整編壓桿穩(wěn)定計(jì)算

1、第16章壓桿穩(wěn)定16.1 壓桿穩(wěn)定性的概念在第二章中，曾討論過受壓桿件的強(qiáng)度問題，并且認(rèn)為只要壓桿滿足了強(qiáng)度條件，就能保證其正常工作。 但是，實(shí)踐與理論證明， 這個(gè)結(jié)論僅對短粗的壓桿才是正確的， 對細(xì)長壓桿不能應(yīng)用上述結(jié)論，因?yàn)榧?xì)長壓桿喪失工作能力的原因，不是因?yàn)閺?qiáng)度不 夠，而是由于出現(xiàn)了與強(qiáng)度問題截然不同的另一種破壞形式，這就是本章將要討論的 壓桿穩(wěn)定性問題。當(dāng)短粗桿受壓時(shí)（圖16-1a）,在壓力F由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持原 有的直線平衡形式， 直到壓力F達(dá)到屈服強(qiáng)度載荷 Fs （或抗壓強(qiáng)度載荷 Fb）,桿件發(fā)生 強(qiáng)度破壞時(shí)為止。但是，如果用相同的材料，做一根與圖 16-1a所示的

2、同樣粗細(xì)而比 較長的桿件（圖16-1b）,當(dāng)壓力F比較小時(shí)，這一較長的桿件尚能保持直線的平衡形 式，而當(dāng)壓力F逐漸增大至某一數(shù)值 F1時(shí)，桿件將突然變彎，不再保持原有的直線平 衡形式，因而喪失了承載能力。我們把受壓直桿突然變彎的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定 或失穩(wěn)。此時(shí)，F(xiàn)1可能遠(yuǎn)小于Fs （或Fb）?？梢?，細(xì)長桿在尚未產(chǎn)生強(qiáng)度破壞時(shí)，就因失穩(wěn) 而破壞。失穩(wěn)現(xiàn)象并不限于壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會出現(xiàn)側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn)（圖16-2）;受外壓作用的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓過大時(shí)，其形狀可能突然變成橢圓（圖16-3）;圓環(huán)形拱受徑向均布壓力時(shí)，也可能產(chǎn)生失穩(wěn)（圖16-4）。本章中，我們只研

3、究受壓桿件的穩(wěn)定性。圖 16-3所謂的穩(wěn)定性是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。實(shí)際上它是指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。我們借助于剛性小球處于三種平衡狀態(tài)的情況來形象地加以說明。第一種狀態(tài)，小球在凹面內(nèi)的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖 16-5a所示。先用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置，然后再把干擾力去掉，小球能回到原來的平衡位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。第二種狀態(tài)，小球在凸面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖 16-5c所示。當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，小球?qū)⒗^續(xù)下滾，不再回到原來的平衡位置。因 此，小球原有的干衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。第三種狀態(tài)，小球在平面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖 16-5b

4、所示，當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，把干擾力去掉后，小球?qū)⒃谛碌奈恢肙i再次處于平衡，既沒有恢復(fù)原位的趨勢，也沒有繼續(xù)偏離的趨勢。因此。我們稱小球原有的 平衡狀態(tài)為隨遇平衡。圖 16-5圖 16-6通過上述分析可以認(rèn)識到，為了判別原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，必須使研究對象偏 離其原有的平衡位置。因此。在研究壓桿穩(wěn)定時(shí)，我們也用一微小橫向干擾力使處于 直線平衡狀態(tài)的壓桿偏離原有的位置，如圖16-6a所示。當(dāng)軸向壓力F由小變大的過程中，可以觀察到：1）當(dāng)壓力值Fi較小時(shí)，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去掉橫 向干擾力后，壓桿將在直線平衡位置左右擺動，最終將恢復(fù)到原來的直線平衡位置

5、， 如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。2）當(dāng)壓力值F2超過其一限度 Fcr時(shí)，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時(shí)，只要有 一輕微的橫向干擾，壓桿就會繼續(xù)彎曲，不再恢復(fù)原狀，如圖 16-6d所示。因此，該 桿原有直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。3）界于前二者之間，存在著一種臨界狀態(tài)。當(dāng)壓力值正好等于 Fcr時(shí)，一旦去掉橫向干擾力，壓桿將在微彎狀態(tài)下達(dá)到新的平衡，既不恢復(fù)原狀，也不再繼續(xù)彎曲，如 圖16-6c所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是隨遇平衡，該狀態(tài)又稱為臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)是桿件從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)。壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為臨界力或臨界載荷，用Fcr表

