初三數(shù)學(xué).正多邊形和圓與圓中的計(jì)算.教師版

1、正多邊形和圓與圓中的計(jì)算中考內(nèi)容中考要求ABC圓的有關(guān)概念理解圓及其有關(guān)概 念會(huì)過(guò)小在同一直線(xiàn) 上的三點(diǎn)作圓；能利 用圓的有關(guān)概念解 決簡(jiǎn)單問(wèn)題圓的性質(zhì)知道圓的對(duì)稱(chēng)性，了 解弧、弦、圓心角的 關(guān)系能用弧、弦、圓心角 的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn) 題能運(yùn)用圓的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題圓周角了解圓周角與圓心 角的關(guān)系；知道直徑 所對(duì)的圓周角是直 角會(huì)求圓周角的度數(shù)， 能用圓周角的知識(shí) 解決與角有關(guān)的簡(jiǎn) 單問(wèn)題能綜合運(yùn)用幾何知 識(shí)解決與圓周角有 關(guān)的問(wèn)題垂徑定理會(huì)在相應(yīng)的圖形中 確定垂徑定理的條 件和結(jié)論能用垂徑定理解決 有關(guān)問(wèn)題點(diǎn)與圓的位置關(guān)系了解點(diǎn)與圓的位置 關(guān)系直線(xiàn)與圓的位置關(guān) 系了解直線(xiàn)與圓的位 置關(guān)系；了解切

2、線(xiàn)的 概念，理解切線(xiàn)與過(guò) 切點(diǎn)的半徑之間的 關(guān)系；會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn) 圓圓的切線(xiàn)；了解切 線(xiàn)長(zhǎng)的概念能判定直線(xiàn)和圓的 位置關(guān)系；會(huì)根據(jù)切 線(xiàn)長(zhǎng)的知識(shí)解決簡(jiǎn) 單的問(wèn)題；能利用直 線(xiàn)和圓的位置關(guān)系 解決簡(jiǎn)單問(wèn)題能解決與切線(xiàn)有關(guān) 的問(wèn)題圓與圓的位置關(guān)系了解圓與圓的位置 關(guān)系能利用圓與圓的位 置關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn) 題弧長(zhǎng)會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)能利用弧長(zhǎng)解決有 關(guān)問(wèn)題扇形會(huì)計(jì)算扇形面積能利用扇形面積解 決有關(guān)問(wèn)題圓錐的側(cè)面積和全 面積會(huì)求圓錐的側(cè)面積 和全面積能解決與圓錐有關(guān) 的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題圓是北京中考的必考內(nèi)容，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計(jì)算，每年的第20題都會(huì)考查，第1小題一般是切線(xiàn)的證明， 第2小題運(yùn)用圓與三角形相

3、似、解直角三角形等知識(shí)求線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題，有時(shí)也以閱讀理解、條件開(kāi)放、結(jié)論開(kāi)放探索題作為新的題型。要求同學(xué)們重點(diǎn)掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)，掌握求線(xiàn)段、角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化， 理解直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和判定方法， 會(huì)根據(jù)條件解決圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題。年份2010 年2011 年2012 年題號(hào)11, 2020, 258, 20, 25分值9分13分17分考占P八、垂徑定理的應(yīng)用； 切線(xiàn)判定、圓與解 直角三角形綜合圓的有美證明，計(jì) 算（圓周角定理、 切線(xiàn)、等腰二角形、 相似、解直角三角 形）；直線(xiàn)與圓的 位直大系圓的基本性質(zhì)，圓 的切線(xiàn)證明，圓同 相似和三角函數(shù)的

4、結(jié)合；直線(xiàn)與圓的 位直大系中考考點(diǎn)分析正多邊形和圓與圓中的計(jì)算圓中的計(jì)算1瓠長(zhǎng),I即四枳 1正多邊形和圓同怖側(cè)畫(huà)枳模塊一正多邊形和圓知識(shí)導(dǎo)航示例剖析正偶數(shù)邊正多邊形有兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)軸；正 奇數(shù)邊正多邊形只有一類(lèi)對(duì)稱(chēng)軸.定義正多邊形的定義：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角 也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的相關(guān)概念： 正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的 圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心. 正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半 徑叫做正多邊形的半徑. 正多邊形的中心角： 正多邊形每一邊所 對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.(4)正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的 一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.正多邊形的性質(zhì)：正n

