實驗二 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、實驗二 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析一、實驗?zāi)康模?、學(xué)習(xí)MATLAB語言的編程方法及熟悉MATLAB指令。2、深刻理解卷積運算，利用離散卷積實現(xiàn)連續(xù)卷積運算。3、學(xué)會用MATLAB求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)的方法。二、原理說明：1卷積積分卷積積分在信號與系統(tǒng)分析中具有非常重要的意義，是信號與系統(tǒng)分析的基本方法之一。連續(xù)時間信號和的卷積積分（簡稱為卷積）定義為：1.1卷積的計算 借助MATLAB的內(nèi)部函數(shù)conv()可以很容易地完成兩個信號的卷積積分運算。其語法為：y = conv(x,h)。其中x和h分別是兩個作卷積運算的信號，y為卷積結(jié)果。conv(x,h)函數(shù)實際上是完成兩個多項

2、式的乘法運算。例如，兩個多項式p1和p2分別為： 和 這兩個多項式在MATLAB中是用它們的系數(shù)構(gòu)成一個行向量來表示的，如果用x來表示多項式p1，h表示多項式p2，則x和h分別為 x = 1 2 3 4 h = 4 3 2 1在MATLAB命令窗口依次鍵入>> x = 1 2 3 4;>> h = 4 3 2 1;>> y=conv(x,h)在屏幕上得到顯示結(jié)果：y = 4 11 20 30 20 11 4這表明，多項式p1和p2的乘積為： 正如前所述，用MATLAB處理連續(xù)時間信號時，獨立時間變量t的變化步長應(yīng)該是很小的，假定用符號dt表示時間變化步長，那

3、么，用函數(shù)conv()作兩個信號的卷積積分時，應(yīng)該在這個函數(shù)之前乘以時間步長方能得到正確的結(jié)果。也就是說，正確的語句形式應(yīng)為：y = dt*conv(x,h)。由于MATLAB運算的特點，兩個連續(xù)信號f1(t)、f2(t)的卷積f(t)=f1(t)*f2(t)，用MATLAB實現(xiàn)的過程應(yīng)為：（1）將連續(xù)信號f1(t)、f2(t)以時間間隔進行取樣，得離散序列f1(kD)、f2(kD)；（2）構(gòu)造f1(kD)、f2(kD)與相對應(yīng)的時間向量k1和k2；（3）調(diào)用conv()函數(shù)計算卷積積分f(t)的近似向量f(kD)；（4）構(gòu)造f(kD)對應(yīng)的時間向量k。下面是利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號卷積運

4、算的通用函數(shù)sconv()，它在計算出卷積積分近似值的同時，還繪出f(t)的波形圖。function f,k=sconv(f1,f2,k1,k2,p)%計算連續(xù)信號卷積積分f(t)=f1(t)*f2(t)%f:卷積積分f(t)對應(yīng)的非零值向量%k:f(t)的對應(yīng)時間向量%f1,f2:f1(t),f2(t)的非零樣值向量%k1,k2:f1(t),f2(t)的對應(yīng)時間向量%p:取樣時間間隔f=conv(f1,f2); %計算序列f1,f2的卷積和ff=f*p;k0=k1(1)+k2(1); %計算序列f非零樣值的起點位置k3=length(f1)+length(f2)-2; %計算卷積和f的非零樣

5、值的寬度k=k0:p:k3*p; %確定卷積和f非零樣值的時間向量subplot(2,2,1);plot(k1,f1); title('f1(t)'); xlabel('t'); ylabel('f1(t)');subplot(2,2,2);plot(k2,f2); title('f2(t)'); xlabel('t'); ylabel('f2(t)');subplot(2,2,3);plot(k,f); %畫出卷積f(t)的波形title('f(t)=f1(t)*f2(t)');

6、xlabel('t'); ylabel('f(t)');h=get(gca,'position');h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h) %將第三個子圖的橫坐標(biāo)擴展為原來的2.5倍例題1：根據(jù)給定的兩個連續(xù)時間信號x(t) = tu(t)-u(t-1)和h(t) = u(t)-u(t-1)，編寫程序，完成這兩個信號的卷積運算，并繪制它們的波形圖。范例程序如下：% Program1_6% This program computes the convolution of two continuou-t

