數(shù)值分析報(bào)告大作業(yè)2014

1、word用演？免火孝課程設(shè)計(jì)課程名稱：高等數(shù)值計(jì)算設(shè)計(jì)題目：數(shù)值計(jì)算B課程設(shè)計(jì)學(xué)號(hào)：某某：完成時(shí)間：2014年10月20日1 / 12word題目一：非線性方程求根用Newton法計(jì)算如下方程1x3X 10,初值分別為X01,X00.45,x。0.65.2x3 94x2 389x 294 0其三個(gè)根分別為13 98。當(dāng)選擇初值xo 2時(shí)給 出結(jié)果并分析現(xiàn)象，當(dāng) 5 106,迭代停止。一、摘要非線性方程的解析解通常很難給出，因此非線性方程的數(shù)值解就尤為重要。本實(shí)驗(yàn)通過(guò)使用常用的求解方法二分法和 Newton法與改良的Newton法處理幾 個(gè)題目，分析并總結(jié)不同方法處理問(wèn)題的優(yōu)缺點(diǎn)。 觀察迭代次數(shù)

2、，收斂速度與初 值選取對(duì)迭代的影響。二、數(shù)學(xué)原理構(gòu)造迭代函數(shù)的一條很重要的途徑是，用近似方程來(lái)代替原方程去求根。因 此，如果能將非線性方程用線性方程來(lái)代替的話，求近似根問(wèn)題就很容易解決， 而且十分方便。Newton法就是把非線性方程線性化的一種方法。在求解非線性方程f(x) 0時(shí)，它的困難在于f(x)是非線性函數(shù)，為克制這 一困難，考慮它的線性展開。設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為 xk,在xk處的Taylor展開式為f (x) f (xk) f (xk)(x xk)令f(x) 0,可以得到上式的近似方程f (xk) f (xk)(x xk) 02 / 12word設(shè)f(%)。，解其方程得到f (凡)Xki Xk(

3、k 0,1，)f (Xk)這就是牛頓迭代公式。用牛頓迭代公式求方程f(x) 0根的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義為，不斷用切線來(lái)近似曲線得到方程的根， 我們知道 方程f (X) 0的實(shí)根X*是函數(shù)y f (x)的圖形與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)，Xk 1是函數(shù)f (X)在 點(diǎn)(Xk，f(Xk)處的切線與X軸的交點(diǎn)，此時(shí)就是用切線的零點(diǎn)代替曲線的零點(diǎn)，因 此，牛頓迭代法又稱為切線法。三、程序設(shè)計(jì)基于MATLAB軟件編寫程序，先定義一個(gè)用 Newton法求解的功能函數(shù)，然后 調(diào)用函數(shù)用于計(jì)算不同的方程。各變量定義見程序。1、選取初值。2、利用公式求解Xk1 Xk Ex4(k 0,1，)f (Xk)3、

4、計(jì)算所得Xk 1-Xk是否滿足精度要求4、如不滿足繼續(xù)迭代運(yùn)算，如滿足如此輸出所求結(jié)果四、結(jié)果分析和討論1、第一題計(jì)算結(jié)果：首先得到函數(shù)在區(qū)間，2.5的圖像，即可知函數(shù)f(x)與x軸有交點(diǎn)，也就是 說(shuō)有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。3 / 12wordi3m中用工*式"T才Arilxotrt =t =4»J 二 Be =聾rod I.有t - 2» 【not/】 HiHtaidCQan" " "X"Il、 rcio4 .1. Rd，(1)、取初值Xo 1時(shí)得到根值，迭代次數(shù)t=4次(2)、取初值Xo 0.45時(shí)得到根

