彈塑性力學(xué)總復(fù)習(xí)教程

1、彈塑性力學(xué)課程 期末復(fù)習(xí)總結(jié)第一篇基礎(chǔ)理論部分第一章應(yīng)力狀態(tài)理論1.1基本概念I(lǐng).應(yīng)力的概念應(yīng)力：微分面上內(nèi)力的分布集度。從數(shù)學(xué)上看，應(yīng)力戶”處武由于微分面上的應(yīng)力是一個(gè)矢量，因此，它可以分解成微分面法線方向的正 應(yīng)力晨和微分面上的.效應(yīng)力。注意彈塑性力學(xué)中正應(yīng)力和剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定。2. 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（1） 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念凡提到應(yīng)力，必須同時(shí)指明它是對(duì)物體內(nèi)哪一點(diǎn)并過(guò)該點(diǎn)的哪一個(gè)微分面。物體內(nèi)同一點(diǎn)各微分面上的應(yīng)力情況，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（2）應(yīng)力張量物體內(nèi)任一點(diǎn)不同微分面上的應(yīng)力情況一般是不同的，這就產(chǎn)生了一個(gè)如何 描繪一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的問題。應(yīng)力張量概念的提出，就是為了解決這個(gè)問題

2、。在 直角坐標(biāo)系里，一點(diǎn)的應(yīng)力張量可表示為(1-Pa)(i-rb)(1-1'c)若已知一點(diǎn)的應(yīng)力張量，則過(guò)該點(diǎn)任意微分面”上的威力突量力就可以由以下公式求出：“Px = b J + rxym + Txzn p. = Tyxl +(yvm + Txji由式（l-l）,還可進(jìn)一步求出該微分面上的總應(yīng)力P、正應(yīng)力與和剪應(yīng)力Q：(l-2a)(l-2b)P = ylPx+Py+Pzcrv = <j I2 +<yjn2 +crj?2 +2riv/777 + 2rvjn?+ 2r. zt/1K)zxyyzQ 一次（l-2c）（3）主平面、主方向與主應(yīng)力由一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念可知，通過(guò)物體內(nèi)

3、任一點(diǎn)都可能存在這樣的微分面： 在該微分面上，只有正應(yīng)力，而剪應(yīng)力為零。這樣的微分面即稱為主平面，該面 的法線方向即稱為主方向，相應(yīng)的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主應(yīng)力、主方向的求解在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求解以下的特征問題： = %（1-3）式中，%為該點(diǎn)應(yīng)力張量分量構(gòu)成的矩陣，?！盀橹鲬?yīng)力，為主方向矢量。由于應(yīng)力張量矩陣是實(shí)對(duì)稱方陣，根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可知，式（1-3）必定存 在實(shí)數(shù)的特征值，即主應(yīng)力必然存在。求解主應(yīng)力?！钡奶卣鞣匠倘缦拢?八4-/2n=。（l-4a）式中，人、/2和人分別稱為成力次曷的第一、第二和第三不變量。并且，/ = crx + by + % =。 + %（ 1 -4b）(l-4c)二

4、ala2a3(l-4d)v.v rT XV應(yīng)注意在主應(yīng)力求出之后，相應(yīng)的主方向的求解方法。（5）最大剪應(yīng)力在與主方向成45°角的微分面內(nèi)，剪應(yīng)力取極值。若規(guī)定6 ><72>cr3 ,則最大剪應(yīng)力出現(xiàn)在過(guò)外 主應(yīng)力軸而平分和軸的微分面上，并且/一/(1-5)，max -2（6）應(yīng)力球量與應(yīng)力偏量一一應(yīng)力張量的分解= b+“(1-6)r 與 0 0、/ 4 b"iQyT.tz式中，b =0 % 0和為=Tyx% - amTyz分別稱為應(yīng)力球10 0 b”“、Tzx% - bm /量和應(yīng)力偏量，并且 b川=/3 =(%.+0+%)/3。對(duì)應(yīng)力偏量，可以類似于應(yīng)力

