有限元基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)總結(jié)

1、有限元基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）14級(jí)碩士王濤通過(guò)課上和課下的學(xué)習(xí)，對(duì)有限元基礎(chǔ)理論有了一定的了解和認(rèn)識(shí)。 經(jīng)過(guò)學(xué) 習(xí)，更加深刻的理解了有限元的離散、單元類(lèi)型、插值函數(shù)構(gòu)造和等參變換等知 識(shí)，現(xiàn)對(duì)有限元的基本理論和用法做了如下學(xué)習(xí)和報(bào)告。已經(jīng)發(fā)展的偏微分方程數(shù)值分析方法可以分為兩大類(lèi)。一類(lèi)是有限差分法，其特點(diǎn)是直接求解基本方程和相應(yīng)定解條件的近似解，求解步驟歸納為：首先將求解域劃分為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上用差分方程來(lái)近似微分方程。借助于有 限差分法能夠求解相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，特別是求解方程建立于固結(jié)在空間的坐標(biāo)系（Euler坐標(biāo)系）的流體力學(xué)問(wèn)題，有限差分法有自身的優(yōu)勢(shì)，因此在流體

2、力學(xué) 領(lǐng)域內(nèi)，至今仍占支配地位。但是對(duì)于固體結(jié)構(gòu)問(wèn)題，由于方程通常建立于固結(jié) 的物體上的坐標(biāo)系（Lagrange坐標(biāo)系）和形狀復(fù)雜，另一類(lèi)數(shù)值分析方法有限元法則更為合適。有限差分法：特點(diǎn)：以差分方程近似微分方程，直接數(shù)值求解原問(wèn)題的微分方程， 在流體力學(xué)，巖土力學(xué)領(lǐng)域占重要地位。有限元法：特點(diǎn)：區(qū)別于有限差分法，即不是直接從問(wèn)題的微分方程和相應(yīng)的定 解條件出發(fā)，而是從等效的積分形式出發(fā)，數(shù)值求解原問(wèn)題的 等效積分方程。基本思想：1將求解域離散為有限個(gè)子域（單元）的集合2分片逼近待求函數(shù)分析過(guò)程：1單元特性分析，單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系系統(tǒng)特性分析，將單元?jiǎng)偠染仃嚰烧w剛度方程1 .有限

3、元法的理論基礎(chǔ)一一加權(quán)余量法和變分原理1.1 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法1.1.1 微分方程的等效積分形式工程或物理學(xué)中的許多問(wèn)題，通常是以未知場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程和邊界 條件形式提出來(lái)的，可以一般地表示為未知函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足微分方程組A(u) 0 (在。內(nèi))(1.1.1)域?？梢允求w積域、面積域等。同時(shí)未知函數(shù)還應(yīng)滿(mǎn)足邊界條件B(u) 0 (在內(nèi))(1.1.2)是域。的邊界。由于微分方程組(1.1.1)在域。中每一點(diǎn)都必須為零，因此就有TA( )d ( 1A1( ) 2A2( ) .)d0(1.1.3)其中是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。(1.1 式與微分方程組(1.1

4、.1)式是完全等效的積分形式。同理，加入邊界條件(1.1.2)也同時(shí)在邊 界上每一點(diǎn)都得到滿(mǎn)足，則其等效積分形式(微分方程)為T(mén)TtA( )dB( )d 0(1.1.5)對(duì)(1.1.5)分部積分得到等到另一種形式CT( )D( )d E)F( )d 0(1.1.6)其中G D、E、F是微分算子，它們中包含的階數(shù)較(1.1.5)式的A低，這 樣對(duì)函數(shù)只需要求較低階的連續(xù)性就可以了。 在(1.1.6)式中降低的連續(xù)性要求 是以提高 和一的連續(xù)性要求為代價(jià)的。這種通過(guò)適當(dāng)提高對(duì)任意函數(shù)和一的連續(xù)性要求，以降低對(duì)微分方程場(chǎng)函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的等效積分形式稱(chēng)為微分方程的等效積分“弱”形式。1.1.2

