數(shù)值分析作業(yè)

1、淺談數(shù)值分析在機械設計領(lǐng)域的應用摘 要：以一齒輪傳動軸為例，經(jīng)過初步設計后用數(shù)值分析的方法進行強度計算，確定軸的應力應變的大小及分布，并計算出最大應力；進行計算模態(tài)分析，確定軸的前四階固有頻率和振型，計算其臨界轉(zhuǎn)速。通過分析可知，軸的強度和剛度符合設計要求，工作轉(zhuǎn)速遠遠低于臨界轉(zhuǎn)速，不會引起共振，設計是安全的。實際應用表明，數(shù)值分析方法可以彌補理論計算和實驗方法的不足，提高設計效率，在機械結(jié)構(gòu)設計中有一定應用價值。關(guān)鍵詞：機械結(jié)構(gòu)；數(shù)值分析；強度計算；模態(tài)分析1 引言數(shù)值分析是一門研究如何在計算機上求解數(shù)學問題算法的學科,主要內(nèi)容有:誤差分析,插值法,數(shù)值微積分,數(shù)值代數(shù), 矩陣計算和微分方程

2、數(shù)值解法等, 是工科各專業(yè)大學本科及研究生中開設的一門計算量大,算法多,實踐性比較強的專業(yè)課。機械結(jié)構(gòu)設計都要先進行力學計算，看其強度和剛度是否足夠。如果沒有足夠的強度和剛度是不允許的。但有時用傳統(tǒng)的力學方法計算很困難。若軸的橫截面是不斷變化的，要精確地計算出軸當中的應力和變形，特別是鍵槽處的應力是不可能的。如果用實驗的方法電測法來測量軸當中的應力和應變，從理論上來說是可以的，但是實際操作比較困難。因為軸上的約束比較復雜，而且用電測應力分析的方法只能測出軸上一部分點的應力和應變，具有一定的局限性。另外，對軸這類容易產(chǎn)生振動的旋轉(zhuǎn)零件來說，設計時其臨界轉(zhuǎn)速的計算尤其重要。軸在引起共振時的轉(zhuǎn)速稱為

3、臨界轉(zhuǎn)速。當軸的轉(zhuǎn)速停留在臨界轉(zhuǎn)速附近時，軸的變形將迅速增大，嚴重時會破壞軸及整個機器。因此，對于高速旋轉(zhuǎn)的軸，必須計算臨界轉(zhuǎn)速，使工作轉(zhuǎn)速避開其臨界轉(zhuǎn)速。一般是通過試驗或計算的方法確定軸的固有頻率、主振型等模態(tài)參數(shù)，從而計算出軸的臨界轉(zhuǎn)速。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析取得。這個分析過程如果是由有限元計算的方法取得的，則稱為計算模態(tài)分析。2 數(shù)值分析方法的研究2.1數(shù)值分析方法意義數(shù)學是一種工具，用于解決日常生活、工業(yè)工程上的相關(guān)問題。針對于數(shù)值分析中的數(shù)學方法，我們小組將主要內(nèi)容概括分解，將使用到的方法進行對比

4、分析。2.2數(shù)值分析主要部分1. 各類插值方法我們講過拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值、樣條插值。2. 函數(shù)逼近及擬合。3. 數(shù)值積分、歐拉法解常微分方程、龍格-庫塔法解常微分方程、方程組。（1）插值對于牛頓插值相對于拉氏插值增加一個節(jié)點，所有的插值基本多項式要重新取、重新算.2而牛頓插值，節(jié)點增加，次數(shù)增加，即高次插值函數(shù)計算量大，有劇烈震蕩，數(shù)值穩(wěn)定性較差（例如龍格現(xiàn)象）；分段插值在分段點上僅連續(xù)（即函數(shù)值相等），但是有尖點，不光滑（尖點導數(shù)不連續(xù)）；樣條函數(shù)可以解決以上問題：使插值函數(shù)既是低次階分段函數(shù)，又是光滑的函數(shù)。（2）理解逼近問題與擬合問題：1）逼近問題：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b