6、示。由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，與所受軸向壓力大小有關(guān)。當(dāng) 軸向壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以，對于壓桿穩(wěn)定性的研究，關(guān)鍵在 于確定壓桿的臨界力。16.2 兩端較支細(xì)長壓桿的臨界力圖16-7a為一兩端為球形較支的細(xì)長壓桿，現(xiàn)推導(dǎo)其臨界力公式。圖 16-7根據(jù)前節(jié)的討論，軸向壓力到達(dá)臨界力時(shí)，壓桿的直線平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。在微小橫向干擾力解除后，它將在微彎狀態(tài)下保持平衡。因此，可以認(rèn)為能夠保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標(biāo)系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開，保留部分如圖16-7b所示。由保留部分的平衡得錯(cuò)誤！未找到引用源。

7、（a）在式（a）中，軸向壓力Fcr取絕對值。這樣，在圖示的坐標(biāo)系中彎矩錯(cuò)誤!未找到引用源。與撓度錯(cuò)誤！未找到引用源。的符號總相反，故式（a）中加了一個(gè)負(fù)號。當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超(b)過材料比例極限時(shí)，根據(jù)撓曲線近似微分方程有錯(cuò)誤!未找到引用源。I應(yīng)該是橫截面的最由于兩端是球較支座，它對端截面在任何方向的轉(zhuǎn)角都沒有限制。因而，桿件的微小 彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)，所以上式中的 小慣性矩。令錯(cuò)誤!未找到引用源。（c）式（b）可改寫為錯(cuò)誤！未找到引用源。（d）此微分方程的通解為錯(cuò)誤！未找到引用源。（e）式中錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。為積分常數(shù)。由壓桿兩端錢支這一邊 界條件

8、錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（g）將式代入式（e）,得錯(cuò)誤！未找到引用源。，于是錯(cuò)誤!未找到引用源。（h）式（g）代入式（h）,有錯(cuò)誤!未找到引用源。（i）在式（i）中，積分常數(shù) 錯(cuò)誤！未找到引用源。不能等于零，否則將使有 錯(cuò)誤！未找到引用源。，這意味著壓桿處于直線平衡狀態(tài)，與事先假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)相矛盾，所以只能有錯(cuò)誤!未找到引用源。（j）由式（j）解得錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（k）則錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（l）因?yàn)閚可取0, 1 , 2,中任一個(gè)整數(shù)，所以式（1）表明，使壓桿保持曲線形態(tài)平衡的壓力

9、，在理論上是多值的。而這些壓力中，使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界力。取n=0 ,沒有意義，只能取 n=1。于是得兩端較支細(xì)長壓桿臨界力公式錯(cuò)誤！未找到引用源。（16-1）式（16-1）又稱為 歐拉公式。在此臨界力作用下，錯(cuò)誤!未找到引用源。，則式（h）可寫成錯(cuò)誤！未找到引用源。（m）可見，兩端錢支細(xì)長壓桿在臨界力作用下處于微彎狀態(tài)時(shí)的撓曲線是條半波正弦曲線。將錯(cuò)誤！未找到引用源。 代入式（m）,可得壓桿跨長中點(diǎn)處撓度，即壓桿的最大撓錯(cuò)誤錯(cuò)誤！未找到引用源。 是任意微小位移值。 錯(cuò)誤！未找到引用源。 之所以沒有一個(gè)確定值，是因?yàn)槭剑╞）中采用了撓曲線的近似微分方程式。如果采用撓曲線的精確

10、微分方程式，那么 錯(cuò)誤！未找到引用源。 值便可以確定。這時(shí)可得到最大撓度錯(cuò)誤！未找到引用源。與壓力F之間的理論關(guān)系，如圖 16-8的OAB曲線。此曲線表明，當(dāng)壓力小于臨 界力錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)，F(xiàn)與錯(cuò)誤！未找到引用源。 之間的關(guān)系是直線 OA,說明 壓桿一直保持直線平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力超過臨界力 錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，壓桿撓度急劇增加。錯(cuò)誤!未找到引用源。圖 16-8在以上討論中，假設(shè)壓桿軸線是理想直線，壓力F是軸向壓力，壓桿材料均勻連續(xù)。這是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實(shí)際中的壓桿并非如此。壓桿的軸線 難以避免有一些初彎曲，壓力也無法保證沒有偏心，材料也經(jīng)常有不均勻或存在缺陷 的情

