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1、備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)的綜合題試題及答案一、旋轉(zhuǎn)1. (1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且 BC= a, AB= b.填空:當(dāng)點(diǎn)A位于 時(shí),線段AC的長(zhǎng)取得最大值,且最大值為 (用含a, b的式子表示)(2)應(yīng)用:點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且 BC= 4, AB= 1,如圖2所示,分別以AB, AC為 邊,作等邊三角形 ABD和等邊三角形 ACE,連接CD, BE.請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值.拓展:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6, 0),點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn),且 PA= 2, PM=PB, / BPM
2、 = 90°,請(qǐng)直接寫出線段 AM長(zhǎng)的最大值 及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).摩D(圖2)網(wǎng))僮用蜀【答案】(1)CB的延長(zhǎng)線上,a+b; (2)CD= BE,理由見解析; BE長(zhǎng)的最大值為5; (3) 滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2 - J2 , J2 )或(2 -丘,-72 ), AM的最大值為2 J2 +4.【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí),線段 AC的長(zhǎng)取得最大值,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)已知條件易證 ACA* EAE5,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CD= BE;由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段 CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;(3)連接BM, 將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋
3、轉(zhuǎn)90°得至IJ4PBN,連接AN,得到4APN是等腰直角三角形, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA= 2, BN= AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí),線段BN取得最大值,即可得到最大值為2J2+4;如圖2,過P作PE± x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn) P的坐標(biāo).如圖3中,根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)也滿足條件,由此求得符合條件的點(diǎn)P另一個(gè)的坐標(biāo).【詳解】(1) .點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且 BC= a, AB= b,,當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí),線段 AC的長(zhǎng)取得最大值,且最大值為BC+AB= a+b,故答案為CB的延長(zhǎng)線上,a+b;(2)CD= B
4、E,理由:ABD與 ACE是等邊三角形, .AD=AB, AC= AE, / BAD= Z CAE= 60°, / BAD+Z BAC= / CAEZ BAC,即 / CAD= / EAB,AD = ABI在ACAD與EAB中,NCAD=/EAB ,AC = AE.CA* EARSAS,.CD= BE;二線段BE長(zhǎng)的最大值=線段 CD的最大值,由(1)知,當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí),點(diǎn) D在CB的延長(zhǎng)線上,.,最大值為 BD+BC= AB+BC= 5;(3)如圖1,圖i 將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PBN,連接AN, 則4APN是等腰直角三角形,,-.PN=PA=
5、 2, BN=AM,.A的坐標(biāo)為(2, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6, 0),.OA=2, OB= 6,.AB=4, 線段AM長(zhǎng)的最大值=線段 BN長(zhǎng)的最大值, 當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí),線段 BN取得最大值,最大值=AB+AN, AN=應(yīng) AP= 2后,最大值為2、, 2+4;如圖2,過P作PE± x軸于E,. APN是等腰直角三角形,.PE= AE=&, .OE= BO- AB - AE= 6-4-五=2 - & ,P(2-夜夜).根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)p在第四象限時(shí),R2- J2, - J2)時(shí),也滿足條件.綜上所述,滿足條件的點(diǎn) P坐標(biāo)(2 - J2 , J2)或(2
6、- J2 , - J2), AM的最大值為 2 應(yīng)+4.【點(diǎn)睛】2 .請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列,完成所提出的問題:(1)探究1:如圖1,在等腰直角三角形本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),最大值問題,旋轉(zhuǎn)的 性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.ABC中,/ACB=90°, BC = a,將邊 AB繞點(diǎn) B1 O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證:BCD的面積為3a2.(提示:過點(diǎn)D作BC邊上的高de,可證LabcUbde)(2)探究2:如圖2,在一般的RtLABC中,/ACB =900, BC = a ,將邊AB繞點(diǎn)B順