5、張量那樣，得到其主值及其三個(gè)不變量:(l-7a)5 -/應(yīng)-= °J f+Sy +% =51+52+53 =% +b), +% -3b川=0 (i-7b)r997人=-SQ'v SVL - 5凡 +Sxv+Svz+Szx *«rJ= 一(SS2 +$2§3 +$3S1)=(S1 +S2S2 +5353)/2= X。 2)2 +(°2 /尸 +(/ -CT,)2(l-7c)1977999=壯(/+6(% +F + %)(l-7d)（7）八面體上正應(yīng)力和剪應(yīng)力(l-8a)% =（q+by+b_）/3q =孑 J。b) + (j -+-+ 6(q +

6、q + r j) = ym(l-8b)1.2靜力平衡方程d(Jxdr+ - + + X=Odxdy &(l-9a)drc(ydr/ + + + 丫 =。dxdydz.(l-9b)色L +莖+冬+ Z = O dx dy dz1.3靜力邊界條件三類邊界：位移邊界、應(yīng)力邊界和混合邊界。尤其應(yīng)注意應(yīng)力邊界條鄉(xiāng)的表 示形式：(jlTm + Tn = Xi xyaz(MOa)rl +(J in + Tn - Y(MOb)r I + t m +(7 n-ZZX Z)z(MOc)第二章應(yīng)變狀態(tài)理論2. 1基本概念1 .位移、變形與應(yīng)變位移：物體內(nèi)各點(diǎn)位置的變化。變形：剛體位移+形狀的改變。描述物體內(nèi)

7、微 元體形狀改變的物理量，稱為應(yīng)變。應(yīng)變分為兩種不同的定義：正應(yīng)變和剪應(yīng)變°正應(yīng)變用于描述微分平行六面 體棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)量,剪應(yīng)變用于描述棱邊間夾角的變化。2 . 一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)（1）應(yīng)變張量與一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念類似，為了描繪一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，需要引進(jìn)應(yīng)變張量 的概念。在直角坐標(biāo)系里，應(yīng)變張量可表示為£ ij 二（2）應(yīng)變主方向、主應(yīng)變與應(yīng)變張量的不變量對(duì)物體內(nèi)任一點(diǎn)，至少都可以找到3個(gè)相互垂直的方向，沿這些方向的微分線 段在物體變形后仍相互保持垂直，具有這種性質(zhì)的方向稱為應(yīng)變主方向，把這樣 方向的微分線段的正應(yīng)變，稱為主應(yīng)變，與求解主應(yīng)力、主方向一樣，主應(yīng)變、應(yīng)變主方向的求

8、解在數(shù)學(xué)上也歸結(jié)為 求解一個(gè)特征問題：氣勺 = £%.（2-1）求解主應(yīng)變3的特征方程如下：l8 h =0（2-2a）式中，/|、。和。分別稱為腦變張曷效第一、第二和第三不變量。并且，1 =分 +%，+4 =句 + 4 +邑（2-2b）(2-2d)(2-3)(2-4)（4）應(yīng)變球量與應(yīng)變偏量一一應(yīng)變張量的分解Sij = & + eij（5）體積應(yīng)變e8 = £ +2 +£- = /2 . 2幾何方程（Cauchy方程）du dv dv £ £瓦，)一萬(wàn)，zdu dv二+Oy Ox 'dv dvv dudvv(2-5)+ y _

9、=1& Oy 9° dzdx應(yīng)注意Z程效應(yīng)啜與應(yīng)變張量分量與之間的區(qū)別：%=2%-2.3應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（Saint Venant方程）保證物體連續(xù)性的必要條件(2-6a)(2-6b)(2-6c) 4 "斗 _）一外 dy? dx- dxdy1=&2dz2一 1 4分 _ e2yh&2& 2 dzdx(2-6d)(2-6e)(2-6f)g(/以+也)二22 dx dx dy & dydz、一也+也+以)=2三 dy dy & dx dzdx©(_* +也+也)=2出 && dx dxdy第三章本構(gòu)方程3.

