入編號(hào) 相同的盒子中，有 種放法，再?gòu)氖Ｏ碌? 個(gè)小球中取出1個(gè)放入與其編號(hào)不同的盒 子中，有 種方法，則最后剩下的兩個(gè)小 球放入編號(hào)不同的盒中只有 1種放法，故 此類共有或*20種不同方法；第二類：恰有3個(gè)小球與盒子編號(hào)相 同，這只需先從5個(gè)中任

21、取三個(gè)放入編號(hào) 相同的盒子中，有 種放法，則最后剩下 的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有 1種 放法，故此類共有種不同方法；第三類：恰有5個(gè)小球與盒子編號(hào)相 同，這只有1種方法；于是由分類計(jì)數(shù)原理得，共有N=20+10+1=31種不同方法。(3)設(shè)計(jì)分三步完成：第一步，取定三個(gè)空盒(或取走一個(gè) 空盒)，有。:曲種取法；第二步，將4個(gè)小球分為3堆，一堆2個(gè)，另外兩堆各一個(gè)，有 年產(chǎn) 種分法；第三步，將分好的3堆小球放入取定 的3個(gè)空盒中，有種放法；于是由乘法原理得共有：*國(guó)料斗用種不同方法。(4)分兩步完成：第一步，安排第五次測(cè)試，由于第五次測(cè)試測(cè)出的是次品，故有 種方法；第二步，安排前4次測(cè)試，

22、則在前四 次測(cè)試中測(cè)出3只次品和1只正品的方法 種數(shù)為。于是由分布計(jì)數(shù)原理可知，共有 外吐續(xù)35加種測(cè)試方法。點(diǎn)評(píng)：為了出現(xiàn)題設(shè)條件中的巧合”, 我們需要考慮對(duì)特殊情形的 有意設(shè)計(jì)”， 本例(1)則是這種 有意設(shè)計(jì)”的典型代表, 而這里的（3）,則是先 分堆“后 分配” 的典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有（）A、 18 對(duì)B、 24 對(duì)C、 30 對(duì)D、 36 對(duì)分析：注意到任一四面體中異面直線 的對(duì)數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直 線的對(duì)數(shù)，首先確定上述以單直線可構(gòu)成 的四面體個(gè)數(shù)。由上述 15條直線可構(gòu)成 *3.12個(gè)四面體，而每一四

23、面體有 3對(duì)異 面直線，故共有36對(duì)異面直線，應(yīng)選 Do2、不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面a的距離都相等，這樣的平面共有（）A、3 個(gè)B、4 個(gè)C、6個(gè)D、7個(gè)分析：不共面的四點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四面 體，取四面體各棱中點(diǎn)，分別過(guò)有公共頂 點(diǎn)的三棱中點(diǎn)可得到與相應(yīng)底面平行的4個(gè)截面，這4個(gè)截面到四個(gè)定點(diǎn)距離相等；又與三組對(duì)棱分別平行且等距的平面有個(gè)，故符合條件的平面共 7個(gè)，應(yīng)選D3、北京財(cái)富全球論壇期間，某 高校有14名志愿者參加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班 4人，每人每 天最多值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班 種數(shù)為（）A、/小或B、寸岫4C、戶】工廣琲產(chǎn)4 二14 55D、；一,分析：排班工作分

24、三步完成:第一步，從14人中選出12人，有種 選法；第二步，將第一步選出的 12人平 均分成三組，有 七廣 種分法；第三步，對(duì)第二步分出的3組人員在三個(gè)位置上安排，有 種排法;于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為“4、從6人中選4人分別到巴黎、倫 敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每 個(gè)城市各一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有()A、300 種B、240 種C、114 種D、96 種分析：注意到甲、乙兩人不去巴黎， 故選人分三類情況(1)不選甲、乙，不同方案有以小父 種；(2)甲、乙中選1人，不同方方案 有9©)。硝w種；(3)甲、乙均入

25、選，不同方案有©小(2小.72 種；于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為 24+144+72=240,應(yīng)選 B。5、4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng) 賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道 題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100分, 答錯(cuò)得-100分；選乙題答對(duì)得90分，答 錯(cuò)得-90分，若4位同學(xué)的總分為0,則這 四位同學(xué)不同的得分情況的種數(shù)是( )A、48B、36C、24D、 18分析：注意到情況的復(fù)雜，故考慮從分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答對(duì)，2 人答錯(cuò)，有ac種情況；第二類：2人選甲題一對(duì)一錯(cuò)，2人 選乙題一對(duì)一錯(cuò)，有 （4痰©QC泗官 種情 況；第三類：四人全選乙題