11、況。實(shí)際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素，就相當(dāng)于作用在桿件上的壓力有一個(gè)微小的偏心距e。試驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)際壓桿的 F與錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系如圖 16-8中的曲線 OD表示，偏心距愈小，曲線 OD愈靠近OAB。16.3 不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力壓桿臨界力公式(16-1)是在兩端錢支的情況下推導(dǎo)出來的。由推導(dǎo)過程可知，臨界力與約束有關(guān)。約束條件不同，壓桿的臨界力也不相同，即桿端的約束對臨界力有 影響。但是，不論桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端錢支臨界力的推導(dǎo)方法 求得其相應(yīng)的臨界力計(jì)算公式，這里不詳細(xì)討論，僅用類比的方法導(dǎo)出幾種常見約束 條件下壓桿的臨界力計(jì)算公式。16.3.1 一

12、端固定另一端自由細(xì)長壓桿的臨界力圖16-9為一端固定另一端自由的壓桿。當(dāng)壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，它在曲線形式下保持平衡。將撓曲線 AB對稱于固定端 A向下延長，如圖中假想線所示。延長后撓 曲線是一條半波正弦曲線，與本章第二節(jié)中兩端較支細(xì)長壓桿的撓曲線一樣。所以，對于一端固定另一端自由且長為 錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿，其臨界力等于兩端錢支 長為錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿的臨界力，即錯(cuò)誤圖 16-9圖 16-10圖 16-1116.3.2 兩端固定細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)C和D分別在距上、下端為 錯(cuò)誤！未找到引用源。處。居于中間的錯(cuò)誤!未找到引

13、用源。長度內(nèi),撓曲續(xù)是半波正弦曲線。所以，對于兩端固定且長為錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿，其 臨界力等于兩端錢支長為 錯(cuò)誤!未找到引用源。的壓桿的臨界力，即錯(cuò)誤！未找到引用源。16.3.3 一端固定另一端較支細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖16-11所示。在距較支端 B為錯(cuò)誤!未找到引用源。處，該曲線有一個(gè)拐點(diǎn) C。因此，在錯(cuò)誤！未找到引用源。長度內(nèi)，撓曲 線是一條半波正弦曲線。所以，對于一端固定另一端錢支且長為錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿，其臨界力等于兩端錢支長為錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿的臨界力，即錯(cuò)誤!未找到引用源。綜上所述，只要引入相當(dāng)長度的概念，將壓桿的實(shí)際長度轉(zhuǎn)化為

14、相當(dāng)長度，便可將任何桿端約束條件的臨界力統(tǒng)一寫錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-2)稱為歐拉公式的一般形式。由式 (16-2)可見，桿端約束對臨界力的影響表現(xiàn)在系數(shù) 錯(cuò) 誤!未找到引用源。上。稱錯(cuò)誤！未找到引用源。為長度系數(shù)，錯(cuò)誤!未找到引用源。為 壓桿的相當(dāng)長度，表示把長為 錯(cuò)誤!未找到引用源。的壓桿折算成兩端錢支壓桿后的長度。幾種常見約束情況下的長度系數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。列入表16-1中。表16-1 壓桿的長度系數(shù) 錯(cuò)誤！未找到引用源。壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端錢支錯(cuò)誤!未找到引用源。=1一端固定，另一端自由錯(cuò)誤!未找到引用源。=2兩端固定錯(cuò)誤!未找到引用源。=1/2一端固定，另一端錢支錯(cuò)誤!

15、未找到引用源。0.7表16-1中所列的只是幾種典型情況，實(shí)際問題中壓桿的約束情況可能更復(fù)雜, 對于這些復(fù)雜約束的長度系數(shù)可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊中查得。16.4 歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式16.4.1 臨界應(yīng)力和柔度將式(16-2)的兩端同時(shí)除以壓桿橫截面面積A,得到的應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。(a)引入截面的慣性半徑 錯(cuò)誤！未找到引用源。 錯(cuò)誤!未找到引用源。(16-3)將上式代入式(a),得錯(cuò)誤！未找到引用源。若令錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-4)則有錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-5)式(16-5)就是計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的公式，是歐拉公式的另一表達(dá)形式。式中，錯(cuò)誤

16、!未找到引用源。 稱為壓桿的 柔度或長細(xì)比，它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響。從式(16-5)可以看出，壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應(yīng)力越低，壓桿越容易失穩(wěn)。因此，在壓桿穩(wěn)定問題中，柔度 錯(cuò)誤！未找到引用源。 是一個(gè)很重要的參數(shù)。16.4.2 歐拉公式的適用范圍在推導(dǎo)歐拉公式時(shí)，曾使用了彎曲時(shí)撓曲線近似微分方程式錯(cuò)誤!未找到引用源。， 而這個(gè)方程是建立在材料服從虎克定律基礎(chǔ)上的。試驗(yàn)已證實(shí)，當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材樹比例極限 錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗(yàn)曲線十分相符,而當(dāng)臨界應(yīng)力超過 錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，