5、邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形；正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，正n邊形共有n條通過(guò)正n邊形中心的對(duì)稱(chēng)軸；偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形， 也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其中心就是對(duì)稱(chēng)中心.【例1】 小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m ,向右轉(zhuǎn)15 ,再前進(jìn)10m , 又向右轉(zhuǎn)15這樣一直走下去， 他第一次回到出發(fā) 點(diǎn)A時(shí)，一共走了 m . 如圖，O。的外切正六邊形 ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,則圖中陰影部分的面積為（A. 3 2C. 2 3 2)B. 3 2 3D. 2. 3 3（2012咸寧）E D 正八邊形的一個(gè)內(nèi)角等于 ,它的中心角等于 .（4）若正 ABC外接圓的半徑為 R,則AABC的面

6、積為 . 半徑為2cm的圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 cm ,面積為2cm（6）正六邊形的邊長(zhǎng)為a ,半徑為R ,邊心距r的比a: R: r .(西城區(qū)教研)3 3 2一R ; 4, 8; (6) 2:2:技4【解析】240;A;135 , 45 ;【例2】 如圖，有一個(gè)圓。和兩個(gè)正六邊形T1,丁2 . T的6個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，丁2的6條邊都和圓。相切（我們稱(chēng)T1 , T2分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形） 設(shè)T1 , T2的邊長(zhǎng)分別為a , b ,圓O的半徑為r ,求r :a及r ：b的值; 求正六邊形T1 , T2的面積比& : &的值.3【解析】r:a 1,r:b3；2

7、/明 c3 2c3,3 2 c3 ,2c 3 3.2Sa6a , Sb6 b4242由 a:b 遮：2, /. S1 :S2 a2 :b2 3 .4模塊二圓中的計(jì)算T知識(shí)導(dǎo)航定義設(shè)OO一的半徑為Rn圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l二示例剖析1.弧長(zhǎng)公式：ln R180R2.扇形面積公式:S扇形3.4.圓柱體表面積公式:圓錐體表面積公式:n ' tR 360_ _ 2S 2kRS tRlR22 jRhkRI （ l為母線(xiàn)）h常見(jiàn)組合圖形的周長(zhǎng)、面積的幾種常見(jiàn)方法： 公式法；割補(bǔ)法；拼湊法；等積變換法夯實(shí)基礎(chǔ)【例3】一圓弧的圓心角為300，它所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑為 6cm的圓周長(zhǎng)，該圓弧所在圓的半徑為（北

8、大附中單元練習(xí)） 半徑為9cm的圓中，長(zhǎng)為12 71cm的一條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為 .（北大附中月考）從紙上剪下一個(gè)圓和一個(gè)扇形的紙片（如圖）,圓的半徑為 2,扇形的圓心角等于120 .若用它們恰好圍成一個(gè)圓錐模型，則此扇形的半徑為（2012廣西河池）（4）圖中有五個(gè)半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲(chóng)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度從 A點(diǎn)到B點(diǎn)，甲蟲(chóng)沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB的路線(xiàn)爬行，乙蟲(chóng)沿 ACB路線(xiàn)爬行，則下列結(jié)論正確的是（A.甲先到B點(diǎn)C.甲、乙同時(shí)到B點(diǎn)B.乙先到B點(diǎn)D.無(wú)法確定（北大附中單元練習(xí)）【解析】36 cm；6;5兀 53【例4】【解析】【例5】一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為2

9、0 Kcm ,面積為240兀cm2,則該扇形的圓心角為 度.（北大附中單元練習(xí)）如圖，等邊 ABC的周長(zhǎng)為6國(guó)半彳5是1的。從與AB 相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在 ABC外部按順時(shí)針?lè)较蜓厝?形滾動(dòng)，又回到與 AB相切于點(diǎn) D的位置，則。O自轉(zhuǎn)了（ ）A.2周 B.3周C.4周 D.5周（2012北海） 如圖，在 RtABC 中，/ ACB=90°, / BAC=60°.把 ABC 繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°后得到 AB'C',若AB=4,則線(xiàn)段BC在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)部分（陰影部分）的面積是（）（2012遼寧錦州）A.兀B.兀C. 2兀D.