10、 1基本概念1 .線彈性體的廣義Hooke定律aij Cijkl£ij（3-1）2 .彈性應(yīng)變能的概念由于彈性體的變形而儲(chǔ)存在物體內(nèi)部的勢(shì)能稱為彈性應(yīng)變能。單位體積的彈 性應(yīng)變能稱為成變能密蹙 用“0表示。對(duì)彈性體，腦變能密度函數(shù)可表示為以下的一般形式：0（%）=用 b/%（3-2a）對(duì)線彈性體，成變箔密度函數(shù)的形式如下：。(%)=5 5 閭=J+ b： j) + Av + Mz + J%(3-2b)3 .幾種常見的彈性體的基本概念（1）各向異性彈性體（2）具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體（3）正交各向異性彈性體（4）橫貫各向同性彈性體（5）各向同性彈性體以上各種彈性體的概念，應(yīng)注

11、意結(jié)合實(shí)際工程背景去理解。4 .各向同性彈性體的本構(gòu)方程（1）用應(yīng)力表示應(yīng)變的形式砥=:。、一M明+4）EJ/®“.+/）】（3-3a）tLZX =G 9剪切模量2(1+ v) °（2）用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式%=2"工 +£,+£,+邑）6 = 2“), + 2(. + j j)(3-3b)J = 22 二 + 4( j + 邑 + 邑)«o EvE式中，兒稱為拉梅常數(shù)，而且"=（1+ ）（_2切， =G"而行5,體變能與畸變能的概念一一彈性應(yīng)變能的分解體變能f應(yīng)力球量對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)變能密度概念。對(duì)各向同性彈性體，體變

12、能1E，%，可表示為%八，='/1，K=為體積模量。1 oA3U £V)脆變成一應(yīng)力偏量對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)變能密度概念。對(duì)各向同性彈性體，畸變能11 73 2Uod可表示為Uod = 2叼%二元,2 =而86 .屈服、屈服條件、屈服函數(shù)、屈服而與加載條件、加載函數(shù)和加載面的概 心屈服：首次由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)的界限。屈服概念可以從低碳 鋼試件的拉伸試驗(yàn)去理解。施淡條距一般是指物體內(nèi)任一點(diǎn)首次III彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，該 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)所滿足的條件。它是判斷材料受力到什么程度才開始出現(xiàn)塑性變形 的準(zhǔn)則。若把屈服條件用數(shù)學(xué)函數(shù)形式表示，則相應(yīng)的函數(shù)即稱為應(yīng)友函數(shù)，屈服

13、函 數(shù)在應(yīng)力空間中對(duì)應(yīng)的曲面，:魅為屈服曲面Q加載條件、加載函數(shù)和加載面都是對(duì)應(yīng)于物體發(fā)生屈服之后的“屈服”概念 -后繼屈服概念。7,幾種常見的彈塑性體模型(1)理想彈塑性模型(2)理想剛塑性模型(3)彈塑性線性強(qiáng)化模型(4)剛塑性線性強(qiáng)化模型(5)基次強(qiáng)化模型8 .塑性理論的基本假設(shè)9 . Dwek公設(shè)與加卸載準(zhǔn)則(1)強(qiáng)化模型/(b)<0,彈性狀態(tài)(3-4a)(3-4b)(3-4c)(3-4d)/(為)=0 , S > 0 加載/(b)=0,deJij < 0 卸載o(Jij/(b)=0,義一db)=o中性變載 caij（2）理想彈塑性模型/（6/）0, 彈性狀態(tài)（3-5

14、a） = 0,=0 加載（3-5b）Cbij/（%）= o,三1dbjj 0 卸載（3_5c）Oj ?1J10 .主應(yīng)力空間中的屈服面形狀11 .常用的幾個(gè)屈服條件_ 1 _（1）Tresca屈服條件：一般形式為丁-二5%。在主應(yīng)力大小已知情況下，Tresca屈服條件應(yīng)用起來(lái)最為簡(jiǎn)便。即若假設(shè)6 60-10-2巴，則有Gx =-一，此時(shí)Tresca屈服條件可改寫為6 -4=5（2） Mises屈服條件：一般形式為，2= 6或J?= 。（3） Coulomb一Mohr屈服條件12 . Mises的塑性位勢(shì)理論13 .簡(jiǎn)單加載定理3. 2彈塑性本構(gòu)方程1 .增量形式(3-6)(3-7a)(3-7b

