對(duì)數(shù)知識(shí)點(diǎn)整理

1、1對(duì)數(shù)的概念如果a(a>0，且a1)的b次冪等于N，即，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).由定義知：負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù);a>0且a1,N>0;, , ,特別地，以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，記作,簡(jiǎn)記為lgN；以無(wú)理數(shù)e(e=2.718 28)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作，簡(jiǎn)記為2對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化式子名稱(chēng)指數(shù)式(底數(shù))(指數(shù))(冪值)對(duì)數(shù)式(底數(shù))(對(duì)數(shù))(真數(shù))3對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,a1,M>0,N>0,那么(1)(2(3)問(wèn)：公式中為什么要加條件a>0,a1，M>0,N>0?_ (nR)對(duì)數(shù)式

2、與指數(shù)式的比較.(學(xué)生填表)運(yùn)算性質(zhì),(a>0且a1,nR), (a>0,a1,M>0,N>0)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破對(duì)數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a0,，且a1?理由如下：若a0，則N的某些值不存在，例如log-28若a=0，則N0時(shí)b不存在；N=0時(shí)b不惟一，可以為任何正數(shù)若a=1時(shí)，則N1時(shí)b不存在；N=1時(shí)b也不惟一，可以為任何正數(shù)為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對(duì)數(shù)式的底是一個(gè)不等于1的正數(shù)解題方法技巧1(1)將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：54=625；2-6=164；3x=27；13m=573.（2）將下列對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：log1216=-4；log2128=7；log327=x

3、；lg0.01=-2；ln10=2.303；lg=k.解析由對(duì)數(shù)定義：ab=NlogaN=b.解答(1)log5625=4.log2164=-6.log327=x.log135.73=m.解題方法指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對(duì)數(shù)的定義：ab=NlogaN=b.(2)12-4=16.27=128.3x=27.10-2=0.01.e2.303=10.10k=.2根據(jù)下列條件分別求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)對(duì)數(shù)式化指數(shù)式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=

4、1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,x=12+3=2-3.解題技巧轉(zhuǎn)化的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常進(jìn)行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化.熟練應(yīng)用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=

5、5，求A=x·3x-1y212的值.解析思路一，已知對(duì)數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運(yùn)算求值；思路二，對(duì)指數(shù)式的兩邊取同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算求值解答解法一logax=4,logay=5,x=a4,y=a5,A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二對(duì)所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,A=1.解題技巧有時(shí)對(duì)數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來(lái)得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對(duì)數(shù)的方

6、法，把指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算.4設(shè)x,y均為正數(shù)，且x·y1+lgx=1(x110),求lg(xy)的取值范圍.解析一個(gè)等式中含兩個(gè)變量x、y，對(duì)每一個(gè)確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實(shí)際上是一個(gè)求函數(shù)值域的問(wèn)題，怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢?能否對(duì)已知的等式兩邊也取對(duì)數(shù)?解答x>0,y>0,x·y1+lgx=1,兩邊取對(duì)數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x110,lgx-1).令lgx=t, 則lgy=-t1+t(t-1).lg(xy)=lg

7、x+lgy=t-t1+t=t21+t.解題規(guī)律對(duì)一個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)是解決含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式問(wèn)題的常用的有效方法；而變量替換可把較復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.設(shè)S=t21+t,得關(guān)于t的方程t2-St-S=0有實(shí)數(shù)解.=S2+4S0，解得S-4或S0,故lg(xy)的取值范圍是(-,-40,+).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都

8、化成lg2與lg5的關(guān)系式.(2)轉(zhuǎn)化為log32的關(guān)系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關(guān)系，能否從中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是兩個(gè)指數(shù)冪的乘積，且指數(shù)含常用對(duì)數(shù)，設(shè)x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)

9、+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.ab=1或ab=4，這里a>0,b>0.若ab=1，則a-2b<0, ab=1（ 舍去）.ab=4,log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)設(shè)x=7lg20·12lg0.7,則lgx=lg20×lg7+lg

10、0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,x=14, 故原式=14.解題規(guī)律對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是進(jìn)行同底的對(duì)數(shù)運(yùn)算的依據(jù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是等式兩邊都有意義的恒等式，運(yùn)用法則進(jìn)行對(duì)數(shù)變形時(shí)要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)的范圍是否改變，為防止增根所以需要檢驗(yàn)，如(3).對(duì)一個(gè)式子先求它的常用對(duì)數(shù)值，再求原式的值是代數(shù)運(yùn)算中常用的方法，如(4).6證明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a1,c>0,c1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>

11、;0,b1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)設(shè)logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)求出b就可能得證.(2)中l(wèi)ogbc能否也換成以a為底的對(duì)數(shù).(3)應(yīng)用(1)將logab換成以b為底的對(duì)數(shù).(4)應(yīng)用(1)將loganbm換成以a為底的對(duì)數(shù).解答(1)設(shè)logaN=b，則ab=N,兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)得：b·logca=logcN,b=logcNlogca.logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)loga

12、b=logbblogba=1logba.解題規(guī)律(1)中l(wèi)ogaN=logcNlogca叫做對(duì)數(shù)換底公式，(2)(3)(4)是(1)的推論，它們?cè)趯?duì)數(shù)運(yùn)算和含對(duì)數(shù)的等式證明中經(jīng)常應(yīng)用. 對(duì)于對(duì)數(shù)的換底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依題意a,b是常數(shù)，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否將log127轉(zhuǎn)化為以6為底的對(duì)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以3為底呢?解答已知log67=a,log34=b,log127=lo

