二元一次不定方程地解法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通過三個(gè)實(shí)例詳盡而具體的說明了二元一次不定方程的解法.【關(guān)鍵詞】不定方程；通解；解法不定方程是數(shù)論中一個(gè)古老的分支,至今仍是一個(gè)很活潑的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽也常常由于某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程問題.下面,就通過具體實(shí)例,來示范說明一下不定方程的解法.定義形如 ax+by =ca,b,cw z, ab 00的方程稱為二元一次不定方程,求原方程的整數(shù)解的問題叫做解二元一次不定方程.定理1原方程有整數(shù)解的充分必要條件是a,b |c .推論假設(shè)a,b =1,那么原方程一定有整數(shù)解.定理2假設(shè)a,b=1,且xyj為原方程的一個(gè)整數(shù)解特解,那

2、么原方程的全部整數(shù)解通解都可表成x = x - bt , y = y+at,t w z或乂 = 乂口+優(yōu),y = yoat,t w z由上述定理可知,求不定原方程整數(shù)解的步驟是：x a判定原方程是否有解：當(dāng)d|c時(shí),原方程無整數(shù)解；當(dāng)d |c時(shí),原方程有整數(shù)解.在有整數(shù)解時(shí),方程同解變形,邊除以 d,使原方程轉(zhuǎn)化為a,b=1的情形.求特解,寫通解.注：通解形式不唯一可見,求特解是解二元一次不定方程的關(guān)鍵.首先,對(duì)方程的未知數(shù)系數(shù)較小,或系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有和、差、約數(shù)、倍數(shù)關(guān)系時(shí)觀察法 是最簡(jiǎn)單易行的便捷方法.文檔y =y -at,(t z)x u x bt實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(x,y)3x-5y =20,

3、(3,5)=1文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解 (15,25) =5,5|100 ,.一原方程有整數(shù)解.15x -25y =100 3x -5y =20,(3,5) =1 .利用觀察法可知(5, 一 1)是這個(gè)方程的特解,因此方程的全部整數(shù)解是x =5-5t,y =_1 _3t , ( t CZ).其次,對(duì)于用觀察法看不出特解,或未知數(shù)系數(shù)較大時(shí),我們那么可采用以下幾種方法：1、觀察法這種方法很簡(jiǎn)單,它是通過觀察便能看出二元一次不定方程的特解的方法.下面看個(gè)例子：例：求不定方程5x-17y = 17的整數(shù)解解：根據(jù)二元一次不定方程有解的充要條件, (5,7) =1.方程有整數(shù)解經(jīng)觀察得：x = 2, y =

4、 -1是一個(gè)特解,方程的所有整數(shù)解為：x =2-7t, y=一1 5t (t z)從例題中我們看出,這種方法顯然很簡(jiǎn)便,對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的二元一次不定方程易觀察也很適用,但它畢竟也有弊端,有些方程不容易觀察,所以我們還需尋求新的方法.2 .別離整數(shù)法此法主要是通過解未知數(shù)的系數(shù)中絕對(duì)值較小的未知數(shù),將其結(jié)果中整數(shù)局部別離出 來,那么剩下局部仍為整數(shù),令其為一個(gè)新的整數(shù)變量,據(jù)此類推,直到能直接觀察出特解的不定方程為止,再追根溯源,求出原方程的特解.例：解不定方程37x+107y=25 .解; (37,107) =1,1| 25 ,二原方程有整數(shù)解.先用x, y的系數(shù)中較小的37去除方程的兩邊,并

5、解出x,得x = 25 17 y除以37 .再把上式右邊 y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的整數(shù)局部別離出來,寫成 x = 1-37y+(-12+4y) 除以37 .由于x, y都是整數(shù),1 3y也是整數(shù),那么 12+4y除以37也一定是整數(shù),那么可令yc=3 (由于此時(shí)12 + 4 x 3除37 CZ),那么有x=-8 .補(bǔ)充說明假設(shè)通過原式中未看出特解,可令 -12+4y除37 =t 乏 z,4 y-37t =12, y =(12 +37t)除 4 ) =3 +9t文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案那么t除4z ,有t0 = 0 ,從而有y*= 3 ,可推得xs= -8 .這樣得原不定方程的特解為Xo=-8 , yo =