7、ime signalsclear;close all;t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x = ut(t)-ut(t-1);h = t.*(ut(t)-ut(t-1);y = dt*conv(x,h); % Compute the convolution of x(t) and h(t)subplot(221)plot(t,x), grid on, title('Signal x(t)'), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(222)plot(t,h), grid on, title('Signal h

8、(t)'), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(212)t = 2*t0:dt:2*t1; % Again specify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.plot(t,y), grid on, title('The convolution of x(t) and h(t)'), axis(2*t0,2*t1,-0.1,0.6), xlabel('Time t sec')例2：已知f1(t)=e-tu (t)- u (t-2)、 f2(t)

9、= u (t)- u (t-3)，編制一個m文件，繪出f1(t)、f2(t)和f(t)=f1(t)* f2(t)的波形。解：實現(xiàn)所要求運算的m文件如下，運算結(jié)果如圖9-2所示。p=0.01;k1=0:p:2f1=exp(-k1);k2=0:p:3;f2=ones(1,length(k2);f,k=sconv(f1,f2,k1,k2,p)在有些時候，做卷積和運算的兩個序列中，可能有一個序列或者兩個序列都非常長，甚至是無限長，MATLAB處理這樣的序列時，總是把它看作是一個有限長序列，具體長度由編程者確定。實際上，在信號與系統(tǒng)分析中所遇到的無限長序列，通常都是滿足絕對可和或絕對可積條件的信號。因此

10、，對信號采取這種截短處理盡管存在誤差，但是通過選擇合理的信號長度，這種誤差是能夠減小到可以接受的程度的。若這樣的一個無限長序列可以用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的話，那么，它的長度可以由編程者通過指定時間變量n的范圍來確定。2、 連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)及Matlab實現(xiàn)LTI系統(tǒng)當(dāng)輸入為沖激信號(t)時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，用h(t)表示。若輸入為單位階躍信號u(t)時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，記為g(t)。LTI連續(xù)系統(tǒng)LTI連續(xù)系統(tǒng)對LTI連續(xù)系統(tǒng)，設(shè)其輸入信號為f(t),沖激響應(yīng)為h(t)，零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)，則有：即h(t)包含了連續(xù)系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。

11、我們只要知道了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，即可求得系統(tǒng)在不同輸入時產(chǎn)生的輸出。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)對我們進行連續(xù)系統(tǒng)的分析具有非常重要的意義。Matlab為我們提供了專門用于求連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)，并繪制其時域波形的函數(shù)impulse和step。在調(diào)用函數(shù)impulse（）和step（）時，我們需要用向量來對系統(tǒng)進行表示。設(shè)描述連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：則可以用向量a和b來表示該系統(tǒng)，即：注意，在用向量來表示微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)時，向量a和b的元素一定要以微分方程時間求導(dǎo)的降冪次序來排列，且缺項用0來補齊。如對微分方程則表示該系統(tǒng)的對應(yīng)向量為：a=2 3 6；b=1；而對微分方程：則表示該

12、系統(tǒng)的對應(yīng)向量應(yīng)為：a=1 3 2； b=1 0 1；2.1 impulse（）函數(shù)函數(shù)impulse（）將繪出由向量a和b表示的連續(xù)系統(tǒng)在指定時間內(nèi)的沖激響應(yīng)h(t)的時域波形圖，并能求出指定時間范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的數(shù)值解。impulse（）函數(shù)有如下幾種調(diào)用格式： impulse（b,a）該調(diào)用格式以默認(rèn)方式繪出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的時域波形。例如，描述某連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：運行如下Matalb命令：a=1 5 6;b=0 3 2impulse(b,a) impulse（b,a,t）該調(diào)用格式繪出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)在0t時間范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的時域波形。對上例，運行如下命令：

13、 impulse(b,a,10) 則繪出系統(tǒng)在010秒范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的時域波形。 impulse（b,a,t1:p:t2）該調(diào)用格式繪出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1t2時間范圍內(nèi),且以時間間隔p均勻取樣的沖激響應(yīng)的時域波形。對上例，運行如下命令：impulse(b,a,1:0.1:2) 則繪出系統(tǒng)在12秒范圍內(nèi), 且以時間間隔0.1秒均勻取樣的沖激響應(yīng)的時域波形 y=impulse（b,a,t1:p:t2）該調(diào)用格式并不繪出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)波形，而是求出向量a和b定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1t2時間范圍內(nèi),且以時間間隔p均勻取樣的沖激響應(yīng)的數(shù)值解。2.2 step（）函數(shù)函數(shù)step（）將繪出由向量a