5、具有一階光滑度，求多項式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量標準下最小的問題。 2）擬合問題：從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實際中，僅僅從一些離散的數(shù)據(jù) (i=1,2)是不可能求出f(x)的準確表達式，只能求出其近似表達式（x）。（3） Romberg（龍貝格）求積法和Gauss求積法的基本思想：(主要研究方法)1）復化求積公式精度較高，但需要事先確定步長，欠靈活性，在計算過程中將步長逐次減半得到一個新的序列，用此新序列逼近I的算法為Romberg求積法。2）對插值型求積公式，若能選取適當?shù)膞k.Ak使其具有2n+1階代數(shù)精度，則稱此類求積公式為Gauss型。(4)Runge-Kut

6、ta方法的基本思想：借助于Taylor級數(shù)法的思想，將yn+1=yn+hy()中的y()（平均斜率）表示為f在若干點處值的線性組合，通過選擇適當?shù)南禂?shù)使公式達到一定的階。3 軸的參數(shù)圖 1 齒輪傳動軸三維實體圖以圖 1 所示的齒輪傳動軸為例，先利用CAD軟件進行三維實體建模，建立分析模型后，設定好載荷和約束條件，對軸結(jié)構(gòu)模型進行分析和計算，得到軸的應力及分布；進行計算模態(tài)分析，確定軸的固有頻率、主振型等參數(shù)，計算出軸的臨界轉(zhuǎn)速。結(jié)果表明，數(shù)值分析的方法可以彌補理論計算和實驗方法的不足，減少計算工作量，提高機械結(jié)構(gòu)設計效率。3.1 軸的設計參數(shù)及結(jié)構(gòu)尺寸軸輸出功率5kW，轉(zhuǎn)速，設計安全系數(shù)，經(jīng)過

7、初步設計后確定軸的結(jié)構(gòu)尺寸如表1所示。表1 軸的結(jié)構(gòu)尺寸 軸的段位 1 2 3 4 5 6 7 鍵的尺寸（b*h*l） 直徑（d/mm） 40 48 50 56 66 60 50 12*8*56 長度（l/mm） 60 48 50 85 10 10 27 16*10*80 3.2 材料參數(shù)材料為45鋼調(diào)質(zhì)處理，屈服強度為355 MPa，許用應，彈性模量E為210GPa，泊松比0.3，密度。4 強度分析4.1 外力計算并近似地計算出應力的值設作用在軸右邊鍵（大鍵）上的力為切向力,徑向力,則大齒輪處的水平彎矩為大齒輪處的鉛垂彎矩為合成彎矩為 大齒輪處的扭矩為大齒輪處的抗彎截面系數(shù)為那么,大齒輪處截

8、面上的最大應力值（不考慮應力集中的影響）為但是，軸當中的應力最大值會大大超過這一值，因為在軸肩和鍵槽處存在很大程度的應力集中現(xiàn)象。4.2 鍵槽面上分布力的計算數(shù)值分析時需要計算出作用在鍵槽面上的分布力的值。作用在軸右邊鍵槽上的水平（切向）分布力為同理，作用在軸右邊鍵槽上的鉛垂（徑向）分布力為軸傳遞的力偶矩為作用在軸左邊鍵槽上的水平（切向）力為則作用在軸左邊鍵槽上的水平（切向）分布力為4.3 建立分析模型，確定邊界條件用四面體單元對軸三維實體進行網(wǎng)格劃分，共劃分765 個節(jié)點3062 個單元。有限元模型如圖2 所示。根據(jù)設計要求，對輸出軸的軸承處施加零位移約束。作用在軸右邊鍵槽上的水平（切向）分

9、布力為17.9 MPa，徑向分布力2.03 MPa，作用在軸左邊鍵槽上的水平（切向）分布力為44.75MPa。圖2 齒輪傳動軸有限元模型4.4 計算結(jié)果及分析圖3 軸的應力云圖軸應力云圖如圖3 所示，可以看出在軸肩和鍵槽處存在應力集中，最大應力56.9 MPa，遠大于理論計算的20.1 MPa。軸承安裝的軸頸過渡圓角處存在著較高的應力水平，是最容易破壞及最危險的部位。圖4 軸的變形云圖圖 4 為軸的變形云圖。可以看出軸最大變形量僅為4.7e-2 mm，其剛度也是滿足設計要求?？傮w來說,軸在強度和剛度方面都存在很大的機械設計制造 機電技術(shù)2008 年第4 期47余量，材料的承載能力并沒有得到充分