17、兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大（如圖16-12所示）。這說明歐拉公式只有在臨界應(yīng)力不超過材料比例極限時(shí)才適用，即調(diào)身固我圖 16-12錯(cuò)誤！未找到引用源。 或 錯(cuò)誤!未找到引用源。（b）若用錯(cuò)誤！未找到引用源。 表示對應(yīng)于臨界應(yīng)力等于比例極限錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)的柔度值，則錯(cuò)誤！未找到引用源。（16-6 ）錯(cuò)誤！未找到引用源。 僅與壓桿材料的彈性模量 E和比例極限錯(cuò)誤！未找到引用源。 有 關(guān)。例如，對于常用的 Q235鋼，E= 200GPa ,錯(cuò)誤！未找到引用源。=200MPa，代 入式（16-6）,得錯(cuò)誤!未找到引用源。從以上分析可以看出：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源

18、。，這時(shí)才能應(yīng)用歐拉公式來計(jì)算壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿 稱為細(xì)長桿或大柔度桿。16.4.3 中柔度壓桿的臨界應(yīng)力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于錯(cuò)誤!未找到引用源。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種壓桿喪失承載能力的原因仍然是失穩(wěn)。但此時(shí)臨界應(yīng)力 錯(cuò)誤！未找到引用源。已大于材料的比例極限 錯(cuò)誤！未找到引用源。，歐拉公式已不適用， 這是超過材料比例極限壓 桿的穩(wěn)定問題。對于這類失穩(wěn)問題，曾進(jìn)行過許多理論和實(shí)驗(yàn)研究工作，得出理論分 析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿的技算，一般使用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。在 這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗(yàn)公式：直線公式和拋物線公式。1 .直線公式

19、把臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示成如下的線性關(guān)系。錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-7)式中a、b是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，可以查相關(guān)手冊得到。由式 (16-7)可見，臨界應(yīng) 力錯(cuò)誤！未找到引用源。 隨著柔度錯(cuò)誤！未找到引用源。的減小而增大。«直線公式的票款。和*Q羽&第猶女看綱時(shí)幫癖錢 創(chuàng)1R 徐本劍46157 aS60T3觸.2招7L 122-5583.7445. 2501.4542. J5必須指出，直線公式雖然是以 錯(cuò)誤！未找到引用源。的壓桿建立的，但絕不能認(rèn)為 凡是錯(cuò)誤！未找到引用源。 的壓桿都可以應(yīng)用直線公式。因?yàn)楫?dāng) 錯(cuò)誤值很小時(shí)，按直線公式求得的臨界應(yīng)力較高，可能早已超過了材料

20、的屈服強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源?；蚩箟簭?qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源。，這是桿件強(qiáng)度條件所不允許的。因此，只有在臨界應(yīng)力錯(cuò)誤！未找到引用源。 不超過屈服 強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源。(或抗壓強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源。)時(shí)，直線公式才能適用。若以塑性材料為例，它的應(yīng) 用條件可表示為錯(cuò)誤！未找到引用源。 或錯(cuò)誤！未找到引用源。若用錯(cuò)誤！未找到引用源。 表示對應(yīng)于 錯(cuò)誤!未找到引用源。 時(shí)的柔度值，則錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-8)這里，柔度值 錯(cuò)誤！未找到引用源。 是直線公式成立時(shí)壓桿柔度 錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值，它僅與材料有關(guān)。對Q235鋼來說，錯(cuò)誤！未找到引用源。MPa,錯(cuò)誤！未找到引用源。=304MP

21、a ,錯(cuò)誤！未找到引用源。將這些數(shù)值代入式(16-8),得錯(cuò)誤!未找到引用源。當(dāng)壓桿的柔度 錯(cuò)誤!未找到引用源。值滿足錯(cuò)誤!未找到引用源。條件時(shí)，臨界應(yīng)力用直 線公式計(jì)算，這樣的壓桿被稱為中柔度桿或中長桿。2 .拋物線公式把臨界應(yīng)力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 與柔度錯(cuò)誤！未找到引用源。 的關(guān)系表示為如下形式錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-9)式中錯(cuò)誤！未找到引用源。 是材料的屈服強(qiáng)度，錯(cuò)誤！未找到引用源。 是與材料性質(zhì)有對低關(guān)的系數(shù)，錯(cuò)誤!未找到引用源。是歐拉公式與拋物線公式適用范圍的分界柔度,碳鋼和低鎰鋼錯(cuò)誤！未找到引用源。(16-10)1.1.4 4小柔度壓桿當(dāng)壓桿的柔度錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)