7、 時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請(qǐng)用含a的式子表示BCD的面積,并說明理由.(3懈究3:如圖3,在等腰三角形 ABC中,AB = AC, BC = a,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示BCD的面積,要有探究過 程.【答案】(1)詳見解析;(2) |_BCD的面積為1a2,理由詳見解析;(3) |_BCD的面 2.12 積為一a4【解析】 【分析】(1 )如圖1,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出 |_ABC0|_BDE ,就有DE =BC=a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論;(2)如圖2
8、,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出|_ABC0|_BDE ,就有DE =BC=a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論;(3 )如圖3,過點(diǎn)A作AF _L BC與F,過點(diǎn)D作DE _L BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由等腰三角形1的性質(zhì)可以得出 BF = BC ,由條件可以得出 LAFB 01BED就可以得出BF = DE,由 2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】(1)如圖1,過點(diǎn)D作DE _LCB交CB的延長(zhǎng)線于E,BED = ACB = 90 ,由旋轉(zhuǎn)知,AB =AD , / ABD =90°,二 / ABC +N DBE =900,A A ABC =9
9、0:,:./ A =/ DBE ,在 |_ABC 和 |_BDE 中,ACB -BED,/A = /DBE ,、AB = BD,-,Labc 式 BDE(AAS ): BC =DE =a,VslbcdBC DE , 2S= 1 a2 .1P S BCD - a ,2(2 M BCD的面積為1a2, 2理由:如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,卻.BED - ACB =90 ,:線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE, .AB =BD , / ABD =90。,: / ABC +/ DBE =900,A A ABC =90",二 N A =N DBE ,
10、 在 |_ABC 和 |_BDE 中,ACB -/BEDA NA = NDBE ,AB -BD.<ABC 4BDE(AAS ), BC =DE =a,1;SLbcd =1BC DE ,S BCD1 2一2a,(3 )如圖3,過點(diǎn)A作AF _L BC與F,過點(diǎn)D作DE _L BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,八11J. N AFB =N E =90 , BF =2BC =a ,:.£ FAB +N ABF =900,:ABD =90:,ABF DBE =90;,./ FAB =/ EBD ,線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,在 |_AFB 和 |_BED 中, AFB = EI/FAB =/EB
11、D , AB = BD,Lafb-Lbed(aas ),1BF -DE a,2c 11 1_1 2s S bcd 二BC DE 二一一a a 二一a ,22 241 2J.LBCD的面積為一a .4【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性 質(zhì)、三角形的面積等,綜合性較強(qiáng),有一定的難度,正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運(yùn) 用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵 .3.如圖 1,在 RtABC中,/ ACB= 90°, AC= BC.點(diǎn) D、E分別在 AC BC邊上,DC=EG 連接 DE、AE、BD.點(diǎn) M、N、P分別是 AE、BD、AB 的中點(diǎn),連
12、接 PM、PN、MN.C ER CBCE R圖i圖2備用圖(1) PM與BE的數(shù)量關(guān)系是 , BE與MN的數(shù)量關(guān)系是 .(2)將4DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置,判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論 是否仍然成立,如果成立,請(qǐng)寫出證明過程,若不成立,請(qǐng)說明理由;(3)若CB= 6. CE= 2,在將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周白過程中,當(dāng) B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí),求 MN的長(zhǎng)度.1【答案】(1) PM = BE,BE=J2MN ; (2)成立,理由見解析;(3) MN=J17 - 21或布+1【分析】(1)如圖1中,只要證明Lpmn的等腰直角三角形,再利用三角形的中位線定
13、理即可解決問題;(2)如圖2中,結(jié)論仍然成立,連接 AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H .由LECB三_ DCA , 推出 BE =AD , /DAC =/EBC ,即可推出 BH _L AD ,由 M、N、p分別 AE、1 _1 BD、AB 的中點(diǎn),推出 PM /BE, PM= BE, PN/AD , PN= AD,推出 22PM =PN ,2MPN =90",可得 BE =2PM =2mMN =V2MN ; 2(3)有兩種情形分別求解即可 .【詳解】(1)如圖1中,j卻. AM = ME, AP= PB,1 PM / BE, PM =BE , 2 . BN=DN, AP=PB,1 _ .