10、4兀33 150;圓在三邊運(yùn)動(dòng)自轉(zhuǎn)周數(shù)：6 3 ；2圓繞過(guò)三角形外角時(shí)，共自轉(zhuǎn)了三角形外角和的度數(shù)：360。，即一周;可見(jiàn)，OO自轉(zhuǎn)了 3+1=4周.故選C;C. 現(xiàn)有30%圓周的一個(gè)扇形紙片，該扇形的 半徑為40cm，小紅同學(xué)打算剪去部分扇形 紙片后，利用剩下的紙片制作成一個(gè)底面半 徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊） 那么剪去的扇形紙片的圓心角為 .（清華附中月考）用半徑為9,圓心角為120的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為 .（2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西） 如圖，RtA ABC 中，/ ACB = 90°, AC=BC = 2j2,若把RtAABC繞邊AB所

11、在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積 為（）A. 4兀B. 4亞兀 C. 8兀D. 8 J2兀（2011浙江寧波）（4）如圖，已知圓錐的底面圓半徑為 在圓錐的側(cè)面上，一只螞蟻從點(diǎn)1 ,母線(xiàn)長(zhǎng)OA為3, C為母線(xiàn)OB的中點(diǎn), A爬到點(diǎn)C的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為.A（北大附中月考）【解析】18 ;6"D; (4)運(yùn)2能力提升 尊二'【例6】如圖，半徑為1cm,圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）（2012貴州遵義）如圖，PA PB分別與。相切，切點(diǎn)分別為 若AC為。O的直徑，則圖中陰影部分的面積為（清華附中月考）OP60B(4)如

12、圖，半圓的半徑為 2cm，點(diǎn)C、D三等分半圓，則陰影部分的面積為如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 別交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為O D經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O ,與x軸、y軸分0, 2/3 , OC與。D相交于點(diǎn)COCA 30 ,則圖中陰影部分的面積為 （北大附中月考）如圖，在 RtABC 中，/ C=90°, AC=4, BC=2 ,分別以AC、BC為直徑畫(huà)半圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.（2012青海省）如圖,S陰影S AOB1cm ,故選C.21一兀；2- 2 一cm32 ； (4)2式2百（二中分校月考）OOCO 如圖，設(shè)各個(gè)部分的面積為:S1、S2、S3、S4、S5 ,兩個(gè)半圓的

13、面積和是BCA陰影部分的面積是圖中陰影部分的面積為兩個(gè)半圓的面積減去三角形的面積即陰影部分的面積為探索創(chuàng)新AO請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的BCO作OEAEA在RtAAEO中BACEOBCBOCBOCBOD24AAC是直徑OBCCDBBACCAB3AAC為。O的直徑ABCOBBODAF360AD ABC的面積是AC垂直平分BDA 30求圖中陰影部分的面積；若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面 半徑.OB 4AF AB sin 60BC CDS5【例7】如圖，已知在OO中，ABF / DF ，DF ，DF . D2nnOAOB2 BF2S 1eSi 影Sa3三：連結(jié)BC4 21 2 4 2 2 42BF

14、 FD ,AC BD ,OA OB ,OA AE- cos30S5,1AB 2AEOA1203602OF2 .即(2向)2 (6 OB)2 OB21642ABO2H sin60163,cos30AC BD , CODAB AD ,BAD 21 BF -AB2,AC是。的直徑，AC6.CAB AB 473, AC -ABcos30A 30° , AC BOD 120° . S 120 0A2一帝影 7777兀0A360BD設(shè)圓錐的底面圓的半徑為4、3 8邁2BOC 60 ° ,16=Tt -3則周長(zhǎng)為2行，1201803B ,且1:如圖，把。向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得O

