最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)

1、第三節(jié)最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)三大性質(zhì)：線性特性、無(wú)偏性和最小偏差性一、 線性特性的含義線性特性是指 參數(shù)估計(jì)值1和馬分別是觀測(cè)值Yt或者是擾動(dòng)項(xiàng)t的 線性組合，或者叫線性函數(shù)，也可以稱之為可以用Yt或者是t來(lái)表示。 1、？2的線性特征證明(1)由之的計(jì)算公式可得：?xtytXt(Yt Y)XtYt Y xt2222XtXtXtXtYtXt22 YtXtXt需要指出的是，這里用到了1Xt(Xt X) Xt- XtnXt Xt 0因?yàn)閄t不全為零，可設(shè)bt 3,從而，bt不全為零，故？2bYt。這說(shuō)明馬是Yt的線性組Xt合。(2)因?yàn)檠?i 2Xt t,所以有2btYtbt 1 2Xt t1 bt

2、2 btXtbt t2 h t這說(shuō)明馬是t的線性組合。需要指出的是，這里用到了btXtXt22XtXt0以及xt xt XXt2Xt2XtxtX2Xt2 Xt"1XtX Xt-2Xt2、Z的線性特征證明(1)因?yàn)椋?Y馬X,所以有1 Y2X1Y XbtYtnYtaYt這里，令a這說(shuō)明？是丫的線性組合。(2)因?yàn)榛貧w模型為Yt2Xtt,所以因?yàn)閍tYtatat1atXt2Xtattat1 Xbt nX1btatXtXbt XtXt XbtXt所以,at t這說(shuō)明?是t的線性組合。至此，參數(shù)的線性特性證明完畢。問(wèn)題參數(shù)估計(jì)值線性特性的深層次含義是什么？要根據(jù)被解釋變量、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)和的隨機(jī)

3、性來(lái)理解。無(wú)偏性的含義所謂無(wú)偏性是指估計(jì)值的均值等于真實(shí)值。 在這里，無(wú)偏性是指參數(shù)估計(jì)值1和2的期望值分別等于總體參數(shù) 1和2。其數(shù)學(xué)上要求是E ?11和 E 22。證明：根據(jù)參數(shù)估計(jì)值的線性特征，我們推導(dǎo)出:at所以有:相似地,三、最優(yōu)性atat tbt tt E i Eat tE at ?E tbtE 2 Ebt tE bt ?E t（有的書本上直接稱之為最小方差性）的含義最優(yōu)性是指用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)值?和?在各種線性無(wú)例L估計(jì)中得到的方差最小。根據(jù)上述的定義，我們可以任意假設(shè)？2是用其他方法得到的總體參數(shù)Z的一個(gè)線性無(wú)偏估計(jì)。因?yàn)椋?具有線性特性，我們可以得到：?2 ctYtG

4、 i 2Xt tE ?2ECtY t E q 12Xtct E12Xt tct 1ct E 2XtctEt1Ctct 2E Xt 01ct2ctXt又因?yàn)椋?是用其他方法得到的總體參數(shù) 馬的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，所以有E,2所以由上述兩個(gè)結(jié)果，可以得到:1ct2ctXt2上述式子要成立，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件，即c2 2c3 3c2 2c4 4ct 0 和 ctXt 1現(xiàn)在求？2的方差：var ?2varctYtE2EctYt E 1丫EctYtctY? 2c2E t2ct sE E2Ect tE G 1 c222Ec1 1c2 22ctYt EctYt2EctYtctE Ytct Yt Y? 222c

5、t t2ct tc1 1c2 2 c1 1c3 3t s因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè)條件（常數(shù)方差和非自相關(guān)，即var( t) E( t E( t)2 E ；：和cov( t, s) E ( t E( t)( s E( s) E ( t 0)( s 0) E( t s) 0所以，有?2var 2u2 ctbt2bt:ctbtbt2bt ct h?2方差的最后一項(xiàng)為2bt Ct btbtCtbt2XtXtct2-2XtXt12Ct Xt IXt12(Ct Xt X 1)Xt12CtXt X Ct 1Xt0這是因?yàn)镃t 0和 GXt 1因此，有 var ?2: Q bt 2: b；很明顯，當(dāng)Ct bt時(shí)，？2方差