14、PN/AD, PN=AD, 2 . AC= BC, CD= CE, .AD= BE,.PM = PN, . / ACB= 90°,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, . PMN的等腰直角三角形, 1- MN = V2PM ,MN = '.2 - BE ,2BE =72MN ,1_故答案為 PM =1BE , BE=J2MN 2(2)如圖2中,結(jié)論仍然成立.理由:連接AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H. ABC和 CDE是等腰直角三角形,.CD= CE CA= CB, /ACB= Z DCE= 90°, / ACB / ACE= /
15、 DCE / ACE/ ACD= / ECB . ECB DCA,.BE=AD, / DAC= / EBC. Z AHB=180° - (/ HAB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°, BHXAD, M、N、P分別為AE BD、AB的中點(diǎn),1=AD ,21 .PM/BE, PM =BE, PN/AD, PN 2.PM = PN, / MPN=90°,BE =2PM =2父貝 MN =V2MN .2=DG =
16、 VL(3)如圖3中,作CGJ± BD于G,則CG =GE當(dāng) D、E、B 共線時(shí),在 RtA BCG 中,BG =反2 CG2 =押=734, BE =BG -GE = /34 - 2 , MN如圖 4 中,作 CGJ± BD于 G,則 CG =GE = DG = J2,圖4當(dāng) D、E、B 共線時(shí),在 RtA BCG 中,BG =居2 CG2 =忖宕=734, BE =BG +GE =扃 +72 ,. MN = - BE =17 +1 .2綜上所述,MN= J17 - 1或J17+1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾 股
17、定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問 題,屬于中考?jí)狠S題.4 .在RABC中,AB=BC=5, / B=90°,將一塊等腰直角三角板白直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)。處,將三角板繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交 AB, BC或其延長(zhǎng)線于E, F兩 點(diǎn),如圖與是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況.(1)三角板繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn),OFC是否能成為等腰直角三角形?若能,指出所有情況(即給出OFC是等腰直角三角形時(shí) BF的長(zhǎng));若不能,請(qǐng)說明理由;(2)三角板繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn),線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系?用圖 或 加以證明;(3)若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的
18、點(diǎn)P處(如圖),當(dāng)AP:AC=1:4時(shí),PE和PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.圖圖圖【答案】(1) OFC是能成為等腰直角三角形,(2) OE=OF (3) PE: PF=1: 3. 【解析】【小題1】由題意可知, 當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí),由AB=BC=5,可以推出CF和OF的長(zhǎng)度,即可推出BF的長(zhǎng)度,當(dāng)B與F重合時(shí),根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì),即可推出OF的長(zhǎng)度,即可推出 BF的長(zhǎng)度;【小題2】連接OB,由已知條件推出 OEgAOFC,即可推出OE=OF【小題3】過點(diǎn)P做PMAB, PNI± BC,結(jié)合圖形推出 PNU PME, AAPMA PNC, 繼而推出PM: PN=PE
19、PF, PM: PN=AP: PC,根據(jù)已知條彳即可推出 PA: AC=PE PF=1: 4.5 .在 RtACB 和 AAEF 中,/ ACB= / AEF= 90°,若點(diǎn) P 是 BF 的中點(diǎn),連接 PC, PE.特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB, AC上,則結(jié)論:PC= PE成立(不要求證明).問題探究:把圖1中的4AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上,則上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若 不成立,請(qǐng)說明理由;(2)如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上,則上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成 立,請(qǐng)說明理由;AC (3)記=k,當(dāng)k
20、為何值時(shí),CPE總是等邊三角形?(請(qǐng)直接寫出后的值,不必說)BC【答案】(1 ) PC = PE成立(2), PC = PE成立(3)當(dāng)k為Y3時(shí),|_CPE總是等邊三角形【解析】【分析】(1)過點(diǎn) P 作 PMLCE 于點(diǎn) M,由 EF± AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,從而有EM FP=,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn),可得 EM=MC,據(jù)此得到PC=PEMC PB(2)過點(diǎn)F作FD)±AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD,先證 DAF0 EAF,即可得出 AD=AE;再證 DAP EAP,即可得出 PD=PE最后根據(jù)FD± AC,
