理論力學(xué)9—動量矩定理3.

1、由速度合成定理有由速度合成定理有iCivvvCiiiLrmv 0i iCmrmr9.5 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系在相對動坐標系的運動中對質(zhì)心的動量矩質(zhì)點系在相對動坐標系的運動中對質(zhì)心的動量矩與在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系：與在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系：rirCmiyyxzCOxzviriCiiiLrmv ()iiCirm vv i iCiiimrvrmv CrCLL 質(zhì)點系在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩質(zhì)點系在絕對運動中對質(zhì)心的動量矩，等于質(zhì)點系在相對質(zhì)心平移坐標系的運動等于質(zhì)點系在相對質(zhì)心平移坐標系的運動中對質(zhì)心的動量矩中對質(zhì)心的動量矩。C

2、iiiiiiLrmvrmv riiiCrmvL質(zhì)點系對于固定點的動量矩質(zhì)點系對于固定點的動量矩,iiCiiiCmvmvrmvLrirCmiyyxzCOxzviri質(zhì)點系對任一定點質(zhì)點系對任一定點O的動的動量矩為量矩為OCiiiLrrmvCiiiiirmvrmvOCCCmLrvLOCCCmLrvL即即: 質(zhì)點系對任一定點質(zhì)點系對任一定點O的動量矩等于集的動量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量mvC對于點對于點O的動量的動量矩再加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動量矩矩再加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動量矩LC (應(yīng)應(yīng)為矢量和為矢量和)。rirCmiyyxzCOxzviri展開上式展開上式, 注意右端項中注意右

3、端項中(e)dd()ddOCCCiimtt LrvLrF質(zhì)點系對于定點質(zhì)點系對于定點O的動量矩定理可寫成的動量矩定理可寫成iCir = r + r于是上式化為于是上式化為質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理rirCmiyyxzCOxzviri(e)(e)ddd()dddCCCCCCiiimmttt rLvrvrFrFd,dCCtrv因為因為(e)dd()ddOCCCiimtt LrvLrF(e)d()dCimt vF0,CCmvv質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理即即: 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 等于作

4、用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。主矩。質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理(e)ddCiit LrF上式右端是外力對質(zhì)心的主矩上式右端是外力對質(zhì)心的主矩, 于是得于是得(e)d()dCCit LMF于是上式成為于是上式成為由剛體平面運動理論知：取由剛體平面運動理論知：取質(zhì)心為基點質(zhì)心為基點，剛體的平面運，剛體的平面運動可分解為動可分解為隨同質(zhì)心的平移隨同質(zhì)心的平移和和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。兩部分。CCJL JC 為剛體對過為剛體對過C垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動慣量。垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動慣量。9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動

5、微分方程yxxyOCD取如圖平移動坐標系取如圖平移動坐標系, 剛體剛體對質(zhì)心軸的動量矩為對質(zhì)心軸的動量矩為由由質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理和和相對相對質(zhì)心軸的動量矩定理質(zhì)心軸的動量矩定理得得(e)Cim aF(e)d()()dCCCiJJMt F上式也可寫成上式也可寫成2(e)2ddCimt rF2(e)2d()dCCiJMt F9.6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程yxxyOCD以上兩式稱為以上兩式稱為剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程。應(yīng)用。應(yīng)用時時, 前一式通常取其投影式。即前一式通常取其投影式。即(e)(e)(e)()CxxCyyCCimaFmaFJM F9.6 剛

6、體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程例例7 一均質(zhì)圓柱體一均質(zhì)圓柱體, 質(zhì)量為質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r，無初，無初速地放在傾角為速地放在傾角為q q 的斜面上，的斜面上，不計滾動摩阻不計滾動摩阻，求其質(zhì)心的加速度。求其質(zhì)心的加速度。解解: 以圓柱體為研究對象。圓柱體在斜面上的以圓柱體為研究對象。圓柱體在斜面上的運動形式，取決于接觸處的光滑程度，可分運動形式，取決于接觸處的光滑程度，可分為以下為以下三種情況三種情況進行討論進行討論: Cq q(1) 設(shè)接觸處完全光滑設(shè)接觸處完全光滑此時圓柱體作平移，由質(zhì)心此時圓柱體作平移，由質(zhì)心運動定理運動定理即即sinCagqq qCxyO(e)Cxx