6、最小，此時(shí)，最小值為var ?2: bt"而在此時(shí)，有？2CtYtbtYt72即兩個(gè)估計(jì)值相等。因?yàn)椋?的最小方差等于馬的方差，即var ?2var馬，因此，我們說(shuō),?在所有線性無(wú)偏估計(jì)中的方差最小，且最小方差為:2?22 uvar g ubt 2Xt同理，我們可以證明，？在所有線性無(wú)偏估計(jì)中的方差最小，且參數(shù) 估計(jì)值的方差為:2X2uuXtvar -12-nXto由此，說(shuō)明，最小二乘估 計(jì)具有 BLUE(best linear unbiased estimation)性質(zhì)。從而在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。第四節(jié)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)一、系數(shù)估計(jì)值的特性：1、根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的線性特

7、性，我們知道系數(shù)估計(jì)值是Yt和t的線性組合。又因?yàn)閅t和t都服從正態(tài)分布，所以，我們可以自然得到兩 點(diǎn)：一是系數(shù)估計(jì)值是隨機(jī)變量（這里是在數(shù)學(xué)上再次予以證明） ； 二是系數(shù)估計(jì)值服從正態(tài)分布。從而，可以用隨機(jī)變量的一些數(shù)字特 征來(lái)表示。通常，我們采用的是均值與方差。系數(shù)估計(jì)值的均值是多少呢？根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的無(wú)偏性，我們知道，E ?i1, E42。、. ？ 一？、這說(shuō)明系數(shù)估計(jì)值1和這兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）分別等 于總體參數(shù)（實(shí)際值）。系數(shù)估計(jì)值的方差又是多少呢?我們得到了其方差，即有2u -2 xtO根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的最小方差性的證明,2 X2? u t?2.var 1 2var 弓 u

8、 tn xt至此，我們可以用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差來(lái)刻畫22X 兩個(gè)隨機(jī)變量的分布，即有：？1服從均值為1、方差為二一4的n Xt2正態(tài)分布；而2服從均值為2、方差為 T 的分布。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言Xt2u_2,2°Xt2 X 2可以描述為：？ ： N 1 -4和 : N n xt可以明顯看出的是，在系數(shù)的描述中，方差中含有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的 方差，其他我們可以得到。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是總體回歸模型中的誤差項(xiàng),無(wú)法得到，只能對(duì)其估計(jì) 二、隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的估計(jì)因?yàn)榭傮w回歸模型為：Yt 1 2Xt t而樣本回歸模型為：Yt ?Xt q從形式上看，樣本回歸模型中的殘差.可以看作隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的估計(jì)值。進(jìn)一步，

9、殘差et的方差可以作為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的方差：的估計(jì)值。樣本回歸模型為：Yt ?馬Xt q樣本回歸直線為：Y? ? ?2xt樣本回歸模型的左右兩邊減去樣本回歸直線的左右兩邊，可得：Yt Y?把這個(gè)式子重新安排一下，可以得到： e Y Y? Y Y Y? Y現(xiàn)在，重點(diǎn)要求的是et的兩個(gè)部分，即 Y? Y和Y Y。這兩 部分知道之后，才能求et的方差。對(duì)樣本回歸模型Y 2 ?2Xt et兩邊分別對(duì)t求和，再除以n, 有：2Xtet1n 1 nY11n1 n?2X出1n? 1,2net2XtetnXt -etn由前邊的正規(guī)方程組,我們?cè)?jīng)知道,占八、線上,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)講，就有:X,Y在樣本回歸直馬又，

