(檀)隨機(jī)過程綜合練習(xí)新版

1、隨機(jī)過程綜合練習(xí)題一、填空題（每空3分）第一章1是獨立同分布的隨機(jī)變量，的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)是 。2 。3 的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為 。4條件期望是 的函數(shù)， （是or不是）隨機(jī)變量。5是獨立同分布的隨機(jī)變量，的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)是 。6n維正態(tài)分布中各分量的相互獨立性和不相關(guān)性 。第二章7寬平穩(wěn)過程是指協(xié)方差函數(shù)只與 有關(guān)。8在獨立重復(fù)試驗中，若每次試驗時事件A發(fā)生的概率為，以記進(jìn)行到次試驗為止A發(fā)生的次數(shù)， 則是 過程。9正交增量過程滿足的條件是 。10正交增量過程的協(xié)方差函數(shù) 。第三章11 X(t), t0為具有參數(shù)的齊次泊松過程，其均值函數(shù)為 ；方差函數(shù)為 。12設(shè)到達(dá)

2、某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達(dá)率分別為，且均為泊松過程，它們相互獨立，若把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度、無延時)，相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時間間隔的概率密度是 ，汽車之間的不同到達(dá)時刻間隔的概率密度是 。13X(t), t0為具有參數(shù)的齊次泊松過程， 。14設(shè)X(t), t0是具有參數(shù)的泊松過程，泊松過程第n次到達(dá)時間Wn的數(shù)學(xué)期望是 。15在保險的索賠模型中，設(shè)索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過程到達(dá)保險公司若每次賠付金額是均值為10000元的正態(tài)分布，求一年中保險公司的平均賠付金額 。16到達(dá)某汽車總站的客車數(shù)是一泊松過程，每輛客車內(nèi)乘客數(shù)是一隨機(jī)變量設(shè)各客車內(nèi)乘客數(shù)獨立同

3、分布，且各輛車乘客數(shù)與車輛數(shù)N(t)相互獨立，則在0，t內(nèi)到達(dá)汽車總站的乘客總數(shù)是 （復(fù)合or非齊次）泊松過程17設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2min內(nèi)到達(dá)的顧客不超過3人的概率是 第四章18 無限制隨機(jī)游動各狀態(tài)的周期是 。19非周期正常返狀態(tài)稱為 。20設(shè)有獨立重復(fù)試驗序列。以記第n次試驗時事件A發(fā)生，且，以記第n次試驗時事件A不發(fā)生，且，若有，則是 鏈。答案一、填空題1； 2； 3 4是 5； 6等價7時間差； 8獨立增量過程；9 1011； 12 13 14 15240000 16復(fù)合； 17182； 19遍歷狀態(tài)； 20齊次馬爾科夫鏈； 二、判斷題（每題2分）第

4、一章1是特征函數(shù)，不是特征函數(shù)。（ ）2n維正態(tài)分布中各分量的相互獨立性和不相關(guān)性等價。（ ）3任意隨機(jī)變量均存在特征函數(shù)。（ ）4是特征函數(shù)，是特征函數(shù)。（ ）5設(shè)是零均值的四維高斯分布隨機(jī)變量，則有（ ）第二章6嚴(yán)平穩(wěn)過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過程。（ ）7獨立增量過程是馬爾科夫過程。（ ）8維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程。（ ）第三章9非齊次泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程。（ ）第四章10有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返。（ ）11有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不可能是閉集。（ ）12有限馬爾科夫鏈，若有狀態(tài)k使，則狀態(tài)k即為正常返的。（ ）13設(shè)，若存在正整數(shù)n，使得則

5、i非周期。（ ）14有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài)。（ ）15i是正常返周期的充要條件是不存在。（ ）16平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一個基本正常返閉集。（ ）17有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài)。（ ）18i是正常返周期的充要條件是存在。（ ）19若，則有（ ）20不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài)（ ）答案二、判斷題1× 2 3 4 56 7 8 9×10 11 12 13 14 15 16 17× 18× 19 20三、大題第一章1（10分）（易）設(shè)，求的特征函數(shù)，并利用其求。2（10分）（中）利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗定義一個隨

6、機(jī)過程，出現(xiàn)正面和反面的概率相等，求的一維分布函數(shù)和，的二維分布函數(shù)。3（10分）（易）設(shè)有隨機(jī)過程，其中A與B是相互獨立的隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求的一維和二維分布。第二章4（10分）（易）設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Vt+b，t(0,+), b為常數(shù)，V服從正態(tài)分布N(0，1)的隨機(jī)變量，求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。5（10分）（易）已知隨機(jī)過程X(t)的均值函數(shù)mx(t)和協(xié)方差函數(shù)B x(t1, t2)，g(t)為普通函數(shù)，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求隨機(jī)過程Y(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。6（10分）（中）設(shè)是實正交增量過程，是一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若對任一都與相

