概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-章節(jié)總結(jié)-華南理工大學(xué) (2)

1、第3章 隨機(jī)變量3.1 隨機(jī)變量1. 是隨機(jī)事件概念的數(shù)量化-根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果取值 例1 口袋中有六個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字：1,2,2,2,3,3,從口袋中任取一球，問取到球的數(shù)字是多少？ 用X表示被取到球的數(shù)字，那么X是一個(gè)變量，依賴于基本事件，稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量是基本事件的函數(shù)，自變量是基本事件，事件帶有隨機(jī)性。2. 定義（隨機(jī)變量）并不是定義在基本空間上的任何函數(shù)都可以作為隨機(jī)變量，而是要滿足一定的要求，這就是書本上的定義（P39）定義 稱定義在樣本空間上的實(shí)函數(shù)X=X(w), w，是隨機(jī)變量，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x有w: X(w)<xF F是事件域?qū)τ诶?，取x=2，則w: X(w)<

2、;x=取到“1”號(hào)球隨機(jī)變量的表示：大寫英文字母，或希臘字母隨機(jī)變量取值的表示：3.2分布函數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量，不僅關(guān)心它取哪些數(shù)值，更關(guān)心，以多大的概率取那些值。定義（分布函數(shù)）P39設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)= P w: X(w)<x 稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 也記為 F(x)= P X< x 分布函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)不減性。 若, 則 (2) (3)左連續(xù)性。對(duì)任意實(shí)數(shù)，有3.3 離散型隨機(jī)變量分布列 滿足分布列的兩個(gè)條件：(1) (2) 與分布函數(shù)的關(guān)系 堂上作業(yè)： 用X表示例1中取到球的數(shù)字，求X的分布和分布函數(shù) 兩點(diǎn)分布：退化分布：3.4二項(xiàng)分布1. 分

3、布律 (3-5)如果隨機(jī)變量有上述的分布律，記為（服從二項(xiàng)概率分布）2. 定理在n重伯努力試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在k1和k2之間的概率是事件A至少發(fā)生1次的概率是 例3-3已知發(fā)射一枚地對(duì)空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機(jī)的概率是0.96，問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機(jī)的概率大于0.999?3. 最有可能的取值（1）當(dāng)(n+1)p恰為正整數(shù)，記為k0, 則同為二項(xiàng)分布概率的最大值；（2）當(dāng)(n+1)p不是整數(shù)時(shí)，記，則為二項(xiàng)分布概率的最大值。例3-4 （漁佬問題）設(shè)魚的總數(shù)為N， 漁老先從魚塘中撈起100條魚做上記號(hào)后放回魚塘，過一段時(shí)間在從魚塘里撈出100條，發(fā)現(xiàn)其中2

4、條魚有記號(hào)，請(qǐng)估計(jì)魚塘里魚的總數(shù)N。4泊松分布 分布律 可作為二項(xiàng)分布的近似， 例3-5 進(jìn)貨量問題由商店的銷售記錄知，某商品的月售量X服從= 10的泊松分布，為能以95%以上的概率保證不脫銷，問在無庫(kù)存的情況下月底應(yīng)進(jìn)貨多少？ 例3-6 合作問題（維修設(shè)備） 設(shè)有同類設(shè)備80臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01,并且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理，試求（1）一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率？（2）由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率？解：（1）用X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，。 （2）用Y表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)

5、，。5幾何分布某人在一次考試中得5分的概率是p，X是第1次考取5分所需考試次數(shù)，求X的分布。作業(yè)：P53 3-4, 3-7, 3-10, 3-12三、（10分）某安檢系統(tǒng)檢查時(shí)，非危險(xiǎn)人物過安檢被誤認(rèn)為是危險(xiǎn)人物的概率是0.02；而危險(xiǎn)人物又被誤認(rèn)為非危險(xiǎn)人物的概率是0.05。假設(shè)過關(guān)人中有96%是非危險(xiǎn)人物。問：（1）在被檢查后認(rèn)為是非危險(xiǎn)人物而確實(shí)是非危險(xiǎn)人物的概率？（2）如果要求對(duì)危險(xiǎn)人物的檢出率超過0.999概率，至少需安設(shè)多少道這樣的檢查關(guān)卡？解：（1）設(shè)A被查后認(rèn)為是非危險(xiǎn)人物， B過關(guān)的人是非危險(xiǎn)人物，則（2）設(shè)需要n道卡，每道檢查系統(tǒng)是相互獨(dú)立的，則Ci=第i關(guān)危險(xiǎn)人物被誤認(rèn)為