15、O2 ,兩圓相交于A、 01A 02A ,則圖中陰影部分的面積是 . 如圖，直徑AB為6的半圓，繞 A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B ,則圖中陰影部分的面積是（）A. 6 兀 B.5 兀 C. 4 兀D.3 %【解析】8兀16;A. 第09講精講：陰影部分面積的求解方法總結(jié);【探究一】作差法；r,這個(gè)正方形將它的外接圓分割成四個(gè)弓形，其【變式1】如圖所示，正方形的內(nèi)切圓半徑為 中一個(gè)弓形的面積是 .2 a222 r22【解析】弓形的面積等于正方形外接圓面積與正方形面積差的四分之一，為【探究二】等積變換法；【變式2】如圖，ABCD為。O的內(nèi)接梯形，AB/ CD,且CD為直徑.如果。O的半徑

16、等于r,/ ACB=15° ,那么圖中陰影部分的面積等于2_, . _ r【解析】12【探究三】重疊法；【變式3】如圖所示，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為a,以每邊為直徑向形內(nèi)作半圓，求中間陰影部分 的面積.【解析】陰影部分的面積可以看成四個(gè)同樣的半圓重疊面積減去正方形的面積，為【探究四】割補(bǔ)法；【變式4】如圖所示，ABCD是面積為1的正方形，4PBC為正三角形，求 PBD的面積.OBC【解析】連接 AC交BD于點(diǎn)O,連接PO,則4PBD被分割為兩部分： PBO與 POD ,且,3 1S PBO S POD S POC , 所以S PBD S PBC S BOC .4【探究五】移位法；【變

17、式5】如圖所示，兩個(gè)半圓，大半圓的弦CD平行于直徑AB,且與小半圓相切.已知CD=24 試求大半圓中，挖去小半圓后剩余部分的面積.【解析】為了方便計(jì)算,【探究六】方程組法；【變式6】已知正方形我們講小半圓移動(dòng),ABCD的邊長(zhǎng)為1,使它與大半圓是同心圓，此時(shí)，有MD=12,則S=72兀分別以A、B、C、D四點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫(huà)弧,求所得四個(gè)扇形的公共部分的面積【解析】由對(duì)稱(chēng)性，用X、3y2z 42z2y解得x 1 ,3V、z分別表示曲邊形的面積，如圖所示，則有訓(xùn)練1.已知圓內(nèi)接正方形的面積為2,求該圓的外切正三角形的外接圓的外切正六邊形的面積.如圖，設(shè)AB是圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，CD是外切正三角

18、形的邊長(zhǎng),形的邊長(zhǎng)，連結(jié) OA、OB、OC、OE .AB是內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，內(nèi)接正方形面積為 AB 22, OA OB , AOB 90 ,OA OB 1 . CD是外切正三角形的邊長(zhǎng)， OA CD , AOC 60 ,OC 2OA 2 . EF是外切正六邊形的邊長(zhǎng)，OC EF , OEF 60 , OE EF 2CE ,2,EF是外切正六邊訓(xùn)練2.CEEF3c3432.3 S66Sa eof6 4433連接GDFD. D , F,G分別是BC, AC, AB的中點(diǎn)， DG / AC, DFII AB ,BGDFDGCFDA 36,B C72 ,DGFDFGBDGCDF72,BHDCED72,

19、BDHCDE36,HDGEDF36,HDEDEFEFGFGH GHD且 DE EFFGGHHD ,五邊形 DEFGH是正五邊形.【解析】如圖，等腰三角形ABC的頂角 A 36 .。和底邊BC相切于 BC的中點(diǎn)D，并與兩腰相交于 E , F , G , H四點(diǎn)，其中點(diǎn)G , F 分別是兩腰 AB, AC的中點(diǎn).求證：五邊形DEFGH是正五邊形.108 ,A訓(xùn)練3. 如圖，AABC是直角邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓。2過(guò)C點(diǎn)且與半圓。1相切,則圖中陰影部分的面積是 如圖，四邊形 ABCD是菱形.AB 10cm, ABC 60°,分別以ABCD的四條邊為直徑作