5、值，迭代次數(shù)t=42次(3)、取初值Xo 0.65時(shí)得到根值，迭代次數(shù)t=8次根據(jù)結(jié)果可以分析得到，當(dāng)使用牛頓迭 代法時(shí)，所選初始值對(duì)迭代速度迭代次數(shù) 有較大影響。當(dāng)初始值Xo充分接近方程的單根 時(shí)，可保證迭代序列快速收斂，當(dāng)初值選擇不 當(dāng)時(shí)會(huì)造成迭代次數(shù)大幅增加或不一定收斂。2、第二題計(jì)算結(jié)果：初值Xo 2時(shí)，得到根值r=-98,迭代次數(shù)” IrEtt - ffevt rnRiMrt 2( l葭 3+與 *-.？ 2為1次。皿1 0-S3根據(jù)結(jié)果可以得到，給出的迭代初值不一定會(huì)收斂于離它最近的實(shí)根，收斂速度也不一一定會(huì)慢。初值不同所得到的收斂值也不同。例如，在此題中更改初值為Xo 4時(shí)，所得

6、到的根是3,迭代次數(shù)為4次。五、完成題目的體會(huì)與收獲4 / 12word通過(guò)自己編程實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法，不僅讓我對(duì)牛頓迭代法有了更深刻的了解， 同時(shí)也鍛煉了我編程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。原本上課時(shí)不清晰的思路被理清了， 觀察計(jì)算結(jié)果之后，還對(duì)牛頓迭代法的規(guī)律和用法更加明了。希望以后能多有這樣的實(shí)踐作業(yè)。六、附錄function root,t= NewtonRoot2( f,a)%f是非線性函數(shù)%a為初值%eps為根的精度%root為求出的函數(shù)零點(diǎn)%t為迭代次數(shù)eps=5.0e-6;t=0;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);fun=diff(sym(f);fa=subs(

7、sym(f),findsym(sym(f),a);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),a);root=a-fa/dfa;tol=abs(root-a);while(tol>eps)t=t+1;r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),r1);root=r1-fx/dfx;5 / 12wordtol=abs(root-r1);endend題目二：線性方程組求解有一平面機(jī)構(gòu)如下列圖，該機(jī)構(gòu)共有 13條梁圖中標(biāo)號(hào)的線段由8個(gè)較接點(diǎn)圖中標(biāo)號(hào)的圈聯(lián)結(jié)在一

8、起。上述結(jié)構(gòu)的 1號(hào)較接點(diǎn)完全固定，8號(hào)較接點(diǎn)豎 立方向固定，并在2號(hào)、5號(hào)和6號(hào)較接點(diǎn)，分別有如下列圖的10噸、15噸和 20噸的負(fù)載，在靜平衡的條件下，任何一個(gè)較接點(diǎn)上水平和豎立方向受力都是 平衡的，以此計(jì)算每個(gè)梁的受力情況。6 / 12word101520令1/J2,假設(shè)f為各個(gè)梁上的受力，例如對(duì)2號(hào)錢接點(diǎn)有：f2 f6> f3 10對(duì)3號(hào)錢接點(diǎn)有：f1f5 f4、f1f5 f3 0對(duì)4號(hào)錢接點(diǎn)有：f4 f8、f7 0對(duì) 5 號(hào)錢接點(diǎn)有：f9f5 f7 15、f5 f6f9 f10對(duì)6號(hào)錢接點(diǎn)有：f10 f13、fn 20對(duì) 7 號(hào)錢接點(diǎn)有：f12f9 f8、f12f9 f11 0

9、對(duì)8號(hào)錢接點(diǎn)有：f12 f13 0一、摘要對(duì)于實(shí)際的工程問(wèn)題，很多問(wèn)題歸結(jié)為線性方程組的求解。本實(shí)驗(yàn)通過(guò)實(shí)際 題目掌握求解線性方程組的數(shù)值解法， 這里采用雅克比迭代法，如不收斂，再采 用高斯列主元消去法。二、數(shù)學(xué)原理1、雅克比迭代法設(shè)有一個(gè)n元線性方程組a11X1 812X2 anXn 6a21X1822X2 a2nXn b20,i 1,2，,n。由上式an1X1 an2X2 annXn它的矩陣形式為AX B,如果A (aij)nn非奇異，且叫7 / 12可以得到xi 一(baiiwordaijxj) (i 1,2,.,n)11而其相應(yīng)的迭代公式為x (bia4Xj(k) (i 1,2,.,