6、非危險(xiǎn)人物，所以，即=3.0745+1 = 4 3.4 一維連續(xù)型隨機(jī)變量1定義 當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)可寫成“變上限積分”的形式：時(shí)， 稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的概率分布密度，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)。2幾何意義3定理 （分布函數(shù)性質(zhì)） (1) (2) 分布函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（在連續(xù)點(diǎn)上）就是其密度， 即 4 幾個(gè)結(jié)論（1） 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)（2） 若定義在（，）上的可積函數(shù)f(x)滿足f(x)0，f(x)在（，）上的的積分等于1，則可證明是一個(gè)分布函數(shù)，f(x)是一個(gè)分布密度。（3） 連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定實(shí)數(shù)值的概率為0。例 3-8 P47設(shè)已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是 （1）確

7、定a的值(根據(jù)分布函數(shù)性質(zhì)確定常數(shù))。 （2）求 X 的分布函數(shù)F(x) (根據(jù)分布密度求分布函數(shù))。 （3）求概率. (計(jì)算概率)5. 例 驗(yàn)證（均勻分布）P48 均勻分布的密度函數(shù)為 3.5 正態(tài)分布1 定義 說明 2 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)（圖形特點(diǎn)）The equation of the normal probability density, whose graph is shown in Figure 4.3.1, isFigure 4.3.1 The normal probability density3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 4計(jì)算服從正態(tài)分布的隨機(jī)落在指定區(qū)間的概率 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的計(jì)算 PZ&l

8、t;0 PZ<1 PZ<1 一般正態(tài)的計(jì)算, we refer to the corresponding standardized random variable,then . 應(yīng)用例子： P48例3-10 （1）先求“誤差絕對(duì)值超過19.6”的概率 （2）再求在100次獨(dú)立測(cè)量中，（1）發(fā)生的次數(shù)不少于3的概率53規(guī)則, find , , P=0.6826, P=0.9544, P=0.9974堂上練習(xí) P54, 21,作業(yè)P5416，18，19，20，22指數(shù)分布 若一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù) 則稱X為帶參數(shù)a（a > 0）的指數(shù)分布隨機(jī)變量，記為X E（a），其

9、分布函數(shù)為例 3-7 （P46）到某服務(wù)窗口辦事需要排隊(duì)等候，若等待時(shí)間X服從指數(shù)分布，其密度為 求（1）有2次憤然離去的概率； （2）最多有2次憤然離去的概率； （3）至少有2次憤然離去的概率。 3.6 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 我們知道，在中, y是x 的函數(shù)。如果X是一隨機(jī)變量，那么Y =f(X)是隨機(jī)變量的函數(shù)，如果f(x)連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)，則Y也是隨機(jī)變量。如何通過X的分布，求Y的分布。1離散型情形 若X的概率分布為 X x1x2 . xn P p1 p2 pn則Y =f(X)的分布為 Y g(x1)g(x2) . g(xn) P p1 p2 pn如果g(xi)有相等，需要把它們并

10、項(xiàng)。 例3-5 已知X的分布律， X 210 1 2 P 0.150.2 0.20.20.25求、的分布。解 由X的分布可列出 P 0.150.2 0.20.20.25 X 210 1 2 41 01 4 53 113 32 12 3（分析：Y的可能取值，取指定值的概率）于是的分布為 Y 014 P 0.20.4 0.42連續(xù)型情形 例3-6 P55 設(shè)隨機(jī)變量具有連續(xù)的分布密度，試求的分布密度.其中a, b是常數(shù)，且。解 （先求分布函數(shù)，通過求導(dǎo)得到密度函數(shù)復(fù)習(xí) 分布函數(shù)與分布密度函數(shù)的關(guān)系）設(shè)的分布函數(shù)為.當(dāng)a > 0時(shí)， （u=at+b）于是 當(dāng)a < 0時(shí), =.例 已知，求的分布。應(yīng)用上述公式