重點高中平面幾何常用定理總結

1、重點高中平面幾何常用定理總 結作者:日期:10（高中）平面幾何基礎知識（基本定理、基本性質）1. 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）（1）銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘 積的兩倍.（2）鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和， 加上這兩邊中的 一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍.2. 射影定理（歐幾里得定理）3. 中線定理（巴布斯定理）設4ABC的邊BC的中點為P,則有AB2 AC2 2(AP2 BP2)；中線長:ma222.2b 2c a4. 垂線定理： AB CD AC2 AD2 BC2 BD2 .局線長：ha2jp(p a)( p

2、b)( p c) bc sin A csin B bsinC .aa5. .角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例.如ABC, A葉分/ BAC則史ab；（外角平分線定理）. DC AC角平分線長：ta 2Jbcp（p a） -2bc- cos（其中p為周長一i半）. b cb c 26. 正弦定理：bJ 2R,（其中R為三角形外接圓半徑）.sin A sin B sin C7. 余弦定理：c2a2b2 2abcosC .8. 張角定理，s>BACsin BAD sinDAC, ADACAB .9. 斯特瓦爾特（Stewart）定理：設已知 ABO

3、其底邊上 B C兩點間的一點 D,則有 AB DGAC BD- aD BC= BC- DC BD10. 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半.（圓外角如何轉化？）11. 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角.12. 圓哥定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）13. 布拉美古塔（Brahmagupta定理：在圓內接四邊形 ABC沖，Ad BQ 自對角線的交點P向一邊作垂線，具延長線必平分對邊.14. 點到圓的哥：設P為。所在平面上任意一點，PGd,。的半徑為r, 則d2 r2就是點P對于。的哥.過P任作一直線與。O交于點A B,則 PAPB= | d

4、2r2 . “到兩圓等哥的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一 條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結 論.這條直線稱為兩圓的“根軸”.三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則 它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”.三個圓的根心對于三個圓等 哥.當三個圓兩兩相交時，三條公共弦（就是兩兩的根軸）所在直線交于一 八、15. 托勒密（Ptolemy）定理：圓內接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積 之和，即 AC- BD=AB- CDADBG （逆命題成立）.（廣義托勒密定理） AB- CD-AtD- BO AC- BD16. 蝴蝶定理：AB是。的弦，M是其中點，弦CD EF經過點M

5、 CE DE 交AB于P、Q求證：MPQM17. 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距 離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離.定理2三角形每一內角都小于1200時，在三角形內必存在一點，它對三條邊所張的角都是120° ,該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內角不小于120 時，此角的頂點即為費馬點.18. 拿破侖三角形：在任意 ABC勺外側，分別作等邊 ABDzBCEzCAF 則AE AB CD三線共點，并且AE= BF= CD這個命題稱為拿破侖定理.以 ABC勺三條邊分別向外作

6、等邊 ABDzBCEzCAF它們的外接圓。G、 OA、OB的圓心構成的外拿破侖的三角形，O C、OA、OB 三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形； ABC的三條邊分別向4 ABC的內側作等邊 ABD ABCE CAF它們的外接圓。G、OA、。 B2的圓心構成的內拿破侖三角形，O G、OA、OB2三圓共點，內 拿破侖三角形也是一個等邊三角形.這兩個拿破侖三角形還具有相同的中 心.19. 九點圓(Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓)：三角形中，三邊 中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質，例如：(1)三

7、角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半 ；(2)九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；(3)三角形的九點圓與三角形的內切圓，三個旁切圓均相切費爾巴哈 定理.20. 歐拉(Euler)線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上.21. 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為 R,內切圓半徑為r, 外心與內心的距離為d,則d2=R 2Rr.22. . 銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的 和.23. 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2: 1的兩部分； G（xA xB xC yA yB yC）3,3重心性

8、質：（1）設G為ABC勺重心，連結AG延長交BC于D,則D為BC的中點，則AG :GD 2:1 ；設G為ABC勺重心S則SABG SBCG SacgABC ；（3）設G為ABC勺重心，過G作DE/ BC交AB于D,交AC于E,過G作PF/ AC交AB于P,交BC于F,過G作HK/ AB交AC于K,交BC于H,則匹FP組2；de空型2； BC CA AB 3 BC CA AB（4）設G為ABC勺重心，則 BC2 3GA2 CA2 3GB2 AB2 3GC2; GA2 GB2 GC2 -(AB2 BC2 CA2)； 3 PA2 PB2 PC2 GA2 GB2 GC2 3PG2 (P為 ABCft任