10、n)j 1j 1把上式迭代公式稱為Jacobi(雅克比)迭代。由于迭代存在收斂性，所以把分量形式的迭代公式改寫成矩陣形式。記即a2200a12.a1ra210,0.a2.an1.an2.0.0nnann如此A D L U .方程組Ax b改寫成x D 1(LU)xD 1b與其相應(yīng)的矩陣形式的迭代公式為x(k 1) D 1(L U )xk D 1b也可以簡(jiǎn)單地記為(k 1)kxBjX fj式中，Bj D 1(L U) ; fjd 1b，上兩式也稱為Jacobi迭代。同時(shí)稱Bj為Jacobi迭代矩陣。2、高斯列主元消去法在消元過(guò)程進(jìn)展到第k步時(shí)，寫出其相應(yīng)的增廣矩陣，可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)第k個(gè)方程與后面

11、的n k個(gè)方程的地位并沒(méi)有區(qū)別，因此選擇第k列的元素 ai(kk)(ik,k 1,.,n)中絕對(duì)值最大的元素作為主元，即令a：max 鼠"k i n8 / 12word如果這時(shí)候a(kk)=0 ,那么矩陣就奇異不可逆，方程的解也不確定，只有停止 計(jì)算；否如此，當(dāng)r k,如此其增廣矩陣換第k行和第r行，即a；k)a：k)(j k,k 1,.,n)使a會(huì)成為主元，然后再按高斯消去法進(jìn)展消元運(yùn)算。上述這種消去法稱為 高斯列主元消去法。三、程序設(shè)計(jì)把方程組整理為矩陣形式:000010 000000000001010001000010000000000000010000000000000000

12、0000000010000000 f00000101001010000000100100150 000020 000 1 00 10 000 0 1000 010000000000000000100000000000000000000000000此題我先采用了雅克比迭代法進(jìn)展計(jì)算,所得結(jié)果發(fā)散，因此采用高斯列主元消去法計(jì)算1、輸入數(shù)據(jù)A和b,置det=1o2、對(duì)于k 1,2,., n 1作，按列選主元、交換兩行、消元計(jì)算3、置 det ann det。4、輸出線性方程組的解。四、結(jié)果分析和討論得到結(jié)果，各個(gè)梁的受力情況分別為：-28.2843、20.000010.0000、-30.0000、

13、14.1421、20.0000、0、-30.0000、7.0711、-51. 94320.QOOQ10. fflHOi-30-000Q 露 U2I 也 aooo7.07 I2n. MQQ7 口知25.QOOQ9 / 12word25.0000、20.0000、-35.3553、25.0000單位：噸由結(jié)果分析，高斯列主消元法能準(zhǔn)確的計(jì)算出該線性方程組的解。五、完成題目的體會(huì)與收獲在解決本道題目的時(shí)候，我受到了重重困難。剛開始我并未考慮使用迭代法 的收斂條件，便使用雅克比迭代法進(jìn)展計(jì)算，但在經(jīng)過(guò)屢次嘗試后，才發(fā)現(xiàn)該方 法不收斂，改用高斯列主消元法來(lái)計(jì)算。這讓我吸取了深深的教訓(xùn)。在今后的學(xué) 習(xí)中，

14、注意每種方法的使用限制條件，收斂條件等，真正學(xué)而會(huì)用，才能徹底掌 握知識(shí)。六、附錄高斯列主消元法：function x= Gauss(A,b)n,m=size(A);det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1max1=0;for i=k:nif abs(A(i,k)>max1max1=abs(A(i,k);r=i;endendif r>kz=A(k,:);A(k,:)=A(r,:);A(r,:)=z;z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;endfor i=k+1:n10 / 12wordm=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(i,j)= A(i,j)-m* A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n);for k=n:-1:1for j=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/A(k,k);endx(k)=b