5、 基于等效積分形式的近似方法一一加權(quán)余量法對(duì)微分方程(1.1.1)式和邊界條件(1.1.2)式所表達(dá)的物理問(wèn)題，假設(shè)未知 場(chǎng)函數(shù)可以采用近似函數(shù)來(lái)表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一 般形式是n-Niai Na(1.1.7)1 1其中ai是待定參數(shù)；Ni是稱(chēng)之為試探函數(shù)(或基函數(shù)、形函數(shù))的已知函數(shù)，它取自完全的函數(shù)序列，是線(xiàn)性獨(dú)立的。顯然，近似解不能精確滿(mǎn)足微分方程(1.1.1)式和全部邊界條件(1.1.2)式, 它們將產(chǎn)生殘差R和R,即A(Na) R; B(Na) Ro殘差R和R亦稱(chēng)為余量。在5 1.1.5)式中用n個(gè)規(guī)定的函數(shù)來(lái)代替任意函數(shù)和，即Wj ；" Wj (j

6、 1- n)(1.1.8)Wj和Wj稱(chēng)為權(quán)函數(shù)。對(duì)應(yīng)等效積分“弱”形式(1.1.6)式，同樣可以得到它的近似形式為CT(Wj)D(Na)dET(Wj)F(Na)d0 (j 1,.,n)(1.1.9)采用使余量的加權(quán)積分為零來(lái)求得微分方程近似解得方法稱(chēng)為加權(quán)余量法。對(duì)于權(quán)函數(shù)不同的選擇可分為配點(diǎn)法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽遼 金法。1.2變分原理如果微分方程具有線(xiàn)性和自伴隨的性質(zhì)，則不僅可以建立它的等效積分形 式，并利用加權(quán)余量法求其近似解， 還可以建立與之相等效的變分原理，并進(jìn)而 得到基于它的另一種近似求解方法，即里茲方法。1.2.1 線(xiàn)性、自伴隨微分方程變分原理的建立1.線(xiàn)性、自伴隨微

7、分算子若有微分方程L(u) b 0 (在Q域內(nèi))1.2.1)其中微分算子L具有如下性質(zhì)L(au1u2) aL(u1) L(u2)(1.2.2)則稱(chēng)L為線(xiàn)性算子，方程(1.2.1)為線(xiàn)性微分方程。其中a和 是兩個(gè)常數(shù)?，F(xiàn)定義L(u)和任意函數(shù)的內(nèi)積為L(zhǎng)(u)vd(1.2.3)對(duì)上式進(jìn)行分部積分直至u的倒數(shù)消失，這樣就可以得到轉(zhuǎn)化后的內(nèi)積并伴 隨有邊界項(xiàng)。結(jié)果可表示如下：*L(u)vd L (v)db.t.(u,v)(1.2.4)b.t.(u,v)表示在 的邊界上由u和v及其導(dǎo)數(shù)組成的積分項(xiàng)。L*稱(chēng)為L(zhǎng)的伴,., . * . . . . . . .隨算子。若L =L,則稱(chēng)算子是自伴隨的。微分方程(

8、1.2.1)為線(xiàn)性、自伴隨的 微分方程。2.泛函的構(gòu)造原問(wèn)題的微分方程和邊界條件表達(dá)如下A(u) L(u) f 0 (在Q 內(nèi))B(u) 0 (在 r上)(1.2.5)和以上微分方程及邊界條件相等效的伽遼金提法可表示如下uTL(u) fduTB(u)d0(1.2.(6)其中利用算子是線(xiàn)性、自伴隨的，就可得到原問(wèn)題的變分原理(u) 0(1.2.(7)1 TT(u) u L(u) u fdb.t.(u)2是原問(wèn)題的泛函，以為內(nèi)此泛函中u （包含u的導(dǎo)數(shù)）的最高次為二次，所以稱(chēng) 為二次泛函。原問(wèn)題的微分方程和邊界條件的等效積分的伽遼金提法等效于它的變分原理，即原問(wèn)題的微分方程和邊界條件等效于泛函的變