14、和b定義的連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)在指定時間范圍內(nèi)的波形圖，并能求出其數(shù)值解。和impulse（）函數(shù)一樣， step（）函數(shù)也有四種調(diào)用格式：step(b,a)step(b,a,t)step(b,a,t1:p:t2)y=step(b,a,t1:p:t2)上述調(diào)用格式的功能與impulse（）函數(shù)完全相同。3) 零狀態(tài)響應(yīng)：lsim( ) 函數(shù)在MATLAB中，控制系統(tǒng)工具箱提供了一個用于求解零初始條件微分方程數(shù)值解的函數(shù)lsim。其調(diào)用格式y(tǒng)=lsim(sys,f,t)式中，t表示計算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點向量，f是系統(tǒng)輸入信號向量，sys是LTI系統(tǒng)模型，用來表示微分方程，差分方程或狀態(tài)方程。

15、其調(diào)用格式sys=tf(b,a)式中，b和a分別是微分方程的右端和左端系數(shù)向量。例如，對于以下方程: 可用 獲得其LTI模型。注意，如果微分方程的左端或右端表達(dá)式中有缺項，則其向量a或b中的對應(yīng)元素應(yīng)為零，不能省略不寫，否則出錯。例3. 已知描述某系統(tǒng)的微分方程為 試用Matlab繪出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)波形。解：clccleara=1 1 1; b=1 1;t=0:0.1:10;y=impulse(b, a, t); %沖激響應(yīng)subplot(211)plot(t,y) %描繪系統(tǒng)沖激響應(yīng)波形title('單位沖激響應(yīng)')y=step(b, a, t); %階躍響應(yīng)s

16、ubplot(212)plot(t,y) %描繪系統(tǒng)階躍響應(yīng)波形title('單位階躍響應(yīng)')xlabel('t')例4 已知某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t)+ 2y(t)+100y(t)=f(t) 其中，求系統(tǒng)的輸出y(t).解：顯然，這是一個求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的問題。其MATLAB計算程序如下： ts=0;te=5;dt=0.01;b=1;a=1 2 100;sys=tf(b,a); t=ts:dt:te; f=10*sin(2*pi*t); y=lsim(sys,f,t); plot(t,y); xlabel('Time(sec)'); y

17、label('y(t)');三、知識擴展電子電路工作時，往往在有用信號之外，還存在一些令人頭痛的干擾信號。如何克服這些干擾是電子電路在設(shè)計、制造時的主要問題之一，克服這些干擾的方法多種多樣，但很難完全克服。濾波器是一種能使有用頻率信號通過，而同時抑制無用頻率信號的電子裝置，工程上常用它來作信號處理、數(shù)據(jù)傳送和抑制干擾等。設(shè)在電子測量中，測得信號波形如圖一所示，其中包括兩部分：慢波動的有用信號和快速波動的干擾信號。如何消除或抑制這些干擾信號呢？需要設(shè)計一個系統(tǒng)來完成這個任務(wù)，系統(tǒng)的作用可用圖二來表示。系統(tǒng)的輸入是含噪信號，經(jīng)過系統(tǒng)的處理過程，系統(tǒng)的輸出信號將只保留了慢變化的有用成

18、分，而快速變化的噪聲成分得到了抑制。如何設(shè)計這個系統(tǒng)，目前，我們還沒有學(xué)習(xí)過這部分知識，還不具備這個能力。在此，給出一個大家熟悉的電路模型，如圖三所示。由電路可得系統(tǒng)微分傳輸函數(shù)為：圖一 含噪信號含噪聲信號e(t) 慢變化的有用信號r (t) 系統(tǒng)圖二 濾波器系統(tǒng)框圖圖三 濾波器系統(tǒng)電路模型選取合適的電路參數(shù)R,L,C，可使得傳輸函數(shù)為：對應(yīng)的微分方程是：這個系統(tǒng)可以起到抑制噪聲的效果。四、實驗內(nèi)容1、 編寫程序Q2_1，完成與兩函數(shù)的卷積運算。其中：在一個圖形窗口中，畫出、以及卷積結(jié)果。要求每個坐標(biāo)系有標(biāo)題、坐標(biāo)軸名稱。2、 編寫程序Q2_2。若系統(tǒng)模型為： 其中 求零狀態(tài)響應(yīng)，畫出波形。并與手工