22、誤！未找到引用源。條件時(shí)，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實(shí)驗(yàn)證明，小柔度桿主要是由于應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源。（或抗壓強(qiáng)度 錯(cuò)誤!未找到引用源。）而發(fā)生破壞，破壞時(shí)很難觀察到失穩(wěn)現(xiàn)象。這說明小柔度桿是由于強(qiáng)度不足而引起破壞的，應(yīng)當(dāng)以材料的屈服強(qiáng)度或抗壓強(qiáng)度作為極限應(yīng)力，這屬于第二章所研究的受壓直桿的強(qiáng)度計(jì)算問題。若形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮，則可將材料的屈服強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源。（或抗壓強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源。）看作臨界應(yīng)力 錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤!未找到引用源。（或錯(cuò)誤!未找到引用源。）1.1.5 5臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿的臨界應(yīng)力隨著壓桿柔度變化情況可用圖16

23、-13的曲線表示，該曲線是采用直線公式的臨界應(yīng)力總圖，總圖說明如下:圖 16-131）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，是細(xì)長桿，存在材料比例極限內(nèi)的穩(wěn)定性問題，臨 界應(yīng)力用歐拉公式計(jì)算。2）當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。（或錯(cuò)誤！未找到引用源。） 錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí), 是中長桿，存在超過比例極限的穩(wěn)定問題，臨界應(yīng)力用直線公式計(jì)算。3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。（或錯(cuò)誤！未找到引用源。）時(shí)，是短粗桿，不存在穩(wěn)定性問題，只有強(qiáng)度問題，臨界應(yīng)力就是屈服強(qiáng)度錯(cuò)誤！未找到引用源?；蚩箟簭?qiáng)度錯(cuò)誤!未找到引用源。由圖16-13還可以看到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質(zhì)由強(qiáng)度破壞逐漸向失 穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式（16-5）和式

24、（16-9）,可以繪出采用拋物線公式時(shí)的臨界應(yīng)力總圖，如圖16-14所示。16.5 壓桿穩(wěn)定性計(jì)算從上節(jié)可知，對于不同柔度的壓桿總可以計(jì)算出它的臨界應(yīng)力，將臨界應(yīng)力乘以 壓桿橫截面面積，就得到臨界力。值得注意的是，因?yàn)榕R界力是由壓桿整體變形決定 的，局部削弱（如開孔、槽等）對桿件整體變形影響很小，所以計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力 時(shí)可采用未削弱前的橫截面面積A和慣性矩I。壓桿的臨界力 錯(cuò)誤！未找到引用源。與壓桿實(shí)際承受的軸向壓力F之比值，為壓桿的工作安全系數(shù) n,它應(yīng)該不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù) nst。因此壓桿的穩(wěn)定性條件 為錯(cuò)誤！未找到引用源。（16-11）由穩(wěn)定性條件便可對壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，在工

25、程中主要是穩(wěn)定性校核。 通常,nst規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)高， 原因是一些難以避免的因素 （例如壓桿的初彎曲、 材料不均 勻、壓力偏心以及支座缺陷等）對壓桿穩(wěn)定性影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對強(qiáng)度的影響。式（16-11）是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應(yīng)力形式表示穩(wěn)定性條件錯(cuò)誤!未找到引用源。（a）其中錯(cuò)誤！未找到引用源。（b）式中錯(cuò)誤！未找到引用源。 為穩(wěn)定許用應(yīng)力。由于臨界應(yīng)力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 隨壓 桿的柔度而變，而且對不同柔度的壓桿又規(guī)定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)nst ,所以，錯(cuò)誤！未找到引用源。是柔度錯(cuò)誤！未找到引用源。的函數(shù)。在某些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，常常把材料 的強(qiáng)度許用應(yīng)力 錯(cuò)誤！未找到

26、引用源。 乘以一個(gè)小于1的系數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。 作 為穩(wěn)定許用應(yīng)力錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。（c）式中錯(cuò)誤！未找到引用源。 稱為折減系數(shù)。因?yàn)殄e(cuò)誤!未找到引用源。 是柔度錯(cuò)誤！未找 到引用源。的函數(shù)，所以 錯(cuò)誤！未找到引用源。 也是錯(cuò)誤！未找到引用源。 的函數(shù)，且 總有錯(cuò)誤！未找到引用源。幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)列于表 16-3中，引入折減 系數(shù)后，式（a）可寫為錯(cuò)誤！未找到引用源。（16-12）* ISrl 相和公工憫中心受壓構(gòu)件的折流茶融中不nL234n«78ggLCWKOQOLOOOl，gQ0- 找Or WStj. g 熊a哂0- 997ICQ. 995