26、，2對(duì)2錯(cuò)， 有種情況。于是由加法原理得不同得分情況共 有2c河+C"弼種，應(yīng)選B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的 化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工 產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的，沒(méi)有公共頂 點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng) 庫(kù)是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、 的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品，那么 安全存放的不同方法種數(shù)為（）A、96B、48C、24D、0分析：本題的關(guān)鍵是找小、異面直線對(duì)"的個(gè)數(shù)，設(shè)四棱/九、） 錐為S-ABCD沒(méi)有公共頂點(diǎn)的棱只能分成4組，每組兩條棱（否則三 條棱必有公共點(diǎn)），每 8條棱分成4組， 每組兩條無(wú)公共點(diǎn)的棱僅有下面兩種情 況：（1） *2CD;

27、SB-AD; SC-AB; SD-BC （本組中同一棱不重復(fù)出現(xiàn)）（2） SA-BC; SB-CD; SC-AD; SD-AB （本組中同一條棱不重復(fù)出現(xiàn)）于是問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個(gè)不同倉(cāng)庫(kù)的排列問(wèn)題，故不同的安排分法是 聞7 種，應(yīng)選Bo（二）填空題1、在由數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5所組 成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被 5 整除的數(shù)共有（）個(gè)。分析：考慮直接解法：這樣四位數(shù)的 個(gè)位數(shù)為1, 2, 3, 4中的一個(gè)，有種法， 千位從余下的4個(gè)非零數(shù)當(dāng)中任取一個(gè)是 種排法；中間兩位是 種排法，于是由分 步計(jì)數(shù)原理知，共是：心海爾種不同排法，應(yīng)填192。2、用 1、2、3

28、、4、5、6、7、8 組成 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰， 3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相 鄰，這樣的八位數(shù)共有（）個(gè)（用數(shù)字作答）。分析：第一步，將1與2, 3與4, 5與6組成3個(gè)大元素進(jìn)行排列，是 種排 法；第二步，將7與8插入上述3個(gè)大元 素隊(duì)列的間隙或兩端，是 種方法；第三步，對(duì)3個(gè)大元素內(nèi)部進(jìn)行全排 列，各是種方法；于是由分步計(jì)數(shù)原理得共有 小公（國(guó)出攻36個(gè)，應(yīng)填576。3、從集合O、P、Q、R、SW 0、1、 2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個(gè)元 素排成一排（字母與數(shù)字均不能重復(fù)）。 每排中字母O、Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一 個(gè)的不同排法種數(shù)是（）分析：考慮分

29、類計(jì)算第一類：字母O、Q和數(shù)字0均不出 現(xiàn)，是京w種排法；第二類：字母O、Q出現(xiàn)一個(gè)，數(shù)字 0不出現(xiàn)，是©*JMF84種排法；第三類：字母O、Q不出現(xiàn)，數(shù)字0 出現(xiàn)，是由泗-弭8種排法；于是分類計(jì)數(shù)原理知共是 2592+5184+648=8424種不同排法，應(yīng)填 8424。點(diǎn)評(píng)：以受限制的字母 O、Q和數(shù)字 0出現(xiàn)的情況為主線進(jìn)行分類，在每一類 中又合理地設(shè)計(jì)步驟，是分解題的關(guān)鍵所 在，以某些特殊元素為主線進(jìn)行分類是解 決復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基本策略。方法歸納1重復(fù)排列“住店法”重復(fù)排列問(wèn)題要區(qū)分兩類元素： 一類 可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù) 的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看

30、作 “店"則通過(guò)“住店法”可順利解題。例1 8名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠 軍的可能性有（）A 83B 38C a3DC83解析 冠軍不能重復(fù)， 但同一個(gè)學(xué)生可獲得多項(xiàng)冠軍。把8 名學(xué)生看作8 家“店” ， 3 項(xiàng)冠軍看作3 個(gè)“客” ，他們都可住進(jìn)任意一家“店” ，每個(gè)客有8 種可能，因此共有83 種不同的結(jié)果。選（ A） 。評(píng)述類似問(wèn)題較多。如：將8 封信放入 3 個(gè)郵筒中，有多少種不同的結(jié)果這時(shí) 8 封信是“客” ， 3 個(gè)郵筒是“店” ，故共有38 種結(jié)果。要注意這兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)別。2 特色元素“優(yōu)先法”某個(gè)（或幾個(gè)）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。

31、例 2 乒乓球隊(duì)的 10 名隊(duì)員中有3 名主力隊(duì)員，派5 名參加比賽， 3 名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7 名隊(duì)員選 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有種（用數(shù)字作答） 。解析 3 名主力的位置確定在一、 三、 五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有A33 種可能；然后從其余7 名隊(duì)員選 2 名安排在第二、四位置，有A72 種排法。因此結(jié)果為A33A72 =252種。例 3 5 個(gè)“ 1”與 2 個(gè)“ 2 ”可以組成多少個(gè)不同的數(shù)列解析 按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于 7 個(gè)位置不同，故只要優(yōu)先選兩個(gè)位置安排好“2” ， 剩下的位置填“ 1”（也可先填“ 1”再填“ 2