20、半圓，則圖中陰影部分的【解析】面積為a236； 50 71 50 J3CAABCO2訓(xùn)練4.請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖，一圓柱的底面半徑為 5,高AB為5, BC是底面直徑,求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)路線(xiàn)1:側(cè)面展開(kāi)圖中的線(xiàn)段C的最短路線(xiàn).小明設(shè)計(jì)了兩條路線(xiàn):AC .如下圖所示：圖設(shè)路線(xiàn)1的長(zhǎng)度為l1 ,則l12路線(xiàn)2:高線(xiàn)AB+底面直徑設(shè)路線(xiàn)2的長(zhǎng)度為l2 ,則l221212222 ，225 25225 l1l2AC2 AB2 BC2 52BC .如上圖所示:2AB BC225200 25(108)5 2 25 25 2225所以要選擇路線(xiàn)2較短.小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑,于是他把

21、條件改成:“圓柱的底面半徑為繼續(xù)按前面的路線(xiàn)進(jìn)行計(jì)算.請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算:路線(xiàn)1:路線(xiàn)2:- l12212222AC2AB2BC所以應(yīng)選擇路線(xiàn)l2 （填或） （填1或2）較短.請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為選擇上面的兩條路線(xiàn)才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到r ,高為h時(shí)，應(yīng)如何C點(diǎn)的路線(xiàn)較短.,2211 AC22 l1 l2AB2BC2522 25l22ABBC2249所以要選擇路線(xiàn)l12, l12一 22AC2 AB222l2 hl21較短.BC22h2(4)22rAB2BC2r4r 4h r4h.Mz 4h2, 24h2, 24h2, 2當(dāng) r1時(shí)，li12

22、;當(dāng) r1時(shí)，li12 ;當(dāng) r一時(shí)，liI2.444知識(shí)模塊一正多邊形和圓 課后演練【演練1】完成下表中有關(guān)正多邊形的計(jì)算:正多邊形邊 數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長(zhǎng)邊心距面積3602<3416瓜【解析】答案如下表:正多邊形邊 數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長(zhǎng)邊心距面積36012022316/33/349090近218461206022123【演練2】。的內(nèi)接多邊形周長(zhǎng)為 3 ,。的外切多邊形周長(zhǎng)為 3.4 ,則下列各數(shù)中與此圓的 周長(zhǎng)最接近的是（）a.近b. V8c.而d. VT7【解析】C知識(shí)模塊二圓中的計(jì)算課后演練【演練3】一個(gè)扇形的半徑為 60cm ,圓心角為150 ,若用它做成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這

23、個(gè)圓錐的底面半徑為.150【解析】扇形的弧長(zhǎng)l - 60 71 50 71,它作為圓錐的底面周長(zhǎng)1802tR 50%, R 25cm .【演練4】如果矩形紙片的兩條鄰邊分別為18cm和30cm ,將其圍成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求圓柱底面半徑.【解析】如果將長(zhǎng)為18cm的邊轉(zhuǎn)化成圓柱的底面周長(zhǎng)，設(shè)底面半徑為rcm，則271r 18,所以底面半徑r -; 兀如果將長(zhǎng)為30cm的邊轉(zhuǎn)化成圓柱的底面周長(zhǎng)，設(shè)底面半徑為Rcm，則2 R 30 ,所以底面半徑R . 兀故這個(gè)圓柱的底面半徑為 9 cm或竺cm.兀兀【演練5】如圖1 ,在。中，AB為。的直徑，AC是弦，OC 4 , OAC 60 .求 AOC的度數(shù)； 在圖1中，P為直徑BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng) CP與。相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)； 如圖2, 一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在OO上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)& MAO Sacao時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng).【解析】OA OC , OAC 60 ,.AOC是等邊三角形, AOC 60 . CP 與。O 相切，OCP 90 , AOC 60 , PO 2AO 8 .如圖， 作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1 .勿信 SA MAO $ CAO , AOM 1604兀4AM1 60 - %, 1803，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，Sa maoSacao，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為-兀.3 過(guò)點(diǎn)M1作M1M2