13、g67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.log32=b2,log62=b21+b2=b2+b.log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解題技巧利用已知條件求對(duì)數(shù)的值，一般運(yùn)用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，把對(duì)數(shù)用已知條件表示出來(lái)，這是常用的方法技巧8已知x,y,zR+，且3x=4y=6z.(1)求滿足2x=py的p值；(2)求與p最接近的整數(shù)值；(3)求證：12y=1z-1x.解析已知條件中給出了指數(shù)冪的連等式，能否引進(jìn)中間量m，再用m分別表示x,y,z?又想，對(duì)于指數(shù)式能否用對(duì)數(shù)的方法去解

14、答?解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,p=log316.解法二設(shè)3x=4y=m,取對(duì)數(shù)得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)2=log39<log316<log327=3,2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716&

15、lt;169,log32716<log3169,p-2>3-p.與p最接近的整數(shù)是3.解題思想提倡一題多解.不同的思路，不同的方法，應(yīng)用了不同的知識(shí)或者是相同知識(shí)的靈活運(yùn)用，既發(fā)散了思維，又提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，何樂(lè)而不為呢?(2)中涉及比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小.這是同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)比大小.因?yàn)榈?>1，所以真數(shù)大的對(duì)數(shù)就大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)真數(shù)的大小，這里超前應(yīng)用了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以鼓勵(lì)學(xué)生超前學(xué)習(xí)，自覺(jué)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，zR+，k>1，則 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg

16、6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，則有3=m1x,4=m1y，6=m1z，÷，得m1z-1x=63=2=m12y.1z-1x=12y.9已知正數(shù)a,b滿足a2+b2=7ab.求證：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求證式中真數(shù)都只含a,b的一次式，想：能否將真數(shù)中的一次式也轉(zhuǎn)化為二次，進(jìn)而應(yīng)用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解題

17、技巧將a+b3向二次轉(zhuǎn)化以利于應(yīng)用a2+b2=7ab是技巧之一.應(yīng)用a2+b2=7ab將真數(shù)的和式轉(zhuǎn)化為ab的乘積式，以便于應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.a2+b2=7ab,logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思維拓展發(fā)散1數(shù)學(xué)興趣小組專(zhuān)門(mén)研究了科學(xué)記數(shù)法與常用對(duì)數(shù)間的關(guān)系.設(shè)真數(shù)N=a×10n.其中N>0,1a<10,nZ.這就是用科學(xué)記數(shù)法表示真數(shù)N.其科學(xué)性體現(xiàn)在哪里?我們只要研究數(shù)N的常用對(duì)數(shù)，就

18、能揭示其中的奧秘.解析由已知，對(duì)N=a×10n取常用對(duì)數(shù)得，lgN=n+lga.真數(shù)與對(duì)數(shù)有何聯(lián)系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.nZ,1a<10，lga0,1).我們把整數(shù)n叫做N的常用對(duì)數(shù)的首數(shù)，把lga叫做N的常用對(duì)數(shù)的尾數(shù)，它是正的純小數(shù)或0.小結(jié)：lgN的首數(shù)就是N中10n的指數(shù)，尾數(shù)就是lga,0lga<1;有效數(shù)字相同的不同正數(shù)它們的常用對(duì)數(shù)的尾數(shù)相同，只是首數(shù)不同；當(dāng)N1時(shí)，lgN的首數(shù)n比它的整數(shù)位數(shù)少1，當(dāng)N(0，1)時(shí)，lgN的首數(shù)n是負(fù)整數(shù)，|n|-1與N的小數(shù)點(diǎn)后第一個(gè)不是0的有效數(shù)字前的零的個(gè)數(shù)相同.師生互動(dòng)什么叫做科學(xué)

19、記數(shù)法？N>0,lgN的首數(shù)和尾數(shù)與a×10n有什么聯(lián)系？有效數(shù)字相同的不同正數(shù)其常用對(duì)數(shù)的什么相同？什么不同？2若lgx的首數(shù)比lg1x的首數(shù)大9，lgx的尾數(shù)比lg1x的尾數(shù)小0380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析lg0.203 4=1308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是對(duì)數(shù)的首數(shù)，0.308 3是對(duì)數(shù)的尾數(shù)，是正的純小數(shù)；若設(shè)lgx=n+lga，則lg1x也可表出.解答設(shè)lgx=n+lga,依題意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),(n-9)+(lga

20、+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首數(shù)，lga+0380 4是尾數(shù)，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首數(shù)1-lga是尾數(shù)，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lgan=4,lga=0.308 3.lgx=4+0.308 3=4.308 3,lg0.203 4=1.308 3,x=2.034×104.lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解題規(guī)律把lgx的首數(shù)和尾數(shù)，lg1x的首數(shù)和尾數(shù)都看成未知數(shù)，根據(jù)題目的等量關(guān)系列方程.再由同一對(duì)數(shù)的首數(shù)等于首數(shù)，尾數(shù)等于尾數(shù)，求出未知數(shù)的值，是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法.3計(jì)算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3與2-3有何關(guān)系?2+3+2-3雙重根號(hào)，如何化簡(jiǎn)?(2)中分母已無(wú)法化簡(jiǎn)，分子能化簡(jiǎn)嗎?解題方法認(rèn)真審題、理解題意、抓住特點(diǎn)、找出明確的解題思路和方法，不要被表面的繁、難所嚇倒.解答(1)原式=