搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球教師版

1、八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義1 .球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球2 .外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球3 .內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球 .二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1 .性質(zhì)：性質(zhì)1:過(guò)球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2:經(jīng)過(guò)小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過(guò)球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3:過(guò)球心與小圓圓心的直線垂直于小圓

2、所在的平面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4:球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5:在同一球中，過(guò)兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）2 .結(jié)論: 結(jié)論1 :長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論2:若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同;結(jié)論3:長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論4:圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓

3、心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6:直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7:圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9:側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球3 .終極利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（ 解三角形求線段長(zhǎng)度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1 .若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）2 .內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比

4、：與多邊形的內(nèi)切圓）.3 .正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合4,正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合5.基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）AB圖1-4圖1-3方法:Rb2c ,即 2R找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2.22va b c ,求出（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（A.16. 32解:4 16 24 , S 24 ，選 G222

5、22V ah 16, a 2, 4R a a h(2)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為察,則其外接球的表面積是解:4R2 3 33 9, S 4 R2 9(3)在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且AMMN,若側(cè)棱SA 2J3,則正三棱錐SABC外接球的表面積是36解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互相垂直 .證明如下：如圖（3） -1 ,取AB,BC的中點(diǎn)D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形ABC的中心,（3）題-1（引理）SH平面ABC ,SH AB,題-2 （解答圖）AC BC, AD BD, CD AB, AB 平面 SCD

6、,AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱錐的對(duì)棱互垂直,本題圖如圖(3)-2, AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,(2R)2 (2 .3)2 (2,3)2(2J3)2 36,即4R2 36 ,正三棱錐S ABC外接球的表面積是 36 .(4)在四面體S ABC中,SA平面 ABC , BAC 120 ,SAAC 2, AB 1,則該四面體的外接球的表面積為(D )A.11B.7D.竺3解：在 ABC中,BC

7、2AC2AB2 2AB BCBCABC的外接球直徑為c BC2r sin BAC273，42-(2R)(2r)c0s1207 ,40S 340，選D3(5)如果二棱錐的二個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b, c ( a,b,c Rab 12bc 8 , abc 24 , a 3 , b 4, c2, (2r)2 a2 b2229, S 4 R 29 ,ac 6(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體外接球的體積為解：(2R)2b2 c3,R2、,33

8、.3.32(6)題直觀圖類型二、對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長(zhǎng)方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑(AB CD , AD BC , AC BD )第一步：畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱;第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,ADABCDAC BD z,列方程組,2ab22cb22c2a2x2y2z2(2R)2. 22abc2y2x圖2-1補(bǔ)充：2-1 中,VA BCDabc 1abc6第三步：根據(jù)墻角模型，2R2.22a b c求出R.思考：如何求棱長(zhǎng)為a的正四面體體積，如何求其外接球體積?例2 (1)如下圖所示三棱錐 A BCD ,其中AB CD

9、5, AC BD 6, ADBC7,則該三棱錐外接球的表面積為解：對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖2-1 ,設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c, 2(a2b2c2)25 36 49 110,2222a b c 55, 4R 55, S 55(i)題圖(2)在三棱錐A BCD中，AB29CD 2, AD BC 3, AC BD 4,則三棱錐 A BCD 外接球的表面積為解：如圖2-1 ,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a, b,c ,貝U a2 b2 9 ,b2c24,c2a2 162(a2b2c2)9 4 16 29, 2(a2b2 c2) 94 16 29,K2 2 29229c

10、b c ,4R ,S2229(3)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為<2 ,則該正面體外接球的體積為 34 3.3 . 3解：正四面體對(duì)棱相等的模式，放入正方體中,2R , 3 , R ，V 2382(4)棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是(4)題解答圖解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為PCO1 ,面積是寸2 .類型三、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)圖3-2AB AC AA1 2 , BAC 120 ,則此h , 3, 4R2 12 (. 3)2 4題設(shè)：如圖3-1，圖3-2 ,圖3-3,直三棱柱內(nèi)接

11、于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形)第一步：確定球心 O的位置，O1是 ABC的外比 則OO1 平面ABC； 11 ,第一步：算出小圓O1的半徑AO1r , OO1 - AA1-h( AAh也是圓枉的局)；22第三步：勾股定理：OA2 OiA2OiO2R2(-)2 r2 RJr2 (-)2 ,解出R22例3 (1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 9,一、. 且該六棱柱的體積為9,底面周長(zhǎng)為3 ,則這個(gè)球的體積為81解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為 a,正六棱柱的圖為 h,底面外接圓的半徑為 r ,則a 2正六棱柱的底面積為