21、 BC± AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根據(jù)點(diǎn) P是 BF 的中點(diǎn),推得 PC=PR再根據(jù)PD=PE即可得到結(jié)論.可得/ CEP=60, /CAB=60;由/ ACB=90 ,求出(3)因?yàn)?CPE總是等邊三角形,AC/ CBA=30 ;最后根據(jù) 一 =k ,BCAC =tan30 求出當(dāng)4CPE總是等邊三角形時(shí),k的值是BC多少即可.【詳解】解:(1) PC=PE成立,理由如下:如圖 2,過點(diǎn) P 作 PMLCE 于點(diǎn) M, EFL AE, BC± AC,,EF/ MP/ CB,EM=MC,又 PMXCEL, . PC=PE(2) PC=PE立,理由如下
22、:如圖3,過點(diǎn)F作FD, AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD, < / DAF=Z EAF,/ FDA=Z FEA=90 ,在 DAF 和 EAF中,/ DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAF EAF (AAS ,.AD=AE,在 ADAP和 AEAP 中, . AD=AE, / DAP=/ EAP, AP=AP, .DAP EAP (SAS , .PD=Pg . FD± AC, BC± AC, PM LAC, .FD/ BC/ PM,DM FPMC PB ' 點(diǎn)P是BF的中點(diǎn),.DM=MC,又 PMXAC,PC=P
23、D,又PD=PE.PC=PE圖3(3)如圖4,CPE總是等邊三角形,CEP=60,/ CAB=60 , / ACB=90 ,/ CBA=90 - / ACB=90 - 60 =30°,ACBC=k ,ACBC=tan30k=tan30當(dāng)k為Y3時(shí),CPE總是等邊三角形.3圖4【點(diǎn)睛】考點(diǎn):1.幾何變換綜合題;2.探究型;3.壓軸題;4.三角形綜合題;5.全等三角形的 判定與性質(zhì);6.平行線分線段成比例.6 .如圖1, " ABCD和"AEFG是兩個(gè)能完全重合的平行四邊形,現(xiàn)從AB與AE重合時(shí)開始,將I I ABCD固定不動(dòng),II AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為
24、a (00< a< 360。),AB=a,BC=2a;并發(fā)現(xiàn):如圖2,當(dāng)"AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在AD上時(shí),F(xiàn)E的延長(zhǎng)線恰好通過 點(diǎn)C.探究一:(1)在圖2的情形下,求旋轉(zhuǎn)角 a的度數(shù);探究二:(2)如圖3,當(dāng)II AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC上時(shí),EF與AD相交于點(diǎn) M,連接CM, DF, 請(qǐng)你判斷四邊形CDFM的形狀,并給予證明; 探究三:(3)如圖1,連接CF, BF,在旋轉(zhuǎn)過程中4BCF的面積是否存在最大的情形,如果存在,求出最大面積,如果不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1) “=120° (2)四邊形CDFM是菱形,證明見解析;(3)存在4BCF的面積最大的
25、情形,S>A BCF =3.3 22 a.【解析】試題分析:(1)由平行四邊形的性質(zhì)知/D=/B, AB=CD=a,可彳導(dǎo)/ D=/DEC,由等角等邊知 CD=CE 由 AE=AB=a, AD=BC=2a, 可得DE=CE即可證得4CDE是等邊三角形,/ D=60 ,由兩直線平行,同位角相等可得 ZDAB=120 ,即可求得 a;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及/ B=60。,可得 ABE是等邊三角形,由平行線的判定以及兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABEM是平行四邊形,再由由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證;(3)當(dāng)點(diǎn)F至ij BC的距離最大時(shí),4BCF的面積最大,由于點(diǎn)
26、F始終在以A為圓心AF為半 徑的圓上運(yùn)動(dòng),故當(dāng) FG與。A相切時(shí),點(diǎn)F到BC的距離最大,過點(diǎn) A作AHLBC于點(diǎn) H,連接 AF,由題意知/ AFG=90°.由 / ABH=/G=60°, AB=a, AG=2a,可得 AH、AF 的值.可 求得點(diǎn)F到BC的最大距離.進(jìn)而求得Sxbcf的值.試題解析:(1)二.四邊形 ABCD是平行四邊形, ./ D=Z B, AB=CD=a / AEF=Z B, / AEF=Z DEG ./ D=Z DEQ.CD=CE . AE=AB=a, AD=BC=2q .DE=CE, .CD=CE=DE.CDE是等邊三角形,/ D=60 ,1. C
27、D/ AB,. D+ZDAB=180 , ./ DAB=120 ,.a =120;.(2)四邊形CDFM是菱形.證明:由旋轉(zhuǎn)可得 AB=AE, / B=60 ,.ABE是等邊三角形,Z BAE=60;Z BAG=Z BAE+Z GAE=60+120 =180 , 點(diǎn)G, A, B在同一條直線上, .ME / AB, BE/ AM ,,四邊形ABEM是平行四邊形,.AM=AB=ME,.CD=DM=MF, . CD / AB/ MF,二四邊形CDFM是平行四邊形, / D= 60 , CD=DM, .CDM是等邊三角形,.CD=DM,四邊形CDFM是菱形;(3)存在4BCF的面積最大的情形.,CB