27、0. 9制6 SS3d MEa gg】0哪5 9足小懶0 9&5Q煙200.附, 97S人S7?d 9F5as73。. 971a. 9tt0. 9fl30.9«130a班。,例生乜30. 9500.如？& 9110 941M 9370B 134(M34Q0, 927anaa.如0.916弧90S0904a wo0S9S3闞t500.品職(LFW4a B7S3明Q0 * S16ou «ei門”.守0, A5L0. 87ao0. M之a(chǎn) ¥37a&A20.0.必0. ftD弓dADO0. 79570k 7gqa tsi0. 77$a 7755

28、7670. 7«10-735n. 7t90. 74J0-737soO.lilc.您ar【g0-7130. 7"C. 701徐jo sa,o. mo. 676,900l4«|0淵o. «sr0. 650。.如O.WTo. mV. tl74.411IDOa!>. 597O.59t鬣5840.加OL57OQ.渴3t'. 55?1 5500. 543110tx B3(0. 529521-515依泗1a 5oi43 49<d 487氏4S01731300：你Q. 45955204450. 4396 4320-426G-<：»0-

29、 4130, 407“】覘3O.JSO0.390d 3&40,中-740C的0. 3590.35*MO0 349Ci. 344Q. 34口Q, 135Q 33LD. 327斗m6 31B5 ”4小31。也M0. 303t). 199u 29$(1饕工0 26ti小285d28】在27B0.575，6°。272o. H8416s，雄Za 359。跆66 £54(X W10. 24ft0u2<$170現(xiàn)綱3a 240ft. ZJ7D. 2350. 232d 2300-127d 2250.223a 220煙& ?怵0l210 ZW二 2：2口. 2100B0

30、7a 2050. 2C3o. toia儂190o. I9F11 1960 ISMC. 192a 190儂<1. U74.儂k 183d聞irw0. IioOl1780- 176G- 1751 7c0, W2o. no0W0.】STd 1我2IO*L W成儂a L£00. 159kISAa if 節(jié) 1粒1E5di 54d 1522200* 1515 15001。0. U70. 146Q* H5a H4Io. |30.14：晚 141230。】整0. 138o. 137Ol 1360. |15|U. 134a 1331C. 132am« ISO0. 1290.136a】

31、打E 12«6123產(chǎn)12S0. 124d l箱a m0. ZZl"00 120例16-1 圖16-15為一用20a工字鋼制成的壓桿，材料為Q235鋼，E=200Mpa , 錯(cuò)誤！未找到引用源。=200MPa ,壓桿長度 錯(cuò)誤!未找到引用源。=5m , F=200kN 若nst=2，試校核壓桿的穩(wěn)定性。圖 16-15解(1)計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。由附錄中的型鋼表查得錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，A=35.5cm 2。壓桿在i最小的縱向平面內(nèi)抗彎剛度最小，柔度最大，臨界應(yīng)力將最小。因而壓桿失穩(wěn)一定發(fā)生在壓桿錯(cuò)誤！未找到引用源。的縱向平面內(nèi)錯(cuò)誤！未找到引用源。(

32、2)計(jì)算臨界應(yīng)力，校核穩(wěn)定性錯(cuò)誤因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，此壓桿屬細(xì)長桿，要用歐拉公式來計(jì)算臨界應(yīng)力錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。所以此壓桿穩(wěn)定。例16-2 如圖16-16所示連桿，材料為 Q235鋼，其E=200MPa ,錯(cuò)誤！未找到引用源。=200MPa ,錯(cuò)誤！未找到引用源。,承受軸向壓力 F=110kN 。若nst=3 ,試校核連桿的穩(wěn)定性。圖 16-16解 根據(jù)圖16-16中連桿端部約束情況，在 xy縱向平面內(nèi)可視為兩端錢支；在 xz平面內(nèi)可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以 錯(cuò)誤！未找到引用源。根據(jù)上面的分析，首先應(yīng)分別算

33、出桿件在兩個(gè)平面內(nèi)的柔度，以判斷此桿將在哪 個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來計(jì)算臨界力。(1)計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。在xy縱向平面內(nèi)，錯(cuò)誤!未找到引用源。，z軸為中性軸錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。在xz縱向平面內(nèi)，錯(cuò)誤!未找到引用源。，y軸為中性軸錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在 xz縱向平面內(nèi)。(2)計(jì)算臨界力，校核穩(wěn)定性錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，該連桿不屬細(xì)長桿，不能用歐拉公式計(jì)算其臨界力。這里采用直線公式，查表16-2 , Q235鋼的錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