9、意一點)；到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA2 GB2 GC2最??；三角形內到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上 述條件之一，則G為ABC勺重心）.三角形的三條高線的交點ax xa H (cos AaX B -cos Bcos Cbccos A cos B cos CabcXc Na y b -Nc cos Acos B cos C), a b ccos A cos B cos C垂心性質：(1)三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍; 垂心H關于 ABC勺三邊的對稱點，均在 ABC勺外接圓上;(3) ABC勺垂心為H,則AABC zABH ABCH

10、ACH勺外接圓是等圓;(4 )設 O , H分別為zABC的外心和垂心，BAOHAC, CBO ABH, BCO HCA .25. 內心：三角形的三條角分線的交點一內接圓圓心，即內心到三角形各邊距離相等;I( axA bxBcxc ayA byBcyc)a b c a b c內心性質:(1)為ABC勺內心，則I到AABCE邊的距離相等,之亦然;ABC 的 內 心BIC 90AIC190 B, AIB2901 C ；2，(3)三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若 A平分線交 ABC#接圓于點K, I為線段AK±的點且滿足KI=KB,則I為4AB

11、C勺內心;(4)設I為AABC勺內心，bca, AC b, AB c,A平分線交BC于D,交AABCM接圓于點K,則義竺KU； ID KI KD a(5)設I為ABC勺內心，BC a,AC b,AB c, I在BCACAB上的射影分 別為D,E,F ,內切圓半徑為r ,令p 1(a b c),則S abc pr ； AE AF p a; BD BF p b;CE CD pc； abcr p AI BI CI .26. 外心：三角形的三條中垂線的交點一一外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；sin 2AxA sin 2BxB sin2CxC sin2AyA sin 2ByB sin 2CyC

12、 °(sin 2A sin2B sin 2c,sin 2A sin2B sin 2c) 外心性質：(1)外心到三角形各頂點距離相等；(2)設 O為ABC勺外心，則 BOC 2 A 或 BOC 360 2 A；(3) r些J ； (4)銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其4s內切圓與外接圓半徑之和.27. 旁心：外內角平分線與兩外角平分線交點一一旁切圓圓心；設 ABC勺三邊BC a, AC b,AB c,令p 1(a b c),分別與BC,AC, AB外側相切的旁切圓2圓心記為Ia,Ib,Ic,其半徑分別記為aJbJc.旁心性質：(1) BIaC 90 1 A, BIbCBIcC :

13、 A,(對于頂角B, C也有類似的式子)；1 . I aIbIc -( A C)；(3)設AIa的連線交 ABC的外接圓于Q則DIa DB DC (對于BIb,CIc有同樣的結論)；(4) AABCg zI aIbIc的垂足三角形，且 aIbIc的外接圓半徑R'等于AABC的直徑為2R28. 三11abc oc2/ c2S abc aha absinC2R sin Asin BsinC a b c224R4(cot A cot B cotC)prp(pa)(pb)(pc),其中ha表水BC邊上的局，R為外接圓半徑，r為內切圓半徑，p * b c) -29.三角形中內切圓，旁切圓和外接圓

14、半徑的相互關系:4RsinsinBsinC;ra222 a4RsinAcosBcosCrr"b_C ,rb_a_Ctan 一 tan - tan tan 2222A . BCAB . C,rb 4Rcossin cos , rc 4Rcoscos sin ;2222221111- c;,A . B ra" r。rtan tan a b 2230.梅涅勞斯(Menelaus定理：設 ABC勺三邊BC CA AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有BPQARR 1-(逆定理也成立)31 . 梅涅勞斯定理的應用定理1:設ABC勺/ A的外角平分線交邊

15、CA于Q/C的平分線交邊AB于R /B的平分線交邊CA于Q則P、QR三點共線.32. 梅涅勞斯定理的應用定理2:過任意 ABC勺三個頂點A BC作它的外接圓的切線，分別和BC CA AB的延長線交于點P、Q R,則 P、Q R三點共線.33. 塞瓦(Ceva定理：設X、Y、Z分別為ABC勺邊BCCA AB上的一點,則AX BY CZ所在直線交于一點的充要條件是AZ BXCY咨運.YA=1,34. 塞瓦定理的應用定理：設平行于 ABC勺邊BC的直線與兩邊AB AC的交點分別是D E,又設BE和C或于S,則AS一定過邊BC的中點M35. 塞瓦定理的逆定理：（略）36. . 塞瓦定理的逆定理的應用定

16、理1:三角形的三條中線交于一點，三角形 的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點.37. 塞瓦定理的逆定理的應用定理 2:設 ABC的內切圓和邊 BG CA AB 分別相切于點R、S、T,則AR BS CT交于一點.38. 西摩松（Simson）定理：從乙ABC的外接圓上任意一點 P向三邊BC CA AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是 D E、R,則H E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line ）.39. 西摩松定理的逆定理：（略）40. 關于西摩松線的定理1: ABC的外接圓的兩個端點 P、Q關于該三角 形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上.41. 關于西摩松線的定理