9、分等于零， 亦即變分取駐值1.3彈性力學(xué)的基本方程和變分原理1.3.1 彈性力學(xué)基本方程的張量形式1 .平衡方程j,j f 。(內(nèi)) (i 1,2,3)(1.3.1)2 .幾何方程一一應(yīng)力-位移關(guān)系1ij2(uj,juj,i)(在V 內(nèi))(i,j 1,2,3)(1.3.2)3 .物理方程應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(1.3.3)ijDjkl h (在V 內(nèi))(i,j,k,l 1,2,3)4 .力的邊界條件Ti Ti (在 S 內(nèi)) (i 1,2,3)(1.3.4)其中Tijnj, nj是外界法線(xiàn)n的三個(gè)方向余弦。5 .位移邊界條件ui Ui (在 Su上)(i 1,2,3)(1.3.5)6 .應(yīng)變能和余能單

10、位體積應(yīng)變能. . ,、1 -U ( mn) 2 Dijki ij kl(1.3.6)單位體積余能一、1/，一V( mn) Cijkl ij kl(1.3.7)21.3.2 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式一一虛功原理虛功原理是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱(chēng)。作為彈性力學(xué)微分方程的等效積分形式，虛位移原理與虛應(yīng)力原理分別是平 衡方程與力的邊界條件和幾何方程與位移邊界條件的等效積分形式。在導(dǎo)出它們的過(guò)程中都未涉及到物理方程，所以它們不僅可以用于線(xiàn)彈性問(wèn)題，而且可以用于非線(xiàn)性彈性以及彈塑性等非線(xiàn)性問(wèn)題。將物理方程引入虛位移原理和虛應(yīng)力原理可以分別導(dǎo)出最小位能原理和最 小余能原理。它們本質(zhì)上和等

11、效積分的伽遼金“弱”形式相一致。這是建立彈性 力學(xué)有限元方程的理論基礎(chǔ)。彈性力學(xué)最小位能原理和最小余能原理都屬于自然 變分原理。2彈性力學(xué)問(wèn)題有限元方法的一般原理和表達(dá)格式通過(guò)彈性力學(xué)變分原理建立彈性力學(xué)問(wèn)題有限元方法表達(dá)格式的基本步驟。最小位能原理的未知場(chǎng)變量是位移， 以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，并以最小位能原 理為基礎(chǔ)建立有限單元為位移元。它是有限元方法中應(yīng)用最為普遍的單元。對(duì)于一個(gè)力學(xué)或物理問(wèn)題，在建立其數(shù)學(xué)模型以后，用有限元方法對(duì)它進(jìn)行 分析的首要步驟是選擇單元形式。平面問(wèn)題3節(jié)點(diǎn)三角形單元是有限元方法最早 采用，而且至今仍經(jīng)常采用的單元形式。以它作為典型，討論如何應(yīng)用廣義坐標(biāo)建立單元位移

12、模式與位移插信函數(shù)，以及如何根據(jù)最小位能原理建立有限元求解 方程的原理、方法與步驟，并進(jìn)而引出彈性力學(xué)問(wèn)題有限元方法的一般表達(dá)式。2.1 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限元格式2.1.1 單元位移模式及插值函數(shù)的構(gòu)造圖2.1 3節(jié)點(diǎn)三角形單元1 .單元的位移模式和廣義坐標(biāo)在有限元方法中單元的位移模式或稱(chēng)位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式作為近似函 數(shù)，因?yàn)槎囗?xiàng)式運(yùn)算簡(jiǎn)便，并且隨著項(xiàng)數(shù)的增多，可以逼近任何一段光滑的函數(shù) 曲線(xiàn)。多項(xiàng)式的選取應(yīng)有低次到高次。3節(jié)點(diǎn)三角形單元位移模式選取一次多項(xiàng)式u = 1 + 2x + 3yv = 4 + 5x + 6y（2.1.1）其中i 6是待定系數(shù)，稱(chēng)之為廣義坐標(biāo)。6個(gè)廣義坐標(biāo)可由

13、單元的6個(gè)節(jié)點(diǎn)位 移來(lái)表示。在（2.1.1）的1式中帶入節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)（x,yi）可得到節(jié)點(diǎn)i在x方向的 位移Ui ,同理可得Uj和um。它們表小為Ui12Xi3yiUj 12Xj 3yjUm12Xm3ym（2.1.2）2 .位移插值函數(shù)將求得的廣義坐標(biāo)1 6代入（2.1.1）,可將位移函數(shù)表示成節(jié)點(diǎn)位移的函 數(shù)，即u NiUi NjUj NmUmv NiviNjVj Nmvm(2.1.3)其中Ni1 ,、(ai hx Qy) 2 A(i, j,m)(2.1.4)N, Nj, Nm稱(chēng)為單元的插值函數(shù)或形函數(shù)，對(duì)于當(dāng)前情況，它是坐標(biāo)x、y的一次函數(shù)，其中的bi, G,.,Cm是常數(shù)，取決于單元的3