7、maF sinCmamgqCq qaCFNmg(e)()00CCiJM F(2) 設(shè)接觸處足夠粗糙，使圓柱體作純滾動，列設(shè)接觸處足夠粗糙，使圓柱體作純滾動，列出平面運動微分方程出平面運動微分方程:SsinCmamgFq2sin3Cagq解得解得S11sin23CFmamgqFs由純滾動條件有由純滾動條件有Carq qCxyaCOFNmg2S12mrF rN0cosFmgq S11sin23CFmamgq由于圓柱作純滾動由于圓柱作純滾動, 故故SmaxNcosFFf Ff mgqFS所以所以1cossin3f mgmgqq1tan3fq這就是圓柱體在斜面上作純滾動的條件。這就是圓柱體在斜面上作純

8、滾動的條件。q qCxyaCOFNmg (3) 設(shè)圓柱體不滿足在斜面上作純滾動的條件設(shè)圓柱體不滿足在斜面上作純滾動的條件1tan3fq設(shè)圓柱體沿斜面滑動的動摩擦系數(shù)為設(shè)圓柱體沿斜面滑動的動摩擦系數(shù)為f , 則滑則滑動摩擦力動摩擦力dNcosFf Ff mgq于是于是(sincos )Cagfqq圓柱體在斜面上既滾動又滑動圓柱體在斜面上既滾動又滑動, 在這種情況下在這種情況下, aCr Fdq qCxyaCOFNmgdsinCmamgFq 綜合題綜合題5 半徑為半徑為r的均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為的均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為m, 放在放在粗糙的水平面上粗糙的水平面上, 如圖所示。設(shè)其質(zhì)心如圖所示。設(shè)其質(zhì)心C初速

9、度初速度為為v0, 方向水平向右方向水平向右, 同時圓柱體繞圖示方向轉(zhuǎn)動同時圓柱體繞圖示方向轉(zhuǎn)動, 其初角速度為其初角速度為 0, 且有且有r 0v0。如果動摩擦系數(shù)。如果動摩擦系數(shù)為為f, 問經(jīng)過多少時間問經(jīng)過多少時間, 圓柱體才能只滾不滑地向圓柱體才能只滾不滑地向前運動前運動, 并求該瞬時圓柱體中心的速度。并求該瞬時圓柱體中心的速度。C 0v0C 0v0aC mgFNFd解解: 圓柱體運動開始時作加速轉(zhuǎn)動，但質(zhì)心卻圓柱體運動開始時作加速轉(zhuǎn)動，但質(zhì)心卻在減速運動。分析受力和運動如圖所示。在減速運動。分析受力和運動如圖所示。由平面運動微分方程得由平面運動微分方程得dCmaFN0Fmg2d12m

10、rFrCxxmaF (e)()CCiJM FCyymaF C 0v0aC mgFNFddCmaFN0Fmg2d12mrFrdNFf Ffmg由運動學(xué)條件得由運動學(xué)條件得Cafg2 fgr0Cvva t0t求得滑動摩擦力求得滑動摩擦力代入另外兩個微分方程得代入另外兩個微分方程得C 0v0aC mgFNFS0Cvva t0t圓柱體只滾不滑地向前運動時圓柱體只滾不滑地向前運動時00()Cva trt003vrtfg000000233Cvrvrvva tvfgfgv r 例例8 行星齒輪機構(gòu)的曲柄行星齒輪機構(gòu)的曲柄OO1受力矩受力矩M作用而繞作用而繞固定鉛直軸固定鉛直軸O轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 并帶動齒輪并帶動齒