6、3 .原不定方程的通解為 x = -8-107t,y =3 + 37t , ( t Z).3 .逐漸減小系數(shù)法此法主要是利用變量替換,使不定方程未知數(shù)的系數(shù)逐漸減小,直到出現(xiàn)一個(gè)未知量的系數(shù)為土 1的不定方程為止,直接解出這樣的不定方程(或可以直接能用觀察法得到特解的不定方程為止,再依次反推上去)得到原方程的通解.例：解不定方程37x+107y=25 .解(37,107) =1,1|25 ,二原方程有整數(shù)解.由37 <107 ,用y來表示x,得x=25 107y 37 = 1 3y + 12 + 4y 除 37 .那么令-12 4y37 = Yz,即 4y-37k =12由4 E37 ,

7、用k來表示v,得y =12+37k4 =3+9k +k 除 4 .那么令 k4=t w z ,得 k=4t將上述結(jié)果一一代回,得原方程的通解為x = q-107t,y =3+37t , ( t Z).4.輾轉(zhuǎn)相除法此法主要借助輾轉(zhuǎn)相除式逆推求特解.例： 解不定方程37x+107y=25解: 107 =37父2 +33, 37x+107y =25原方程有整數(shù)解.用輾轉(zhuǎn)相除法求特解37 =33 1 4, 33 =4 8 1.從最后一個(gè)式子向上逆推得到37 M(-26) +107X9 =1 ,37 (-26 25) 107 (9 25) =25貝勝寺解為 x0=26父25 = 650 , 丫.= 9

8、父25 = 225通解為 x =-650 107t =8107(t 6),文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案y =225 +37t =3 +37(t+6),(tw z),或改寫為 x = 8107t,y =3+37t , ( t Z).5 .歐拉算法受輾轉(zhuǎn)相除法的啟示,此題可簡(jiǎn)化為采用歐拉算法的方法求解.其實(shí)質(zhì)仍是找出(a ,b)表為a, b的倍數(shù)和時(shí)的倍數(shù),從而求出特解.例5解不定方程37x +107y =25解; (37,107) =1,1| 25 , 原方程有整數(shù)解.(見抄)37 x(26)+107x9 =1 , 37x(-26x25) +107 x (9 x 25) = 25貝勝寺解為 x - -26

9、25 - -650 , y,=9 25 =225通解為 x = -650 -107t = -8 -107(t 6),y =225 37t -3 37(t 6),( t z)或改寫為 x = 8107t,y =3+37t , ( t Z).6 .同余替換法此法主要是取未知量系數(shù)絕對(duì)值較小者作為模,對(duì)另一系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)取同余式,將其值替換為較小的同余值,構(gòu)成一個(gè)新的不定方程,據(jù)此類推,直到某不定方程的一個(gè)變量系數(shù)為±1為止,然后一一代回,直接求出原不定方程的通解.例：解不定方程37x+107y=25解(37,107) =1,1|25,.二原方程有整數(shù)解.(見抄)那么原方程轉(zhuǎn)化為 k-4t

10、=0 ,即k =4t ,將其代入(1),有y =3 +37t再將上式代入原方程,有 x = -8-107t ,綜上得原方程的通解為 x =8107t, y = 3 + 37t , ( t C Z).最后,對(duì)于未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間有某些特殊關(guān)系的不定方程,如常數(shù)項(xiàng)可以拆成兩未知數(shù)系數(shù)的倍數(shù)的和或差的不定方程,可以采用分解常數(shù)項(xiàng)的方法去求解方程.例：解不定方程3x+5y=143 .解3x+5y=143 , 3x + 5y=140+3, 3(x1)+5(y28) = 0 (3,5) =1 , . x-1=-5t,y -28 = 3t ,文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案原方程的通解為 x=1_5t , y =28+