28、的長(zhǎng)度不變,當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離最大時(shí),4BCF的面積最大點(diǎn)F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)FG與。A相切時(shí),點(diǎn)F到BC的距離最大, 如圖,過點(diǎn) A作AHLBC于點(diǎn)H,連接AF,則/ AFG=90./ ABH=Z G=60 , AB=a, AG=2a,AH=AK sin60二a,2AF=AGX sin60= V3 a.點(diǎn)F到BC的最大距離為Sabcf= X 2a23Ja="a2.點(diǎn)睛:此題考查了旋轉(zhuǎn)的洗澡那個(gè)會(huì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì), 角形的面積的求法,關(guān)鍵是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后,圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)解題7.如圖,4ABC是等邊三角形,AB=6cm,
29、 D為邊AB中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn) P、Q在邊AB上同時(shí)從 點(diǎn)D出發(fā),點(diǎn)P沿 AA以1cm/s的速度向終點(diǎn) A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿 AB-D以2cm/s的速度 運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形 PQN.將4PQN繞QN的中點(diǎn)旋 轉(zhuǎn)180。得到4MNQ.設(shè)四邊形PQMN與4ABC重疊部分圖形的面積為 S (cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1)(3)(4)當(dāng)占.=1 八、當(dāng)占.=1 八、當(dāng)占.=1 八、t (s) ( 0<t<3).N落在邊BC上時(shí),求t的值.N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),求t的值.Q沿 AB運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式.設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是
30、E、F,直接寫出四邊形 PEMF4 (4)t=1或【解析】試題分析:(1)由題意知:當(dāng)點(diǎn) N落在邊BC上時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)(3) 邊形當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),點(diǎn) N在邊AB的中線上, 3當(dāng)0Wt如寸,四邊形 PQMN與 ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN與 ABC重疊部分圖形為五邊形 PQFEN312B重合,此時(shí)DQ=3;此時(shí) PD=DQPQMN;當(dāng)"wt乳寸,四與四邊形PQMN的面積比為2: 3時(shí)t的值.9/2 (2) 2 (3) S=S菱形 pqmn=2Szpnq= ' t?;(4)MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí),此時(shí)vtv',列出四邊形 PEMF與四邊形PQMN的
31、面積表達(dá)式后,即可求出t的值.試題解析:(1) . PQN與4ABC都是等邊三角形, ,當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合.DQ=3.-2t=3 .:t=,;(2) 當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),點(diǎn) N在邊AB的中線上, PD=DQ,3當(dāng)ovtv?時(shí),此時(shí),PD=t, DQ=2t,.t=2t1 t=0 (不合題意,舍去), 3當(dāng)訝wy 3時(shí),此時(shí),PD=t, DQ=6 - 2t2 .t=6 - 2t,解得t=2;綜上所述,當(dāng)點(diǎn) N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),t=2;(3)由題意知:此時(shí), PD=t, DQ=2t當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí),.MN=BQPQ=MN=3t, BQ=3- 2t.-3t=3 -2
32、t3解得t=53如圖,當(dāng)Owt%寸,對(duì)型Slpncf I PQ2= I t2; 92 _22 S=S菱用 pqmn=2Szpnq=t ,3 3如圖,當(dāng)5at如,設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是 E、F,MN=PQ=3t, NE=BQ=3- 2t, .ME=MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,. EMF是等邊三角形,4 2 49Saemf= ME =(5t- 3)-X_(5t-3)2(4) MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是 E、F,312此時(shí)5 v tv ,15t=1 或'7 .四一考點(diǎn):幾何變換綜合題8.如圖1,是邊長(zhǎng)分別為 6和4的兩個(gè)等邊三角形紙片 ABC和CDE1疊放在一起.