11、輪O1在固定在固定水平齒水平齒輪輪O上滾動上滾動, 如圖所示。設(shè)曲柄如圖所示。設(shè)曲柄OO1為均質(zhì)桿為均質(zhì)桿, 長長為為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m1；齒輪；齒輪O1為均質(zhì)圓盤為均質(zhì)圓盤, 半徑半徑r、質(zhì)、質(zhì)量為量為m2。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。沿切線方向的力。 解解: 以曲柄為研究對象以曲柄為研究對象, 曲柄作定軸轉(zhuǎn)動曲柄作定軸轉(zhuǎn)動, 列出列出定軸轉(zhuǎn)動微分方程定軸轉(zhuǎn)動微分方程 21t11(1)3mlMF lMO1O Fn1Ft1FnFtOO1M由運動學(xué)關(guān)系由運動學(xué)關(guān)系, 有有t1(4)arl聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1) (4), 得得2126(29)

12、Mmm l2t2123(29)m MFmm lO1Fn1Ft1Ft2Fn2atan 1 12tt1t2(2)m aFF221t21(3)2m rF r取齒輪取齒輪O1分析分析, 齒輪齒輪O1作平面運動作平面運動MO1O Fn1Ft1FnFt例例9 均質(zhì)桿質(zhì)量為均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為，長為l，在鉛直平面內(nèi)一，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面、另一端沿著鉛垂墻壁從圖示端沿著水平地面、另一端沿著鉛垂墻壁從圖示位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力。瞬時，地面和墻壁對桿的約束力。yBq qCAx解解: 以桿以桿AB為研究對象為研究對象,

13、分析受力。分析受力。yBq qCAxBq qCAFAFB桿作平面運動桿作平面運動, 設(shè)質(zhì)心設(shè)質(zhì)心C的加速的加速度為度為aCx、aCy, 角加速度為角加速度為。 aCxaCy由剛體平面運動微分方程由剛體平面運動微分方程mgsincos(3)22CABllJFFqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFABCqCxaCyaAatACaxy以點以點C為基點，則點為基點，則點A的加速度為的加速度為tnACACACaaaa在運動開始時，在運動開始時， ， 故故 ，將上式投影到將上式投影到 軸上，得軸上，得0n0ACayt0sinCyACaaq所以所以tsinsin2CyAClaaqq（4）運動學(xué)分析運

14、動學(xué)分析CxaCyaABCCxaCyaqBatBCaxy再以點再以點C為基點，則點為基點，則點B的加速度為的加速度為tnBCBCBCaaaa同理，在運動開始時，同理，在運動開始時， ，故，故 ，將上，將上式投影到式投影到x軸上，得軸上，得0n0BCat0cosCxBCaaq所以所以tcoscos2CxBClaaqq（5）CxaCya或者由直角坐標法求出或者由直角坐標法求出補充表達式補充表達式:sin ,cos22CCllxyqqcos,sin22CCllxyq qq q 22sincos,cossin2222CCllllxyq qq qq qq q 運動開始時運動開始時, , 故故0qcos

15、,sin22CxCCyCllaxayqq yBq qCAx聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1) (5)式式, 并注意到并注意到2121mlJC可得可得3sin2glq23(1sin)4AFmgq3sincos4BFmgqqtsinsin(4)2CyAClaaqq tcoscos(5)2CxBClaaqqsincos(3)22CABllJFFqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFyBq qCAx例例10 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B質(zhì)量為質(zhì)量為m, 半徑為半徑為r。一繩。一繩繞在圓柱體繞在圓柱體A上上, 繩的另一端繞在圓柱體繩的另一端繞在圓柱體B上。上。求求B下落時質(zhì)心下落時質(zhì)心C的加速度。（的加速度。