10、因此，有2 Xt X AX對(duì)總體回歸模型12Xtt兩邊分別對(duì)t求和，再除以n,有:Yt2Xt1n1n11 n1 n所以,Yt Y2 Xt X2Xt1 n1 X2Xtn-1n tn1nt -Y12X咱.可得,2X2xtt將兩部分結(jié)合起來(lái)，現(xiàn)在，我們可以得到:etY Y? Y Y Y? YY? Y?2XtYtY2Xt可以得到：et22 xt一,（從這個(gè)式子我們可以看由什么呢？）至此，已經(jīng)將殘差與擾動(dòng)項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)了。由此,我們可以得到:2etXt2Xt22Xtxtt進(jìn)一步,有:Eet22 xtXttXt2E2EXt在這三項(xiàng)當(dāng)中，有:2u_-2Xt所以，第一項(xiàng)為42E2X2?TX第二項(xiàng)為:2221e第三

11、項(xiàng)為:212EXtt2EXt2EXt2Ebt2E2Ebt t2Ebi 12EbiXi2Eh*EHx 2btXt212t2 tXt1X22EbtXsE2EbtXtbibtE1Xtt2 E bt t EXt2 2故有E2 et(n1) 2(n2)2,也就是說(shuō)2et2 e(n 2)2如令s2eL ,(n 2)則意味著S2o這說(shuō)明S2是2的無(wú)偏估計(jì)量。前面，我們已經(jīng)求得?： N 1,2 X2u和 2 : NnXt2 u2,2Xt在？1和？的方差中都含有未知量2。這里，我們證明了 S2是2的無(wú)偏估計(jì)量，因此,可以用S22信作為2的估計(jì)值，這樣，代入得到小的方差的估計(jì)值分別為:_222 SXt2S?2-和

12、 S?1nx 2S22XtS?1廬，S?2 后分別稱為回歸模型的標(biāo)準(zhǔn)差、 參數(shù)估計(jì)值？1和3的標(biāo)準(zhǔn)差。知道了估計(jì)值的方差估計(jì)值，就可以對(duì)參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，也可以估計(jì)總體參數(shù)的置信區(qū)間。二 參數(shù)估計(jì)的顯著性檢驗(yàn)以上一節(jié)家庭消費(fèi)支由和收入之間的關(guān)系的例子來(lái)說(shuō)明，通過(guò)選取樣本，我們得到了總體參數(shù)1和2的估計(jì)值分別為2和2。通過(guò)這個(gè)估計(jì)值，我們知道了家庭消費(fèi)支由和 收入的具體數(shù)量關(guān)系?，F(xiàn)在，需要知道的是，通過(guò)樣本得到 的估計(jì)值能夠正確地反映總體參數(shù)嗎？這需要通過(guò)假設(shè)檢 驗(yàn)來(lái)做由判斷。1、 關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)指利用樣本得到的信息來(lái)判斷總體是否具有 莫種制定的特征。例如：奧藥品生產(chǎn)線上規(guī)定，每片藥片的

13、 凈重是400毫克，標(biāo)準(zhǔn)差是4毫克。今連續(xù)檢查 20片藥片, 平均藥片重量為毫克。問(wèn)藥片的重量是否已經(jīng)偏離了額定凈 重值？假設(shè)：對(duì)總體分布特征的假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)：根據(jù)樣本信息來(lái)判斷總體分布是否具有指定 的特征，這個(gè)過(guò)程叫假設(shè)檢驗(yàn)。就家庭消費(fèi)支由而言，我們關(guān)注的是家庭消費(fèi)支由與收 入之間是否真的存在回歸關(guān)系，也就是說(shuō)我們關(guān)注總體參數(shù)1和2是否不等于零。因此，我們這里的假設(shè)是對(duì)總體參數(shù)的假設(shè)，我們這里的檢驗(yàn)是對(duì)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，我們要運(yùn)用的假設(shè)檢驗(yàn)的工具是用樣本工具得到的與？和？2有關(guān)的檢驗(yàn)的工具。這就是用樣本信息來(lái)推斷總體。1、 對(duì)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) 因?yàn)槲覀冴P(guān)注的是解釋變量和被解釋變量之間的關(guān)系