33、(1)操作:固定 ABC,將CD1E1繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 CDE,連接AD、BE,如圖2.探究:在圖2中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?并請(qǐng)說明理由;(2)操作:固定 ABC,若將CD1Ei繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30°得到CDE,連接AD、BE, CE 的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,在線段CF上沿著CF方向平移,(點(diǎn) F與點(diǎn)P重合即停止平移)平 移后的4CDE設(shè)為4PQR如圖3.探究:在圖3中,除三角形 ABC和CDE外,還有哪個(gè)三角形是等腰三角形?寫出你的結(jié)論 (不必說明理由);(3)探究:如圖3,在(2)的條件下,設(shè) CQ=x,用x代數(shù)式表示出 GH的長(zhǎng).V【答案】(1) BE=CD
34、理由見解析;(2) 4CHQ是等腰三角形;(3) #- 2 x.【解析】試題分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 AB=BC,CD=CE / ACB=Z ECD=60 ,然后求 出/ ACD=Z BCE,再利用 邊角邊”證明ACD和4BCE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證 明即可;(2)求出/ ACF=30,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/CHQ=30,從而得到/ ACF=Z CHQ,判斷出ACHQ是等腰三角形;(3)求出/ CGP=90,然后利用/ ACF的余弦表示出CG,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH,然后根據(jù)GH=CG-CHll理即可得解.試題解析:(1) BE
35、=CD理由如下:ABC與4CDE是等邊三角形, .AC=BC, CE=CQ / ACB=/ ECD=60 . / ACB-Z ACE之 ECD-/ ACE,即/ BCE之 ACD.在 ACD和ABCE中,AB = BCjCDjRCEI CDCE . .AC* BCEE (SAS ,BE=AD;(2)二.旋轉(zhuǎn)角為30°, ./ BCF=30, ./ ACF=60 -30 =30°,/ CHQ=Z RQP-Z ACF=60 -30 =30°,/ ACF=Z CHQ, . CHQ是等腰三角形;(3) / CGP=180-/ACF-/ RPQ=180-30 -60 =90
36、°, .CG=CP?cos30=2 (x+4),CHQ是等腰三角形,V,CH=2?CQcos3 0=2x?= x .GH=CG-CH=2 (x+4) -V3x=2V7- 2 x.考點(diǎn):幾何變換綜合題.9.已知:一次函數(shù)F =:工+4的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為 A、B,以B為旋轉(zhuǎn)中 心,將4BOA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得 BCD (其中O與C A與D是對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)).(1)求AB的長(zhǎng);(2)當(dāng)/ BAD=45時(shí),求D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),求直線BD的關(guān)系式.7y 二一加+ 4【答案】(1)5; ( 2) D (4, 7)或(-4, 1) ; ( 3)24【解析】試題分析:(1)
37、先分別求得一次函數(shù) 1二-±1+4的圖象與X軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再根"3據(jù)勾股定理求解即可;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合 BOA的特征求解即可;(3)先根據(jù)點(diǎn)C在線段AB上判斷出點(diǎn)D的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法列方程組求解即可4(1)在j,二一;x + 4時(shí),當(dāng)工二。時(shí),)=,當(dāng)丁 = 0時(shí),工=3出?=5 ;(2)由題意得 D (4, 7)或(-4, 1);17(2)由題意得D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,一)6設(shè)直線BD的關(guān)系式為( =17 圖象過點(diǎn) B (0, 4) , D (4,)6b 4 k 7k =- 'J 廣,解得24I 6 1I7 直線BD的關(guān)系式為 上 .考點(diǎn):動(dòng)點(diǎn)的綜合
38、題點(diǎn)評(píng):此類問題綜合性強(qiáng),難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.10.在4AOB中,C, D分別是 OA, OB邊上的點(diǎn),將 OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OC' D'(1)如圖1,若/ AOB=90, OA=OB, C, D分別為 OA, OB的中點(diǎn),證明: AC =BD;ACBD'(2)如圖2,若4AOB為任意三角形且/ AOB=) , CD/ AB, AC與BD交于點(diǎn)E,猜想 /AEB=)是否成立?請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析;(2)成立,理由見解析【解析】試題分析:(1) 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 OC=O'C, OD=OD, / AOC