11、3t,tw z.定理：考慮二元一次方程ax+by=c 1其中a、b、c是整數(shù),且ab # 0, a,b =1,b | c,那么方程1的一切整數(shù)解可以表示成x = bt,y = k at 其中 t=0、± 1, ±2, ? , k= c 除 b證實(shí)：i 令 x = bt, y = k at, k = c 除 b,那么 ax + byk at =bk = c即2是I 的解.n 設(shè)x,y 是萬程1 的任一整數(shù)解,那么ax+by=U b|c,可設(shè)c = bk, 那么x =cby 除 a =bkby 除 a =bky除 a一'=''、由于x,y是萬程1的整數(shù)解

12、,故x必為整數(shù),從而bk-y除a也必為整數(shù).又a, b =1,故 a |k - y ,可設(shè) t=k-y 除 a,得*=忖,y=k-at.因此,x ' , y '可表示成2的形式.由I、 n知,2 式表示了方程1的一切整數(shù)解,證畢.推論：將定理中條件 b|c換為 a|c時(shí),方程1的一切整數(shù)解可表示成 x = k - bt, y = at當(dāng)方程系數(shù) a |c和b|c均不成立時(shí),可以用行列式變換使得第一項(xiàng)或第二項(xiàng)的系數(shù) 能整除co再根據(jù)定理或推論來求出原方程的整數(shù)解.例：.求7x + 4y=100的一切整數(shù)解.解：由于7,4 =1且4|100,由定理可得所求解為x =4t, y =2

13、5 -7t其中 t =0, 一1,一2,例：.求107x38y=30的一切整數(shù)解.解：107和38均不能整除30,故不能直接套用定理.我們做行列式變換：抄這樣原方程可化為：714x -5y -3y -3x =30由于3|30 ,這樣,由定理知原方程的解為：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案14x -5y = -3t, y -3x = -10 -7t即 x =50 38t, y =140 107t ,其中 t =0, _1, 一2,7、參數(shù)法這種方法是解出系數(shù)絕對(duì)值較小的未知數(shù) ,將其寫成幾局部和的形式,然后引進(jìn)參數(shù) 于是便又得到一個(gè)新的不定方程 ,這時(shí)用觀察法便可得出新方程的特解 ,然后再用代入法 就可得出原方

14、程的特解,進(jìn)而求出通解.下面用例子說明此種方法的解題過程 ：例：求7x+19y=213整數(shù)解解：從系數(shù)絕對(duì)值較小的 x解之得：(見抄)于是得到新不定方程 7u +5y = 3 這時(shí)用觀察法便知u = -1 , y = 2 是方程的特解將y=2代入得x=25 所以原方程的通解為：x=25+19t , y=7-2t (t w z)注：有時(shí)要求求不定方程的正整數(shù)解,這時(shí)只需x , y均大于0解不等式組便可求t的范圍,然后t取整數(shù)就可以得出正整數(shù)解了.總之,二元一次不定方程的解法很多,也很巧妙、 有趣.要想靈活的去求解二元一次不 定方程,除了要掌握各種具體的解法以外,還要學(xué)會(huì)具體問題具體分析,并要具有

15、一定的將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫穿的水平.不定方程是數(shù)論中一個(gè)古老的分支,至今仍是一個(gè)很活潑的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽也常常由于某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程問題.下面,我就通過三道具體實(shí)例,來示范說明一下不定方程的解法.定義形如 ax +by = c(a,b, cw z, ab # 0)的方程稱為二元一次不定方程,求原方程的整數(shù)解的問題叫做解二元一次不定方程.定理1原方程有整數(shù)解的充分必要條件是(a,b)|c.推論假設(shè)(a,b) = 1,那么原方程一定有整數(shù)解.定理 M (a, b) = 1,且 (x號(hào)y?為原方程的一個(gè)整數(shù)解(特解),那么原方程的全部整數(shù)解(通解)都可表成x =x0bt, y = y0+at(t w z)或 xy=xy00+-batt,(t £ Z).由上述定理可知,求不定原方程整數(shù)解的步驟是：(a,b) = d .判定原方程是否有解：當(dāng)d | c時(shí),原方程無整數(shù)解；當(dāng)d | c時(shí),原方程有整數(shù)解.在有整數(shù)解