10、的利用，這為軸的優(yōu)化提供了很大的空間。5 模態(tài)分析5.1 模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)多自由度的運動微分方程為 （1）式中：M、K、C 分別為總體質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；為節(jié)點加速度向量；為節(jié)點速度向量；x(t)為節(jié)點位移向量；F(t)為整體載荷向量。固有頻率也稱自然頻率，只與系統(tǒng)本身的特性(質(zhì)量、剛度和阻尼)有關(guān)，模態(tài)分析即是求解振動系統(tǒng)的固有頻率和振型。當彈性體的動力基本方程中的外力向量F(t)=0 時，便可得系統(tǒng)的微分方程： (2)求解主軸的固有頻率和振型，即是求解式(2)的廣義特征值和特征向量。5.2 模態(tài)分析模型分析模型與強度分析模型相同，但由于固有頻率只與系統(tǒng)本身的特性(質(zhì)量、剛度和阻尼)有關(guān)

11、，所以不施加載荷。5.3 計算結(jié)果及分析模態(tài)分析結(jié)束后提取了前四階模態(tài)頻率和振型，如圖5 和表2 所示。一階模態(tài)固有頻率104.79Hz，振型如圖5（a）所示，二階模態(tài)固有頻率106.78Hz，振型如圖5（b）所示，三階模態(tài)固有頻率316.69Hz，振型如圖5（c）所示，四階模態(tài)固有頻率368.33Hz，振型如圖5（d）所示，可以看出，一、二階固有頻率幾乎相等，可看作是式2 的一對重根。結(jié)果表明，通過計算模態(tài)分析可以得到軸的各階模態(tài)的固有頻率和振型，并具有很好的空間仿真效果。為了保證設計的安全性，軸的工作轉(zhuǎn)速不能等于或超過其臨界轉(zhuǎn)速，從表2 可知，一階臨界轉(zhuǎn)速n=60f =60104.79=6

12、287.4r/min，而其工作轉(zhuǎn)速280r/min，大大低于一階臨界轉(zhuǎn)速，所以設計是安全的，能有效避開共振區(qū)，保證了軸的加工精度和安全，但有很大的優(yōu)化空間。表2 軸的各階模態(tài)固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速階次 固有頻率（HZ） 臨界轉(zhuǎn)速（r/min）1 1.047876e+02 6287.42 1.067754e+02 6406.83 3.166935e+02 19001.44 3.683262e+02(a)第一階模態(tài)變形云圖(b) 第二階模態(tài)變形云圖(c)第三階模態(tài)變形云圖（d）第四階模態(tài)變形云圖圖 5 前四階模態(tài)變形云圖6 小結(jié)1. 利用數(shù)值分析的方法進行了強度計算，準確地了解了軸零件的應力應變的大小

13、和位置，特別是最大應力及應力集中的位置，為結(jié)構(gòu)設計提供參考。2. 利用數(shù)值分析的方法計算了軸零件的臨界轉(zhuǎn)速，結(jié)果表明，軸的工作轉(zhuǎn)速遠遠低于臨界轉(zhuǎn)速，不會引起共振，設計是安全的。3. 計算表明，軸的最大應力和臨界轉(zhuǎn)速都遠遠小于臨界值，說明設計雖然是安全的，但不盡合理，還有很大的優(yōu)化空間，以免造成結(jié)構(gòu)笨重，浪費材料。4. 本文是以一軸零件為例，說明數(shù)值分析的方法在機械結(jié)構(gòu)設計中的應用，結(jié)果表明，這種方法可以彌補理論分析和實驗方法的不足，提高設計效率，它同樣適用于其他零件的設計。因此，在機械結(jié)構(gòu)設計中運用數(shù)值分析的方法是可行的且具有一定優(yōu)勢。7 參考文獻1 孫愛芹,王吉岱,李磊林等.基于 ANSYS 的高壓巡檢機器人電機主軸動態(tài)分析J.煤礦機械,2008,29(7).2 鐘佩思,孫雪顏,蘇超等.基于 ANSYS 的