39、±BOD,證出OC =OD由SAS證明AOCA BOD,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;由全等三角形的性質(zhì)得出/OAC JOBD,又由對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出/BEA=90,即可得出結(jié)論;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 OC=O'C, OD=OD, /AOC 士 BOD,由平行線得出比例式OC ODOC 0A=,得出 二一,證明AOCsBOD,得出/ OAC 士 OBD再由對(duì)頂角相 OA OB0D 0B等和三角形內(nèi)角和定理即可得出/AEB=9 .試題解析:(1)證明:.一 OCD旋轉(zhuǎn)到OC D' .OC=O'C, OD=OD, / AOC ± BOD, . OA
40、=OB, C、D 為 OA、OB 的中點(diǎn), .OC=OD,.OC =OD| OA 二 OB'乙40cl.上B9DI nr' = nr)r在 AOC和 BOD 中,", .AOCQBOD (SAS , .AC =BD延長(zhǎng)AC'交BD'于E,交BO于F,如圖1所示: AOCA BOD , / OAC ± OBD,又/ AFO=Z BFE, / OAC 廿 AFO=90 , / OBD 匕 BFE=90 ,/ BEA=90 , .ACBD ;(2)解:/ AEB7成立,理由如下:如圖 2所示:. OCD旋轉(zhuǎn)至ij AOC D' .OC=O&
41、#39;C, OD=OD, / AOC ± BOD,I. CD/ AB,OC _0DOA OB '.OC OD''=" ?OA OBOC OA 二一, OD' OB又/ AOC ± BOD,AOCA BOD, / OAC ± OBD, 又/ AFO=Z BFE,/ AEB=Z AOB書.B考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).II. (1)發(fā)現(xiàn)如圖,點(diǎn) A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且 BC=a, AB=b.填空:當(dāng)點(diǎn) A位于 時(shí),線段 AC的長(zhǎng)取得最大值,且最大值為 (用含a , b的式子表示),1(
42、2)應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且 BC=3, AB =1.如圖所示,分別以 AB , AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形 ACE ,連接CD , BE .找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值.(3)拓展如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5, 0),點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn),且PA = 2, PM =PB, /BPM =90)求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí) 點(diǎn)p的坐標(biāo).【答案】(1) CB的延長(zhǎng)線上,a+b; (2)DC=BE,理由見解析;BE的最大值是4;(3) AM的最大值是3+2 J2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-J2, J2)【解析】【
43、分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí),線段 AC的長(zhǎng)取得最大值,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 AD=AB, AC=AE,/ BAD=Z CAE=60 ,推出 CADZ EAE5,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE由于線段BE長(zhǎng)的最大值二線段CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;(3)連接BM,將4APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至IJ4PBN,連接AN,得到4APN是等 腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2, BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí),線段BN取得最大值,即可得到最大值為2 J2+3;如圖2,過P作PE±x軸于E,
44、根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:(1)二.點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且 BC=a, AB=b,當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí),線段 AC的長(zhǎng)取得最大值,且最大值為BC+AB=a+h故答案為CB的延長(zhǎng)線上,a+b;(2)CD=BE,理由:, ABD與4ACE是等邊三角形,.AD=AB, AC=Ag / BAD=/ CAE=60,.Z BAD+Z BAC=Z CAE+Z BAC,即 / CAD=Z EAB,在ACAD與 EAB中,AD=ABNCAD=2EAB , AC=AE . CAD。 EAB,,CD=BE二線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值,由(1)知,當(dāng)線段 CD的長(zhǎng)取得最大值