17、2 （安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任 三點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線 交于一點.42. . 史坦納定理：設 ABC勺垂心為H其外接圓的任意點P,這時關于 ABC 的點P的西摩松線通過線段PH的中心.43. 史坦納定理的應用定理： ABC勺外接圓上的一點P的關于邊BC CA AB的對稱點和 ABC勺垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上.這 條直線被叫做點P關于 ABC勺鏡象線.44. 牛頓定理1:四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線.這條直線叫做這個四邊形的牛頓線.45. 牛頓定理2:圓外切四邊形的兩條對角線的中點

18、，及該圓的圓心，三點 共線.46. 笛沙格定理1:平面上有兩個三角形 ABC ADEF設它們的對應頂點 （A和D B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相 交，則這三個交點共線.47. 笛沙格定理2:相異平面上有兩個三角形 ABC ADEF設它們的對應 頂點（A和D B和E C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長 線相交，則這三個交點共線.48. 波朗杰、騰下定理：設 ABC勺外接圓上的三點為P、Q R,則P、Q R關于4AB該于一點的充要條件是：弧 AP+弧BQ+弧CF=0（mod2 ）.49. 波朗杰、騰下定理推論1:設P、Q R為ABC勺外接圓上的三點，若 P、

19、Q R關于 ABC勺西摩松線交于一點，則 A B C三點關于PQR勺的 西摩松線交于與前相同的一點.50. 波朗杰、騰下定理推論2:在才|論1中，三條西摩松線的交點是 A B、 C、P、Q R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的 垂心的連線段的中點.51. . 波朗杰、騰下定理推論3:考查ABC勺外接圓上的一點P的關于 ABC 的西摩松線，如設Q時垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點 P、Q R的關于 ABC勺西摩松線交于一點.52. 波朗杰、騰下定理推論 4:從 ABC的頂點向邊BC CA AB引垂線，設垂足分別是D E、F,且設邊BC CA AB的中點分別是L、M N,

20、則D E、F、L、M N六點在同一個圓上，這時L、M N點關于關于 ABC勺西摩 松線交于一點.53. 卡諾定理：通過 ABC勺外接圓的一點P,引與 ABC勺三邊BC CA AB分別成同向的等角的直線 PD PE PF,與三邊的交點分別是 D E、F, 則D E、F三點共線.54. 奧倍爾定理：通過 ABC勺三個頂點引互相平行的三條直線， 設它們與 ABC勺外接圓的交點分別是L、M N,在 ABC勺外接圓上取一點P,則 PL、PM PN與 ABC勺三邊BC CA AB或其延長線的交點分別是 D E、F, 則D E、F三點共線.55. 清宮定理：設P、Q為4ABC勺外接圓的異于A、B C的兩點，

21、P點的 關于三邊BC CA AB的對稱點分別是 J V、W這時，QU QV QW口邊 BC CA AB或其延長線的交點分別是 D E、F,則Q E、F三點共線.56. 他拿定理：設P、Q為關于 ABC勺外接圓的一對反點，點 P的關于三 邊BC CA AB的對稱點分別是 U V W這時，如果QU QV QW口邊BC CA AB或其延長線的交點分別是 D E、F,則D E、F三點共線.（反點： P、Q分別為圓O的半徑O5口其延長線的兩點，如果O（2=OQ< OP則稱P、Q 兩點關于圓?；榉袋c）57. 朗古來定理：在同一圓周上有 A、B、C、D四點，以其中任三點作三 角形，在圓周取一點 P,

22、彳P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從 P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上.58. 從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線， 這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心.59. 一個圓周上有n個點，從其中任意n1個點的重心，向該圓周的在其 余一點處的切線所引的垂線都交于一點.60. 康托爾定理1: 一個圓周上有n個點，從其中任意n 2個點的重心向 余下兩點的連線所引的垂線共點.61. . 康托爾定理2: 一個圓周上有 A B、C D四點及M N兩點，則M和N 點關于四個三角形 BCD zCDA A DAB ABC的每一個的兩條西摩松 線的交點在同一直線上.這條直線叫做 M N兩點關于四邊形ABCD勺康托 爾線.62. 康托爾定理3: 一個圓周上有 A B、C D四點及M M L三點，則M N兩點的關于四邊形ABCD勺康托爾線、L、N兩點的關于四邊形ABCD勺康 托爾線、M L兩點的關于四邊形ABCD）康托爾線交于一點.這個點叫做M M L三點關于四邊形ABCD）康托爾點.63. 康托爾定理4: 一個圓周上有 A B、C D E五點及M Z L三點，則 M Z L三點關于四邊形B