16、（習(xí)題習(xí)題9-22）解解: 取圓柱體取圓柱體A分析分析, 受力如圖。受力如圖。A作定軸作定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程有微分方程有T(1)OAJF rOABC A AFTmgFOxFOyOAT(1)OAJF rT(2)CmamgFT(3)CBJF r其中其中212OCJJmrOABCFTmg B BCDBaC取圓柱體取圓柱體B分析分析, 受力如圖。受力如圖。B作平面運動。應(yīng)用平面運作平面運動。應(yīng)用平面運動的微分方程有動的微分方程有TT,OCJJFF注意到公式注意到公式（）和（）（）和（）和和得得AB A AFTmgFOxFOyOA A AttDCDCaaa gaC54DaDt

17、aDCtAOCBaC B B取取C為基點為基點, 分析圓柱體分析圓柱體B上上D點的點的切向加速度切向加速度，向垂直，向垂直方向投影方向投影解得解得2Car aCT(2)CmamgF代入公式代入公式T(3)CBJF r綜合題綜合題1 均質(zhì)細桿均質(zhì)細桿AB長為長為l，A端鉸接，端鉸接， D點點用鉛直繩用鉛直繩DE將桿保持在水平靜止狀態(tài)將桿保持在水平靜止狀態(tài), 如圖。如圖。欲使繩斷開時鉸鏈欲使繩斷開時鉸鏈A的反力保持不變，的反力保持不變， 懸掛點懸掛點D至至A端的距離端的距離d應(yīng)為多大？應(yīng)為多大？解解: 細桿靜止時受力如圖。細桿靜止時受力如圖。d ABDEmgFAxFAyADCBFD0,0 xAxF

18、F()0()02DAyMlmgdFdF2AymglFmgd t1CAymamgFABC繩斷時桿繞繩斷時桿繞A軸作定軸轉(zhuǎn)動軸作定軸轉(zhuǎn)動, 此時角速度為此時角速度為0。運。運動和受力分析如圖所示動和受力分析如圖所示, 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程得由定軸轉(zhuǎn)動微分方程得: 12AJmglatC即即: 21132mlmgl32gl再由質(zhì)心運動定理可得再由質(zhì)心運動定理可得: mgFAx1FAy1ACBt1CAymamgF令令1AyAyFFt34CaACg其中其中114AyFmg得得42mgmglmgd即即23dl得得 ABCatCmgFAx1FAy1ACB綜合題綜合題2 2 提升裝置中，輪提升裝置中，輪A、B的重

19、量分別為的重量分別為P1 、 P2 ，半徑分別為，半徑分別為 r1 、 r2 ，可視為均質(zhì)圓，可視為均質(zhì)圓盤盤，物體物體C 的重量為的重量為P3 ， 輪輪A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求物體。求物體C上升的加速度。上升的加速度。 取輪取輪B 連同物體連同物體C 為研究對象為研究對象,采用動量矩定理采用動量矩定理 (2) )21(dd232T232222rPrFvrgPrgPt 補充運動學(xué)條件補充運動學(xué)條件 112222 ,rarvr(1) 211T11211rFMrgP解解: 取輪取輪A 為研究對象為研究對象，利用剛體定軸轉(zhuǎn)動方，利用剛體定軸轉(zhuǎn)動方程程 (2) )21(dd232T2322

20、22rPrFvrgPrgPt 化簡化簡(1) 得：得： 化簡化簡(2) 得：得： 3T3222PFagPPT1112FrMagPgPPPPrMa22/321311(1) 211T11211rFMrgPO綜合題綜合題4 4 平板質(zhì)量為平板質(zhì)量為m1，受水平力，受水平力F 作用而沿水作用而沿水平面運動，板與水平面間的動摩擦系數(shù)為平面運動，板與水平面間的動摩擦系數(shù)為f ， 平板上放一質(zhì)量為平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱，的均質(zhì)圓柱， 它相對平板它相對平板只滾動不滑動，只滾動不滑動， 求平板的加速度。求平板的加速度。 解解: 取圓柱分析取圓柱分析, 建立如圖坐標。建立如圖坐標。21Om aF于是得于是得: 1N1222,FFm gm r122OFaaramFN1F1m2gaaO xy