32、” ） 。因此，一共可以組成C72C22 =21 個(gè)不同的數(shù)列。3 相鄰問(wèn)題“捆綁法”把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素” ，與其余普通元素全排列，是為“捆綁法” ，又稱為“大元素法” 。不過(guò)要注意 “大元素” 內(nèi)部還需要進(jìn)行排列。例 4 有 8 本不同的書，其中數(shù)學(xué)書 3本，外文書 2 本，其他書 3 本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有種（結(jié)果用數(shù)字表示） 。解析 將數(shù)學(xué)書與外文書分別捆在一起與其它 3 本書一起排，有 A55 種排法，再將 3本數(shù)學(xué)書之間交換有A33 種，2 本外文書之間交換有a2種，故共有a5a次= 1440種排

33、法。評(píng)述 這里需要說(shuō)明的是，有一類問(wèn)題是兩個(gè)已知元素之間有固定間隔時(shí)，也用“捆綁法”解決。如： 7 個(gè)人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問(wèn)有多少種不同的排法可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素” ，但甲乙兩人位置可對(duì)調(diào)，而且中間一人可從其余 5 人中任取，故共有C51A22A55 1200 種排法。4 相間問(wèn)題“插空法”元素不相鄰問(wèn)題，先安排好其他元素，然后將不相鄰的元素按要求插入排好的元素之間的空位和兩端即可。例 5 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 （）

34、A 6 B 12 C 15D 30解析 原來(lái)的5 個(gè)節(jié)目中間和兩端可看作分出6 個(gè)空位。將兩個(gè)新節(jié)目不相鄰插入，相當(dāng)于從6 個(gè)位置中選2 個(gè)讓它們按順序排列，故有A62 30 種排法，選（D） 。評(píng)述 本題中的原有 5 個(gè)節(jié)目不需要再排列， 這一點(diǎn)要注意。 請(qǐng)練習(xí)以下這道題：馬路上有編號(hào)為1、2、3、 10的十盞路燈，為節(jié)約用電又能照明，現(xiàn)準(zhǔn)備把其中的三盞燈，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，兩端的燈也不許關(guān)掉，求不同的關(guān)燈方式有多少種可得結(jié)果為C63=20 種。 你能很快求解嗎5 多元問(wèn)題“分類法”對(duì)于多個(gè)元素問(wèn)題， 有時(shí)有多種情況需要進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理將各種可能性相加即得。需要注

35、意的是，分類時(shí)要不重復(fù)不遺漏。例 6 在一塊并排 10 壟的田地中，選擇 2 壟分別種植A、 B 兩種作物，每種作物種植一壟。 為有利于作物生長(zhǎng)， 要求 A、B 兩種作物的間隔不小于 6 壟，則不同的選壟方法共有種（用數(shù)字作答） 。解析 先考慮 A 種在左邊的情況，有三類： A 種植在最左邊第一壟上時(shí)， B 有三種不同的種植方法；A 種植在左邊第二壟上時(shí)， B 有兩種不同的種植方法； A 種植在左邊第三壟上時(shí)，B 只有一種種植方法。 又 B 在左邊種植的情況與 A 在左邊時(shí)相同。故共有2 （3 2 1） =12 種不同的選壟方法。例 7 有 11 名翻譯人員，其中 5 名英語(yǔ)翻譯員， 4 名日

36、語(yǔ)翻譯員， 另 2 人英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通。從中找出 8 人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中 4 人翻譯英文，另 4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作。問(wèn)這樣的分配名單共可開(kāi)出多少?gòu)埥馕?假設(shè)先安排英文翻譯，后安排日文翻譯。第一類，從 5 名只能翻譯英文的人員中選4 人任英文翻譯，其余 6 人中選 4 人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文） ，則有C54C64 ；第二類，從5 名只能翻譯英文的人員中選 3 人任英文翻譯， 另從 “多面手” 中選 1 人任英文翻譯，其余剩下 5 人中選 4 人任日文翻譯，有C53C21C54 ；第三類，從5 名只能翻譯英文的人員中選 2 人任英文翻譯， 另外安排

37、2 名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下 4 人全部任日文翻譯，有C52C22C44 。三種情形相加即得結(jié)果 185（張） 。評(píng)述 本題當(dāng)然也可以先安排日文翻譯再安排英文翻譯，請(qǐng)大家自己列式看看。6 分球問(wèn)題“隔板法”計(jì)數(shù)問(wèn)題中有一類“分球問(wèn)題” ，說(shuō)的是將相同的球分到不同的盒中。如：將10 個(gè)相同的球放入編號(hào)為 1、 2、 3、 4 的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒中至少一個(gè)球，問(wèn)有多少種不同的放法這時(shí)可以用“隔板法”解題。即將 10 個(gè)相同的球排成一排，中間看作有9 個(gè)空，從中選出 3 個(gè)不同的空插入 3 個(gè)“隔板” ，則每一種插法對(duì)應(yīng)一種球的放法， 因此共有C93=84 種不同的放法。 用 “隔板法” 可很快地解決以下問(wèn)題。例8已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A ai，a2, ,aioo與 B bih, ,%。,若從A到B的