14、是否真實(shí)存在，因此，我們需要檢驗(yàn)的是總體均值是否為零。對(duì)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)可分三種情況：(1)總體服從正態(tài)分布，總體 方差已知，樣本大小無(wú)限制(2)總體總體分布未知，總體 方差未知，大樣本(3)總體服從正態(tài)分布，總體 方差未知，小樣本我們這里符合的是 總體服從正態(tài)分布，總體 方差未知, 小樣本。2、用什么來(lái)檢驗(yàn)？(檢驗(yàn)工具，統(tǒng)計(jì)量)我們已經(jīng)知道，參數(shù)估計(jì)值滿足:2 X21 : N 1,-4和馬：Nn x22 T ,要盡可能利用關(guān)于？和2Xt的信息。將？和？由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量:Z 1 11 : N 01 和 Zvar 2,22 : N 0,1var馬在這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，var ?和

15、var 2我們都不知道，原因在于2:未知。但我們前邊已經(jīng)證明S2是：的無(wú)偏估計(jì)量。(n 2)2因此，對(duì)于大樣本情況，我們可以用S2信代替：，進(jìn)而求得var ?和var ?2以及S?1這樣，Z r1；var ?N 01和 Z -=2=2= : N 0,1 可 以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化 var Z為：Z -11 : N 01S?1和 Z 2 : N 01。S?2從而可以利用這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì) 總體參數(shù)1和2進(jìn)行檢驗(yàn)。（什么含義）就是說(shuō)，我們可以對(duì)比如2 進(jìn)行檢驗(yàn)。如何檢驗(yàn)?zāi)?？就是考察我們算由?lái)的統(tǒng)計(jì)量Z .2 20號(hào)是否服從 ：?2正態(tài)分布。對(duì)于一元線性回歸模型而言，我們關(guān)心的是解釋變量能否解釋被解釋變量，在數(shù)學(xué)

16、上這表現(xiàn)為2 0是否成立。因此，我們可以進(jìn)行下假設(shè):零假設(shè)H0： 20備擇假設(shè)Hi： 2 0在零假設(shè)條件下，Z日口服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, ；S?2' S?2我們用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。在一般情況下，樣本容量不滿足大樣本條件，這時(shí)要用t統(tǒng)計(jì)量，所做的檢驗(yàn)稱之為t分布檢驗(yàn)。這時(shí)t統(tǒng)計(jì)量為:?”2 行,其服從自由度為（n-2）的t分布S22. S?2關(guān)于t分布t分布的含義是隨機(jī)變量落入一定區(qū)域的概率。給定顯著性水平 和自由度（n-2）,則t落入?yún)^(qū)間t；2（n 2）,t ,2（n 2） 內(nèi)的概率為：P t 2（n 2） t t 2（n 2）1t落在tin 2）,t 2（n 2）區(qū)域之外的概率為，也可

17、以寫作：P t t,2（n 2）, 此式子等價(jià)于P t t ,.2（n 2）-和P t t 2（n 2）。見(jiàn)下圖。-t （n-2）0t （n-2）很顯然，如果計(jì)算由來(lái)的這時(shí) t統(tǒng)計(jì)量為:tWn 2）（即t統(tǒng)計(jì)量小于臨界值）,則可以認(rèn)為原假設(shè)成立，即2 0。反之，如果計(jì)算由來(lái)的這時(shí) t統(tǒng)計(jì)量為:t/2（n 2）,則可以認(rèn)為備擇假設(shè)成立，即 因此，我們通常的希望是 t統(tǒng)計(jì)量值大于臨界值。t統(tǒng)計(jì)量 值我們可以根據(jù)樣本計(jì)算由來(lái)，而臨界值可以通過(guò)查表得到。問(wèn)題：t值與P值的關(guān)系是什么？相應(yīng)地，我們可以對(duì)總體參數(shù)值1進(jìn)行檢驗(yàn)。過(guò)程為:零假設(shè)為：H0： i 0備擇假設(shè)為：H1： 2 0計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t上 ,S2