34、錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，屬中等桿，因此錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。該連桿穩(wěn)定。例16-3 螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠內(nèi)徑 錯(cuò)誤！未找到引用源。，最大長度錯(cuò)誤！未找到引用源。材料為Q235鋼，E=200GPa ,錯(cuò)誤！未找到引用源。千斤頂起重量 F =100kN 。若nst= 3.5 ,試校核絲杠的穩(wěn)定性。圖 16-17(1)計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。(2)計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。，校核穩(wěn)定性錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，采用拋物線公式計(jì)算臨界應(yīng)力錯(cuò)

35、誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用。已知活塞直徑錯(cuò)誤！未找到引用源。，油壓錯(cuò)誤!未找到引用源。活塞桿長度 錯(cuò)誤！未找到引用源。，兩端視為錢支， 材料為碳鋼，錯(cuò)誤！未找到引用源。，E=210GPa。取錯(cuò)誤！未找到引用源。，試設(shè)計(jì) 活塞直徑 錯(cuò)誤！未找到引用源。解(1)計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。活塞桿承受的軸向壓力錯(cuò)誤！未找到引用源?；钊麠U工作時(shí)不失穩(wěn)所應(yīng)具有的臨界力值為錯(cuò)誤!未找到引用源。(2)設(shè)計(jì)活塞桿直徑因?yàn)橹睆轿粗?，無法求出活塞桿的柔度，不能判定用怎樣的公式計(jì)算臨界力。為 此，在計(jì)算時(shí)可先按歐拉公式計(jì)算活塞桿

36、直徑，然后再檢查是否滿足歐拉公式的條件 錯(cuò)誤！未找到引用源。可取錯(cuò)誤！未找到引用源。，然后檢查是否滿足歐拉公式的條件錯(cuò)誤錯(cuò)誤!未找到引用源。由于錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以用歐拉公式計(jì)算是正確的。例16-5 簡易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端錢接的 AB桿由鋼管制成，材料為Q235鋼，其強(qiáng)度許用應(yīng)力錯(cuò)誤！未找到引用源。，試校核AB桿的穩(wěn)定性。圖 16-18求AB桿所受軸向壓力,由平衡方程錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。(2)計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤(3)校核穩(wěn)定性據(jù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，查表16-3得折減系數(shù) 錯(cuò)誤！未找到引用源。，穩(wěn)定許用

37、應(yīng)力錯(cuò)誤!未找到引用源。AB桿工作應(yīng)力錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以AB桿穩(wěn)定。例16 6由壓桿撓曲線的微分方程，導(dǎo)出一端固定，另一端錢支壓桿的歐拉公式。解一端固定、另一端錢支的壓桿失穩(wěn)后， 計(jì)算簡圖如圖16-19所示。為使桿件平衡, 上端錢支座應(yīng)有橫向反力錯(cuò)誤!未找到引用源。于是撓曲線的微分方程為設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，則上式可寫為錯(cuò)誤！未找到引用源。以上微分方程的通解為錯(cuò)誤！未找到引用源。由此求出V的一階導(dǎo)數(shù)為錯(cuò)誤！未找到引用源。壓桿的邊界條件為錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)， 錯(cuò)誤！未找到引用源。把以上邊界條件代入 錯(cuò)誤!未找到引用

38、源。 及錯(cuò)誤!未找到引用源。 中，可得錯(cuò)誤！未找到引用源。這是關(guān)于錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。 和錯(cuò)誤!未找到引用源。 的齊次線性方程組。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。不能都為零，所以其系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即展開得上式超越方程可用圖解法求解。以 錯(cuò)誤！未找到引用源。為橫坐標(biāo)，作直線錯(cuò)誤!未找到引用源。 和曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。（圖1620）,其第一個(gè)交點(diǎn)得橫坐標(biāo)錯(cuò)誤！未找到引用源。=4.49顯然是滿足超越方程得最小根。由此求得16.6 提高壓桿穩(wěn)定性的措施通過以上討論可知，影響壓桿穩(wěn)定性的因素有：壓桿的截面形狀，壓桿的長度、 約束條件和材料的性質(zhì)等。因而，當(dāng)討論