7、互獨立，求的協(xié)方差函數(shù)。7（10分）（中）設(shè)，若已知二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣為，求的協(xié)方差函數(shù)。8（10分）（難）設(shè)有隨機(jī)過程和常數(shù)，試以的相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)。第三章9（10分）（易）某商店每日8時開始營業(yè)，從8時到11時平均顧客到達(dá)率線性增加在8時顧客平均到達(dá)率為5人/時，11時到達(dá)率達(dá)到最高峰20人/時，從11時到13時，平均顧客到達(dá)率維持不變，為20人/時，從13時到17時，顧客到達(dá)率線性下降，到17時顧客到達(dá)率為12人/時。假定在不相重疊的時間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨立的，問在8：309：30間無顧客到達(dá)商店的概率是多少？在這段時間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少? 1

8、0（15分）（難）設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為的泊松過程，每個顧客購買商品的概率為，且與其它顧客是否購買商品無關(guān)，求（0，t）內(nèi)無人購買商品的概率。11（15分）（難）設(shè)X1(t) 和X2 (t) 是分別具有參數(shù)和的相互獨立的泊松過程，證明：Y(t)是具有參數(shù)的泊松過程。12（10分）（中）設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過程，平均每周有2戶定居即。如果每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3，一戶兩人的概率為1/3，一戶一人的概率為1/6，并且每戶的人口數(shù)是相互獨立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差。13（10分）（難）在時間t內(nèi)向電話總機(jī)呼叫k次的

9、概率為，其中為常數(shù)如果任意兩相鄰的時間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨立的，求在時間2t內(nèi)呼叫n次的概率14（10分）（易）設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔超過2 min15（15分）（中）設(shè)進(jìn)入中國上空流星的個數(shù)是一泊松過程，平均每年為10000個每個流星能以隕石落于地面的概率為0.0001，求一個月內(nèi)落于中國地面隕石數(shù)W的EW、varW和PW2 16（10分）（易）通過某十字路口的車流是一泊松過程設(shè)1min內(nèi)沒有車輛通過的概率為0.2，求2min內(nèi)有多于一輛車通過的概率。17（10分）（易）設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知

10、平均每小時有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔短于4 min 18（15分）（中）某刊物郵購部的顧客數(shù)是平均速率為6的泊松過程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為12、l3和16，且相互獨立設(shè)訂一年時，可得1元手續(xù)費；訂兩年時，可得2元手續(xù)費；訂三年時，可得3元手續(xù)費. 以X(t)記在0，t內(nèi)得到的總手續(xù)費，求EX(t)與var X(t) 19（10分）（易）設(shè)顧客到達(dá)商場的速率為2個min，求 (1) 在5 min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值；(2) 在5min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；(3) 在5min內(nèi)至少有一個顧客到達(dá)的概率 20（10分）（中）設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5

11、年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率 21（15分）（難）設(shè)X(t)和Y(t) (t0)是強(qiáng)度分別為和的泊松過程，證明：在X(t)的任意兩個相鄰事件之間的時間間隔內(nèi)，Y(t) 恰好有k個事件發(fā)生的概率為。第四章22（10分）（中）已知隨機(jī)游動的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(3)及當(dāng)初始分布為時，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率。23（15分）（難）將2個紅球4個白球任意地分別放入甲、乙兩個盒子中，每個盒子放3個，現(xiàn)從每個盒子中各任取一球，交換后放回盒中(甲盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示經(jīng)過n次交換后甲盒中

12、紅球數(shù)，則X(n)，n0為齊次馬爾可夫鏈，求（1）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（2）證明：X(n)，n0是遍歷鏈；（3）求。24（10分）（中）已知本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下： 求下一、二個月的銷售狀態(tài)分布。25（15分）（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I1，2，7，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布。26（15分）（難）設(shè)河流每天的BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間I=1，2，3，4是按BOD濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣(以一天為單位)為若BOD濃度為高，則稱河流處于污染狀態(tài)。(1)證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈；(2)求該鏈的平穩(wěn)分布；(3)河流再次

13、達(dá)到污染的平均時間。27（10分）（易）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I0，1，2，3，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求狀態(tài)空間的分解。28（15分）（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為I1，2，3，4轉(zhuǎn)移概率矩陣為討論29（10分）（易）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求其平穩(wěn)分布。30（15分）（難）甲乙兩人進(jìn)行一種比賽，設(shè)每局比賽甲勝的概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率為r，且p+q+r=1設(shè)每局比賽勝者記1分，負(fù)者記一1分和局記零分。當(dāng)有一人獲得2分時比賽結(jié)束以表示比賽至n局時甲獲得的分?jǐn)?shù)，則是齊次馬爾可夫鏈 （1）寫出狀態(tài)空間I；（2）求出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣； （3） 求甲已獲1分時，再賽兩局可以結(jié)束比賽的概率 31

14、（10分）（中）(天氣預(yù)報問題) 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為，規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)l。因此問題是兩個狀態(tài)的馬爾可夫鏈設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率 32（10分）（中）設(shè)是一個馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間I=a，b，c，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求（1）（2）33（15分）（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I1，2，6，轉(zhuǎn)移概率矩陣為試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態(tài)的周期。答案三、大題1 解：引入隨機(jī)變量 （1分） （3分） （4分） （6分） （8分） （10分）2解：依題意知硬幣出現(xiàn)正反面的概率均為1/2（1）