18、1分布表,得由臨界值t 2（n 2）。t.2（n 2）,則拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為三、總體參數(shù)的置信區(qū)間1、1的置信區(qū)間t 2（n 2） t t 2（n 2）111S?1代入概率公式，可得:P t 2（n 2）11S?1t 2（n 2）P t 2（n 2）S?1 t 2（n2）S?11P 彳 tin 2）S?t 2（n 2）S?11P 彳 t；2（n 2）S?1 彳 t,2（n 2）S?11用概率表述為：總體參數(shù)1在區(qū)間？ t/2（n 2）S? , ? t .,2（n 2）S?內(nèi)的概率為1。統(tǒng)計(jì)表述：區(qū)間 ？ t.；2（n 2）S? , ? t,2（n 2）S4包含總體參數(shù)1的概率為1

19、。通常說(shuō)，總體參數(shù) 1的1置信區(qū)間為:? t 2（n 2）S? , ? t 2（n 2）S? 112、相似地，總體參數(shù)2的1置信區(qū)間為：馬 t ,.2（n 2）S2 , 2 t ,2（n 2）Sv由這兩個(gè)區(qū)間，可以推斷總體回歸線所處的區(qū)域。四、決定系數(shù)（可決系數(shù)）評(píng)價(jià)回歸直線對(duì)觀察值擬合的好壞，擬合優(yōu)度是一個(gè)重要的指標(biāo)。顯然，若觀測(cè)點(diǎn)離回歸直線近，則擬合程度好，反之,則擬合程度差。測(cè)量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)（決定系數(shù)）現(xiàn)由一個(gè)恒等式開(kāi)始。Yt Y （Y? Y） （Yt Y?）這個(gè)式子把解釋變量的總偏差 Yt Y分解成兩部分：回歸偏差 或者叫可解釋偏差（y? Y）和殘差（Y Yt）兩部分之和

20、?？山忉屍钍怯蓸颖净貧w直線決定的，殘差則是隨機(jī)的。顯 然，由樣本回歸直線解釋的部分越大，則殘差越小，樣本回 歸直線與樣本值的擬合優(yōu)度就越好。而要從總體上反映樣本 回歸方程對(duì)所有樣本點(diǎn)的擬合的好壞，必須求和，考慮到正 負(fù)抵消的問(wèn)題，可以求平方和?？傠x差平方和：TSSYt Y 2回歸平方和：essY? Y2殘差平方和：RSSYt Y? 2現(xiàn)在推導(dǎo)三者之間的關(guān)系：Y；Y (Y? Y) (Y；Y?)-2c 一c 2Y； Y (Y? Y) (Y Y；)(Y? Y)2 (M Y?)2 2(Y? Y)( Y?)Y? Y 2Yt Y? 2 2(Y? Y)(Yt Y?)_ 22Y? YYt Y?這里有：2(Y

21、? Y)(Yt Y?)2? ?2Xt Yet2 ? et 2 ?2 etXt 2Y et0(會(huì)議正規(guī)方程組)所以有 Y Y 2 Y? Y2Yt Y?2。即:總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和。用公式表示為：TSS=ESS+RSS, ESS表示可以由解釋變量說(shuō)明的 偏差部分，RSS表示可以由殘差說(shuō)明的偏差部分。顯然，ESS在TSS中所占的比例越大，RSS所占的比例越小，則參數(shù)估計(jì)值的顯著性越強(qiáng)，樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值擬 合得越好。因此，可以用ESS在TSS中所占的比例說(shuō)明回歸直線與樣本觀測(cè)值的擬合程度。也即總離差中可以由回歸方程 說(shuō)明的部分?？蓻Q系數(shù)或擬合優(yōu)度可以定義為:r2.ESS_Y?