39、如何提高壓桿的穩(wěn)定件時(shí)，也應(yīng)從這幾方面 入手。1 .選擇合理截面形狀從歐拉公式可知，截面的慣性I越大，臨界力 錯(cuò)誤！未找到引用源。越高。從經(jīng)驗(yàn)公式可知。柔度錯(cuò)誤！未找到引用源。越小，臨界應(yīng)力越高。由于錯(cuò)誤！未找到引用源。. 所以提高慣性半徑i的數(shù)值就能減小 錯(cuò)誤！未找到引用源。的數(shù)值?？梢?，在不增加壓 桿橫截面面積的前提下，應(yīng)盡可能把材料放在離截面形心較遠(yuǎn)處，以取得較大的I和i,提高臨界壓力。例如空心圓環(huán)截面要比實(shí)心圓截面合理如果壓桿在過其主軸的兩個(gè)縱向平面約束條件相同或相差不大，那么應(yīng)采用圓形 或正多邊形截面；若約束不同，應(yīng)采用對兩個(gè)主形心軸慣性半徑不等的截面形狀，例 如矩形截面或工字形截面

40、，以使壓桿在兩個(gè)縱向平面內(nèi)有相近的柔度值。這樣，在兩 個(gè)相互垂直的主慣性縱向平面內(nèi)有接近相同的穩(wěn)定性。2 .盡量減小壓桿長度由式（16-4）可知，壓桿的柔度與壓桿的長度成正比。在結(jié)構(gòu)允許的情況下，應(yīng)盡可能減小壓桿的長度；甚至可改變結(jié)構(gòu)布局，將壓桿改為拉桿(如圖16-21a所示的托架改成圖16-21b的形式)等等。圖 16-213 .改善約束條件（圖 16-22）。則相當(dāng)長度變?yōu)殄e(cuò)誤!未找到引用源。,臨界力變?yōu)閺谋菊碌谌?jié)的討論看出，改變壓桿的支座條件直接影響臨界力的大小。例如長 為錯(cuò)誤！未找到引用源。 兩端較支的壓桿，其 錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用 源。若在這一壓桿的中點(diǎn)增加一個(gè)中

41、間支座或者把兩端改為固定端錯(cuò)誤！未找到引用源。圖 16-22可見臨界力變?yōu)樵瓉淼乃谋?。一般說增加壓桿的約束，使其更不容易發(fā)生彎曲變形, 都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。4 .合理選擇材料由歐拉公式(16-5)可知，臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E有關(guān)。然而，由于各種鋼材的彈性模量E大致相等，所以對于細(xì)長桿，選用優(yōu)質(zhì)鋼材或低碳鋼并無很大差別。對于中等桿，無論是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或理論分析，都說明臨界應(yīng)力與材料的強(qiáng)度有關(guān)，優(yōu)質(zhì)鋼材在一定程度上可以提高臨界應(yīng)力的數(shù)值。至于短粗桿，本來就是強(qiáng)度問題，選擇優(yōu)質(zhì)鋼材自然可以提高其強(qiáng)度。16-1圖示各根壓桿的材料及直徑均相同，試判斷哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根最不容易失穩(wěn)。題16-

42、1圖16-2圖示壓桿的材料為 Q235鋼，在圖a平面內(nèi)彎曲時(shí)兩端為錢支，在圖 b 平面內(nèi)彎曲時(shí)兩端為固定，試求其臨界力。材料為 30CrMnSiNi2A16-3圖中所示為某型飛機(jī)起落架中承受軸向壓力的斜撐桿。桿為空心圓管，外 徑D=52mm 內(nèi)徑d=44mm ，錯(cuò)誤！未找到引用源。未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，E=210GPa。試求斜撐桿的臨界壓力 錯(cuò)誤!未O找到引用源。和臨界應(yīng)力錯(cuò)誤!未找到引用源。題16-3圖16-4 三根圓截面壓桿，直徑均為 d=160mm ,材料為Q235鋼，E=200GPa , 錯(cuò)誤！未找到引用源。兩端均為較支，長度分別 錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到 引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤!未找到引用源。，試求各桿的臨界壓力 錯(cuò) 誤!未找到引用源。16-5無縫鋼管廠的穿孔頂桿如圖所示。桿端承受壓力。桿長錯(cuò)誤！未找到引用源。： 橫截面直徑d=15cm 。材料為低合金鋼，E=210GPa 。兩端可簡化為較支座，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為 錯(cuò)誤！未找到引用源。試求頂桿的許可載荷。16-6由三根鋼管構(gòu)成的支架如圖所示。鋼管的外徑為30mm ,內(nèi)徑為22mm ,長度錯(cuò)誤！未找