12、 S 6(-)2 311,V柱 Sh至3h 9,42888331也可R2()2 ()2 1), R 1,球的體積為V球22(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若球的表面積等于解：BC 2網(wǎng),2r 2"34, r 2, R V5, S 20 :sin120(3)已知 EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60，則多面體E ABCD的外接球的表面積為 16解：折疊型,法一： EAB的外接圓半徑為r1 J3, OO1 1, R寸丁石 2；3c c 13 c23134, R 2, S表 16 ;法一 O1M , 2O

13、2 D , R 224 4法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式,算法可同上，略,換一種方式，通過(guò)算圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)來(lái)求球的直徑:(2R)2 (2,3)222 16, 1 16 ；（4）在直三棱柱 ABC AB1cl中,AB4, AC 6, A1AAi3則直三棱柱ABC A1B1G的外接球的表面積為1603解:法一：BC2 16 3628,2 7BC 2.7, 2r "T4, 73，R22AA1 2 28r (1)- 42340一,Su3160法二：求圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)得球直徑，此略第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一一正

14、弦定理求大圓直徑是通法）1.如圖4-1 ,平面PAC 平面ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）第三步：勾股定理： OA2 OiA2 O1O2R2 (h R)2 r2,解出R；事實(shí)上，ACP的外接圓就是大圓，直接用 正弦定理也可求解出R.2.如圖4-2 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC

15、(即AC為小圓的直徑)，且PA AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)22R V PA2(2r)2 ; R2 r2 OO12R . r2 OO123 .如圖4-3,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)OC2 O1C2 O1O2R2 r2 O1O2AC 2 R2 O1O24 .題設(shè)：如圖4-4 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心 。必是 PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 -a- -b- 2R,求出R.sin A sin B

16、 sin C例4 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上， 若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2 J3,則該球的表面積為 -解：法一：由正弦定理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2_2R 7, S 4 R 49(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 J2 ,各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為 解：方法一：找球心的位置，易知r 1 , h方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是41, h r ,故球心在正萬(wàn)形的中心 ABCD處，R 1, V 一3SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑,42R 2, R 1 , V (3) 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上

17、，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是()43解：高h(yuǎn) R 1,底面外接圓的半徑為R 1,直徑為2R 2,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a ,則2Rasin 602, a.3 2 3 - 3 1八，3a ,二梭錐的體積為 V - Sh ；443412（4）在三麴隹P ABC中，PA PB PC J3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（A.B.C. 4解：選D,由線面角的知識(shí)，得 ABC的頂點(diǎn)3.一 _ .A, B,C在以r 2為半徑的圓上，在圓錐中求解，R 1 ；2（5）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2

18、 ,則此棱錐的體積為（B ,3B.6D.,22解：OO1R2 r22、, 63,3 2、6. 2類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1 .題設(shè)：如圖5, PA 平面ABC,求外接球半徑.解題步驟:第一步：將 ABC畫(huà)在小圓面上,A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑連接PD ,則PD必過(guò)第二步：O1為 ABC的外心，所以O(shè)O1平面ABC ,算出小圓O1的半徑O1Dr （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得sin A sin B sinC12r), OO1 PA ； 2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)2 2R P PA2 (2r)2 ； R2r2 O

19、O12R . r2OO12 .102.題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的二條側(cè)棱相等二棱錐P ABC的底面頂點(diǎn). p2 上 aLABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的ZVB/ B 圖5-1圖5-2圖5-3PPb,絲?c£圖5-6圖5-7解題步驟：鏟步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h (也差第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 (h R)2 r2 ,解出方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑./B X

20、圖5-4p 仁圖5-8吉圓錐的高)；R例5 一個(gè)兒何體的二視圖如圖所不，則該兒何體外接球的表面枳為A. 3B. 2C. 16D.3八八 22正視圖側(cè)視圖/O 飛()C以上都不對(duì)P_ 二 O；iyN11俯視圖解答圖解：選C,法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上,PMN的外接圓是大（3 R）2 1 R2, R 3 S 4 R2 16 ； ,33法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形一一24.圓，于2 R,下略；sin 60. 3第三講二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）圖6第一步：