22、YTSSY Y2可決系數(shù)的取值范圍為：R2 0,1R2變化的含義是什么？四、相關(guān)分析1、 回歸分析和相關(guān)分析的區(qū)別回歸分析：性質(zhì)、變量要求相關(guān)分析：相關(guān)關(guān)系，不是因果關(guān)系。變量要求不同2、 相關(guān)分析的分類：線性相關(guān)：直觀上講，樣本點(diǎn)集中分布在一條直線附近。直線斜率為正，為正相關(guān)。直線斜率為負(fù)，則為負(fù)相關(guān)。非線性相關(guān)：樣本點(diǎn)分布在一條曲線周圍。3、 相關(guān)程度的度量一般用相關(guān)系數(shù)表示 X和Y的相關(guān)程度。總體相關(guān)系數(shù)定義為 xy二co-X，Y。 Vvar(X) Jvar( Y)總體相關(guān)系數(shù)的取值范圍：總體相關(guān)系數(shù)與樣本相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系。樣本相關(guān)系數(shù)一般用 僅丫來(lái)表示，且定義：-xtytcov X,

23、YE X X Y Y一一一I I一I VV 一 ，/一 .11一.一 I&ar(X)，var(Y)Je XX7T Je Y Y 2 _xtV； 4xn n這里有：行X Xyt=Y Y4、 相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系這里特指在一元線性回歸分析和簡(jiǎn)單相關(guān)分析中的關(guān)系。這里可決系數(shù)與相關(guān)系數(shù)有如下關(guān)系：iXy = R2 ,即 r = Vr2 o5、 計(jì)量回歸分析的規(guī)范表達(dá)第五節(jié) 預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)區(qū)間關(guān)于預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)對(duì)兩種樣本數(shù)據(jù)的作用。 對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的估計(jì)的 目的是預(yù)測(cè)。對(duì)截面數(shù)據(jù)估計(jì)的目的是為了推測(cè)未知數(shù) 據(jù)。預(yù)測(cè)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的一項(xiàng)主要任務(wù)。一、預(yù)測(cè)的點(diǎn)估計(jì)首先回顧四個(gè)方程式總體回歸模型：Y 12

24、Xt t總體回歸直線：E Yt 12Xt樣本回歸模型：Y ?0 ?Xt et樣本回歸直線：Yt 7 Z”對(duì)于樣本外的符合假定條件的一點(diǎn)X。而言，代入總體回歸模型和總體回歸直線，我們可以得到：Y)12X00 和 EY。2X0然而，由于1和2我們并不知道，因此，無(wú)從獲得丫0和E Y。但是，利用樣本回歸直線，我們可以得到Y(jié)o的估計(jì)值Y0,即Y0? NX。，求期望有：E 丫02X0E?2X01 X0 E?22X0 E Y0這說(shuō)明Y0是e Y)的無(wú)偏估計(jì)量同時(shí)，E Y E YoYo0 ,故E Y0Y0 ,這說(shuō)明喝不是Yo的無(wú)偏估計(jì)量。Yo Yo 12X0Y0Z?Xo0可得:E Yo% E i2X002X

25、0E 1，22 Xo 0E 11 XoE 2'2E0這說(shuō)明在多次觀察中,Yo%平均值趨于零，從而以 喝作為Yo的估計(jì)中心是合理的、預(yù)測(cè)的區(qū)間估計(jì) 1、E Yo的置信區(qū)間2、Yo的置信區(qū)間先求E %的置信區(qū)間因?yàn)镋 %12X0 ,所以E Yo服從正態(tài)分布。求其置信區(qū)間的關(guān)鍵是求其與 %的偏差的方差。2var E Y） Y0E EYo Y0 E E丫。 Y其中，E E Yo丫，EYoEY00（ Y0是E 丫0的無(wú)偏估計(jì)量）2所以，var E Yo Y0E E Y° Y0 ,進(jìn)一步可以與為222var EYoY?oE EYoY?oE EY?oY?oEY?oEY?ovar Y?o進(jìn)而