15、)de； =1- ds!； +dAs；!2.全量形式IJ 2G lJ lJe： =-Ls. “2舟氣 第四章彈塑性力學(xué)問題的提法和基本解法4.1彈塑性力學(xué)問題所滿足的三個(gè)基本關(guān)系1 .平衡關(guān)系一一參見式（1.9）2 .幾何關(guān)系參見式（2.5）和式（2.6）3 .本構(gòu)（物理）關(guān)系參見式（3.3）、式（3-6）和式（3.7）任何一個(gè)彈塑性力學(xué)問題都要同時(shí)滿足以上三個(gè)基本關(guān)系，這三個(gè)基本關(guān)系 和邊界條件構(gòu)成了彈塑性力學(xué)問題的嚴(yán)格完整的提法。從彈塑性力學(xué)問題對(duì)應(yīng)的 數(shù)學(xué)問題看，這是一組偏微分方程組+邊值條件的數(shù)學(xué)問題。因此，一個(gè)彈塑性 力學(xué)問題的求解.，就歸結(jié)為求解一組偏微分方程組的邊值問題。4 .

16、2彈塑性力學(xué)問題的基本解法通常求解一個(gè)彈性力學(xué)問題，是要確定15個(gè)基本的未知量，它們分別為：6 個(gè)應(yīng)力分量和6個(gè)應(yīng)變分量，以及3個(gè)位移分量。求解塑性力學(xué)問題，通常也要確 定這15個(gè)基本的未知量，但由于材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后的非線性性，加上所服從的 加載和卸載規(guī)律不一樣，所以求解過(guò)程遠(yuǎn)較彈性力學(xué)問題復(fù)雜，往往需要采用數(shù) 值解法。以下僅介紹一般的求解策略。1 .位移解法（1） 基本思想以3個(gè)位移分量作為基本未知量，并首先求出；在求出3個(gè)位移分量后，由兒 何方程確定6個(gè)應(yīng)變分量，再利用本構(gòu)方程確定6個(gè)應(yīng)力分量。（2） 定解方程及邊界條件位移解法的定解方程為以位移分量表示的平衡方程（L-N方程），邊界條件

17、應(yīng) 表述為位移分量表示的形式。2 .應(yīng)力解法（1）基本思想以6個(gè)應(yīng)力分量作為基本未知量，并首先求出；在求出6個(gè)應(yīng)力分量后，由本 構(gòu)方程確定6個(gè)應(yīng)變分量，再利用幾何方程確定3個(gè)位移分量。3 3） 定解方程及邊界條件應(yīng)力解法的定解方程為靜力平衡方程+以應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程（B-M方 程），邊界條件應(yīng)表述為應(yīng)力分量表示的形式。3,混合解法以部分位移分量和部分應(yīng)力分量作為基本未知量，并首先求出；然后利用兒 何方程和本構(gòu)方程確定其它未知量的方法。4 .逆解法和半逆解法第二篇應(yīng)用部分第五章簡(jiǎn)單彈塑性平面問題1 .平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的概念2 .平面問題的基本方程3 .2平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法無(wú)體力

18、或常體力情況下，平面問題采用應(yīng)力解法時(shí)，其定解方程為dcr or（i）平衡方程：L+r+x=°dryxdxda+- + r = o出+(2) B-M方程：°(bx+bv) = O若設(shè)Airy應(yīng)力函數(shù)8滿足：巴d2(pa2X -x (J =-y - y T 'y dx2 ''d2(p dxdy '則平衡方程自動(dòng)恒滿足，協(xié)調(diào)方程（B-M方程）化為可見，平面 問題采用應(yīng)力函數(shù)解法時(shí)，僅有一個(gè)基本未知量。，相應(yīng)的定解方程為V2V> = 0 o5. 3梁的彈塑性平面彎曲問題的解5.4厚壁圓桶問題的解軸對(duì)稱問題的位移解法5. 5半無(wú)限平面問題及圓孔應(yīng)力集中問題的解在極坐標(biāo)系里求解第六章柱體扭轉(zhuǎn)問題6.1 柱體扭轉(zhuǎn)問題的基本假設(shè)6.2 柱體扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)解法6.3 解決柱體扭轉(zhuǎn)問題的比擬方法1 .薄膜比擬法僅適用于柱體