21、先畫(huà)出如圖 6所示的圖形，將 BCD畫(huà)在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心HDH2;第二步：過(guò)H/口 H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 O,連接OE,OC ；12第三步：解 0EH1,算出0H1,在Rt OCH1中，勾股定理： OH；CH12oc2注：易知O,Hi,E,H2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略 例6 (1)三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和 ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P ABC外接球的半徑為解：如圖，2rl 2r22sin 604 , r1,3r2O2H221法二:o2h.153,3'AH1,r2ao22_2AH 01

22、H20102,153 '(2)在直角梯形 ABCD中,AB/CD ,體A BCD ,使平面ABD平面P(1)題會(huì)02H45 , ABAD 1,沿對(duì)角線BD折成四面BCD ,若四面體 A BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為(2)題-1解：如圖，易知球心在 BC的中點(diǎn)處，S表4(3)在四面體S ABC中，AB BC, ABBC四,二面角S AC B的余弦值為.3，則四3面體S ABC的外接球表面積為2)解：如圖，法一： cos SQB cos( OO1O213sin OO1O2,cos OO1O2 33“O1O2后-2 , 1OO1, R 1cos OO1O222法二：延長(zhǎng) B

23、O1 D 使 DO1 BO1 r1,(4)在邊長(zhǎng)為2J3的菱形ABCD中，面體ABCD ,則此四面體的外接球表面積為3 c 2 C,S 4 R 6 ;2由余弦定理得 sb J6,sd J2,大圓直徑為2r sb J6 ；BAD 60 ,沿對(duì)角線BD折成二面角A BD C為120的四 28A，;0E：匚：、B .三C(4)題圖解：如圖，取BD的中點(diǎn) M , ABD和 CBD的外接圓半徑為r12,ABD和CBD的外心0仆02到弦BD的距離(弦心距)為 di d2 1 ,法一：四邊形001Mo2的外接圓直徑OM 2, R J7, S 28法二：OO1再，R <7 ；法三：作出CBD的外接圓直徑

24、CE,則AM CM 3, CE 4,ME1, AE14cos AEC 7 16 27 2.7 413 3sin AEC , 2R 2.72. 7sinAC_ AECIjlR2.7(5)在四錐ABCD中,BDA 120 , BDC 150 , AD BD2, CD面角A BD C的平面角的大小為120 ,則此四面體的外接球的體積為解：如圖，過(guò)兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心,抽象化(5)題解答圖-1(5)題解答圖-2AB 2.3,2 ,弦心距02MBC ,13 , r1v113 ,弦心距01M2 3,0102. 21 , 0MO1O2sin 120法一：R2 0D2MD2 0M2 29

25、,116 . 293法二：00； 0M 202M 2 25R2OD2 r2200；116. 293類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型C圖7題設(shè)：如圖7, APB ACB 90 ,求三棱錐P ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)0,151連接OP,OC ,則OA OB OC OP AB, O為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中 2求出半徑)，當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4,BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC D ,則四

26、面體ABCD的外接球的體積為A 125A. 12125125125解：(1) 2RAC 5, R95一,V2R364125(2)在矩形ABCD中,AB 2, BC383,沿BD將矩形125/,選C6ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A BCD的外接球的表面積為 解：BD的中點(diǎn)是球心 O, 2R BD v13 , S 4 R2 13 .第四講多面體的內(nèi)切球問(wèn)題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題1.題設(shè)：如圖8-1 ,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；1 _第一步：求DH -BD , PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3

27、第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式： 旭 PO,解出rDH PD圖8-22.題設(shè)：如圖8-2,四棱錐P ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；1 一-第一步：求FH BC, PO PH r , PF是側(cè)面 PCD的高; 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG 生，解出HF PF163.題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ,建立等式：VP ABCVOABCVO PAB V

28、O PACVO PBC1111VPABC 二 SABC r 二 SPABr 二 SPACr 二 SPBCr33331二(S ABCS PABSPAC3S PBC ) r第三步：解出r3Vp ABCSO ABCSO PABSO PAC & PBC例8 (1)棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球表面積是解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r ,將正四面體放入棱長(zhǎng)為的正方體中(即題補(bǔ)形為正方體)，如圖,1VP ABCV正方體3又VP ABC41Sr33 2- 3 2a2 r a2r ,3a2r32,6,內(nèi)切球的表面積為物4 r2a一(注：還有別的方法，此略)6則其內(nèi)切球的半徑為S ABCD的體積為VS abcdS ABCD(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,解：如圖，正四棱錐S ABCD的高h(yuǎn) J7,正四棱錐側(cè)面斜高h(yuǎn)i 2 <2 ,正四棱錐S