26、,var E Yo濡 E E Yo次2 ? VE 1122 Xo2X0Xo2E?2? Y12Xo2 2XoE ?1?22上式子中的第一項(xiàng)為:E ?1 2 E ?1E ?varX2-2- Xt上式子中的第二項(xiàng)為:_2-Xo2E?22Xo2E 2?7 2Xo varX 2 2Xo u2-Xt上式子中的第三項(xiàng)為:2XoE,11'22XoX u22xt將上述三項(xiàng)相加得到一 22 1Xo Xvar E Yo 品 U()nxt因?yàn)樯鲜街?，總體方差：可以用S2來(lái)代替從而可以得到E Yo%的方差估計(jì)值為:Var E Yo Y01 1XoVar 招S2(1 n 2X) Xt所以，根據(jù)E Yo%的分布，給

27、定顯著性水平，使用t統(tǒng)計(jì)量，則有Pt 2n 2EY。Y? t 2n 21Var%Var Y?E YoY? t 2 n 2 Var Y? 1。這說(shuō)明，E Yo的1 置信區(qū)間為:2、Yo的置信區(qū)間相似地，我們可以得到Y(jié)o品的方差估計(jì)值為2。1Xo XVar Yo Y0S2(1 1 -)nxt從而Yo的1 置信區(qū)間為：10.案例：用回歸模型預(yù)測(cè)木材剩余物伊春林區(qū)位于黑龍江省東北部。全區(qū)有森林面積萬(wàn)公頃，木材蓄積量為億nt森林覆蓋 率為%是我國(guó)主要的木材工業(yè)基地之一。1999年伊春林區(qū)木材采伐量為 532萬(wàn)按此速度44年之后，1999年的蓄積量將被采伐一空。所以目前亟待調(diào)整木材采伐規(guī)劃與方式，保 護(hù)森

28、林生態(tài)環(huán)境。為緩解森林資源危機(jī)，并解決部分職工就業(yè)問(wèn)題，除了做好木材的深加工 外，還要充分利用木材剩余物生產(chǎn)林業(yè)產(chǎn)品，如紙漿、紙袋、紙板等。因此預(yù)測(cè)林區(qū)的年木 材剩余物是安排木材剩余物加工生產(chǎn)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。下面，利用一元線性回歸模型預(yù)測(cè)林區(qū)每年的木材剩余物。顯然引起木材剩余物變化的關(guān)鍵因素是年木材采伐量。給出伊春林區(qū)16個(gè)林業(yè)局1999年木材剩余物和年木材采伐量數(shù)據(jù)如表。散點(diǎn)圖見(jiàn)圖。 觀測(cè)點(diǎn)近似服從線性關(guān)系。建立一元線性回歸模型如下：yt =o +1 Xt + Ut表年剩余物yt和年木材采伐量xt數(shù)據(jù)林業(yè)局名年木材剩余物yt （萬(wàn)m3）年木材采伐量x （萬(wàn)川）烏伊嶺東風(fēng)新青紅星五營(yíng)上甘嶺友好 翠巒 烏馬河 美溪 大豐 南岔帶嶺 朗鄉(xiāng) 桃山圖 年剩余物yt和年木材采伐量xt散點(diǎn)圖圖 Eviews輸出結(jié)果Eviews估計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖。建立Eviews數(shù)據(jù)文件的方法見(jiàn)附錄 1。在已建立Eviews數(shù)據(jù)文 件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行 OLS估計(jì)的操作步驟如下：打開(kāi)工作文件，從主菜單上點(diǎn)擊 Quick鍵，選Estimate Equation 功能。在出現(xiàn)的對(duì)話框中輸入y c x。點(diǎn)擊Ok鍵。立即會(huì)得到如圖