15、 當(dāng)t=1/2時，X（1/2）的分布列為 其分布函數(shù)為 （3分）同理，當(dāng)t=1時(1)的分布列為 其分布函數(shù)為 （5分）（2） 由于在不同時刻投幣是相互獨立的，故在t=1/2，t=1時的聯(lián)合分布列為故聯(lián)合分布函數(shù)為（10分）3解：對于任意固定的tT，X(t)是正態(tài)隨機(jī)變量，故 所以X（t）服從正態(tài)分布 （3分）其次任意固定的則依n維正態(tài)隨機(jī)向量的性質(zhì)，服從二維正態(tài)分布，且 （8分） 所以二維分布是數(shù)學(xué)期望向量為（0，0），協(xié)方差為的二維正態(tài)分布。（10分）4解：，故服從正態(tài)分布， 均值函數(shù)為 （4分）相關(guān)函數(shù)為 （10分）5 解： （4分） （10分）6解：因為是實正交增量過程，故 服從標(biāo)準(zhǔn)正

16、態(tài)分布，所以（2分） （4分）又因為都與相互獨立 （6分） （8分） （10分）7解：利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得，（2分） （8分） （10分）8解： （2分） （10分）9 解：根據(jù)題意知顧客的到達(dá)率為 （3分） （6分） （10分）10解：設(shè)表示到達(dá)商店的顧客數(shù)，表示第i個顧客購物與否，即則由題意知獨立同分布且與獨立因此，是復(fù)合泊松過程，表示（0，t）內(nèi)購買商品的顧客數(shù)，（5分）由題意求 （10分） （15分）11證明： （5分） （10分） 故Y(t)是具有參數(shù)的泊松過程 （15分）12. 解：設(shè)為在時間0，t內(nèi)的移民戶數(shù)，其是強(qiáng)度為2的泊松過程，表示每戶的人數(shù)，則在0，t內(nèi)的移民人數(shù)是一個

17、復(fù)合泊松過程。 （2分）是獨立同分布的隨機(jī)變量，其分布為1234 （4分） （7分） （10分）13解：以A記時間2t內(nèi)呼叫n次的事件，記第一時間間隔內(nèi)呼叫為，則，第二時間間隔內(nèi)成立，于是 （4分） （8分） （10分）14解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強(qiáng)度為的泊松過程，則顧客到達(dá)的時間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布， （4分） （10分）15解：設(shè)是t年進(jìn)入中國上空的流星數(shù)，為參數(shù)的齊次泊松過程設(shè) 即由題意知，是一個復(fù)合泊松過程 （5分） 是參數(shù)為的泊松過程 （10分） （15分）16解： 以表示在內(nèi)通過的車輛數(shù)，設(shè)是泊松過程，則 （2分） （5分） （10分）17解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)

18、是強(qiáng)度為的泊松過程，則顧客到達(dá)的時間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布， （4分） （10分）18解：設(shè)Z(t)為在0，t內(nèi)來到的顧客數(shù)，為參數(shù)的齊次泊松過程，是每個顧客訂閱年限的概率分布，且獨立同分布，由題意知，為0，t內(nèi)得到的總手續(xù)費，是一個復(fù)合泊松過程 （5分） （8分） （15分）19解：N (t)表示在0，t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，顯然 N (t), t0是泊松過程，則當(dāng)t=2時，N（5）服從泊松過程 （5分）故 （10分）20解：因為維修次數(shù)與使用時間有關(guān)，所以該過程是非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)則 （6分） （10分）21證明：設(shè)X（t）的兩個相鄰事件的時間間隔為，依獨立性有 （2分） 而X（t）的

19、不同到達(dá)時刻的概率密度函數(shù)為 （4分） 由于X（t）是泊松過程，故Y（t）恰好有k個事件發(fā)生的概率為 （8分）（10分）22 解： （6分） （10分）23 解：由題意知，甲盒中的球共有3種狀態(tài)，表示甲盒中的紅球數(shù)甲盒乙盒22紅、1白3白11紅、2白1紅、2白03白2紅、1白甲乙互換一球后甲盒仍有3個白球|甲盒有3個白球=P從乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3甲乙互換一球后甲盒有2個白球1個紅球|甲盒有3個白球=P從乙盒放入甲盒的一球是紅球=2/3甲乙互換一球后甲盒有1個白球2個紅球|甲盒有3個白球=0以此類推，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 （8分）（2）因為各狀態(tài)互通，所以為不可約有限馬氏鏈，且狀態(tài)0無周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。（10分）（3）解方程組 即（13分）解得 （15分）24解： （5分） （10分）25解：是非常返集，是正常返閉集。 （5分）常返閉集上的轉(zhuǎn)移矩陣為解方程組，其中，解得上的平穩(wěn)分布為 （10分）同理解得上的平穩(wěn)分布為 （15分）26. 解：（1）因為，故馬氏鏈不可約，又因為狀態(tài)1非周期，故馬氏鏈?zhǔn)潜闅v鏈 （5分）（2）解方程組 其中解得（10分）（3） （15分）27解：狀態(tài)傳遞