45、時(shí),點(diǎn) D在CB的延長(zhǎng)線上,最大值為 BD+BC=AB+BC=4(3)二將APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至lJPBN,連接AN,則 APN是等腰直角三角形,.V圖1,PN=PA=2, BN=AM,.A的坐標(biāo)為(2, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5, 0),.OA=2, OB=5,.AB=3, 線段AM長(zhǎng)的最大值二線段BN長(zhǎng)的最大值, 當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí),線段 BN取得最大值,最大值=AB+AN, AN= 22 AP=2、,2 ,,最大值為2、,2+3;如圖2,過P作P已x軸于E,、MoTa B 5I圖2 APN是等腰直角三角形, PE=AE= 2 , .OE=BO-AB-AE=5-3-、2 =
46、2- 2, P(2-,2,、2).【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),最大值問題,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.12.正方形ABCD和正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為2和2J2,點(diǎn)B在邊AG上,點(diǎn)D在線段EA的延長(zhǎng)線上,連接 BE.(1)如圖1,求證:DG, BE;(2)如圖2,將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段 DG上時(shí),求線段BE的長(zhǎng).El圖2【答案】(1)答案見解析;(2)J2+J6.【解析】【分析】(1)由題意可證 AD® ABEE,可彳導(dǎo)/ AGD= / AEB,由/ ADG+Z AGD= 90°
47、,可得ZADG+Z AEB= 90°,即 DG± BE;(2)過點(diǎn)A作AMLBD,垂足為M,根據(jù)勾股定理可求 MG的長(zhǎng)度,即可求 DG的長(zhǎng)度, 由題意可證 DA® BAE可得BE= DG.【詳解】(1)如圖,延長(zhǎng)EB交GD于HG F卻 四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形 .AD=AB, AG=AE, / DAG= / BAE= 90° . ADG ABE (SAS ./ AGD= / AEB . / ADG+/AGD= 90° ./ ADG+/AEB= 90° DGXBE(2)如圖,過點(diǎn)A作AMBD,垂足為M圖2 正方形ABCD和
48、正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為2和2后,AM = DM =拒,/ DAB= / GAE= 90°MG = AAG2 _ MA2 = 6,/ DAG= / BAE .DG=DM+MG= 72 + 而,由旋轉(zhuǎn)可得:AD= AB, AG= AE,且/ DAG= Z BAE.DA8 BAE (SAS,BE=DG=、2、6【點(diǎn)睛】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,熟練運(yùn)用這些 性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.13.如圖1,直線DE上有一點(diǎn) O,過點(diǎn)O在直線 DE上方作射線 OC, Z COE= 140°,將一 直角三角板AOB的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處,一條直角邊 O
49、A在射線OD上,另一邊OB在直 線DE上方,將直角三角板繞著點(diǎn) 。按每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為 t 秒.(1)當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置時(shí),OA恰好平分/ COD,求此時(shí)/ BOC的度數(shù);(2)若射線OC的位置保持不變,在旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某個(gè)時(shí)刻,使得射線OA、OC OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線?若存在,請(qǐng)求出t的取值,若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)若在三角板開始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí),射線OC也繞。點(diǎn)以每秒15°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,從旋轉(zhuǎn)開始多長(zhǎng)時(shí)間,射線 OC平分/ BOD.直接寫出t的值.(本題中白角均為大于 0。且 小于180
50、176;的角)【答案】(1) / BOC= 70° (2)存在,t=2, t=8 或 32; (3)1或 37 .22【解析】【分析】(1)由圖可知/ BOC= /AOB- /AOC, /AOC可利用角平分線及平角的定義求出 .(2)分OA平分/ COD, OC平分/ AOD, OD平分/ AOC三種情況分別進(jìn)行討論,建立關(guān) 于t的方程,解方程即可.(3)分別用含t的代數(shù)式表示出/ COD和/ BOD,再根據(jù)OC平分/ BOD建立方程解方程 即可,注意分情況討論.【詳解】(1)解:. / COE= 140°,/ COD= 180° - / COE= 40°,又 OA平分/ COD,/1 , ./ AOC= 一 /COD= 20 ,2. / AOB= 90°BOC- 90 - Z AOC= 70°;(2)存在 當(dāng) OA 平分/COD 時(shí),/ AOD= / AOQ 即 10°t = 20°,解得:t = 2;當(dāng) OC 平分
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