14、個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程對(duì)于離散模型，系統(tǒng)總位能的離散公式U dVSedS(2.2.1)將結(jié)構(gòu)總位能的各項(xiàng)矩陣表達(dá)成各個(gè)單元總位能的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)矩陣之和，隱含著要求單元各項(xiàng)矩陣的階數(shù)（即單元的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)）和結(jié)構(gòu)各項(xiàng)矩陣的階數(shù)（即結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)）相同。為此需要引入單元節(jié)點(diǎn)自由度和結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)自由度的轉(zhuǎn)換矩陣G,從而將單元節(jié)點(diǎn)位移列陣ae用結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列陣a表示，即則離散形式的總位能可表示為p aT GVeBT1aTKa 2由于離散形式的總位能GaT 1 T.B DBdVGa2 Ve0dV vNTfdVaTP(2.2.(2)v BtD odVT 二 一NTTdS(2.2.

15、(3)p的未知變量是結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移a，根據(jù)變分原理,泛函p取駐值的條件是它的一次變分為零,p=0,這樣就得到有限元的求解方程Ka P(2.2.4)其中(2.2.5)GTPeEK和P分別稱(chēng)之為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)載荷列陣。 它們都是有單元敢賭 矩陣Ke和單元等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣Pe集合而成。需要注意，將單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃ЫY(jié)點(diǎn)載荷列陣集成為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和 結(jié)構(gòu)等效載荷列陣時(shí)，實(shí)際執(zhí)行的并不是如（2.2.5）式所示需通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣 G 的運(yùn)算，而是將單元矩陣或列陣的元素直接“對(duì)號(hào)入座”，疊加到結(jié)構(gòu)矩陣或列 陣而成。以上表述的是基于彈性力學(xué)最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原 理。2.2.3

16、引入位移邊界條件最小位能變分原理是具有附加條件的變分原理，它要求場(chǎng)函數(shù)u滿(mǎn)足幾何方 程和位移邊界條件?，F(xiàn)在離散模型的近似場(chǎng)函數(shù)在單元內(nèi)部滿(mǎn)足幾何方程， 因此 由離散模型近似的連續(xù)體內(nèi)幾何方程也是滿(mǎn)足的。但是在選擇場(chǎng)函數(shù)的試探函數(shù)（多項(xiàng)式）時(shí)，卻沒(méi)有提出在邊界上滿(mǎn)足位移邊界條件的要求，因此必須將這個(gè)條件引入有限元方程，使之得到滿(mǎn)足。可以引入邊界條件的方法有直接代入法、 對(duì)角元素改1法和對(duì)角元素乘大數(shù) 法。直接代入法要重新組合方程，組成的新方程階數(shù)降低了，但結(jié)點(diǎn)位移的順序 性已被破壞，這給編制程序帶來(lái)了一些麻煩；對(duì)角元素改1法引入強(qiáng)制邊界條件 比較簡(jiǎn)單，不改變?cè)瓉?lái)方程的階數(shù)和結(jié)點(diǎn)未知量的順序編號(hào)。

17、但這種方法只能用 于給定零位移；對(duì)角元素乘大數(shù)法使用簡(jiǎn)單，對(duì)任何給定位移（零值或非零值） 都適用。采用這種方法引入強(qiáng)制邊界條件時(shí)方程階數(shù)不變，結(jié)點(diǎn)位移順序不變， 編制程序十分方便，因此在有限元法中經(jīng)常采用。2.3廣義坐標(biāo)有限元法一般格式2.3.1 廣義坐標(biāo)有限元位移模式的選擇和插值函數(shù)的構(gòu)造1.選擇廣義坐標(biāo)有限元位移模式的一般原則（1）廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)應(yīng)與單元結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等，否則待定廣義坐標(biāo) 無(wú)法以單元結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。例如，3結(jié)點(diǎn)三角形單元有6個(gè)自由度，因此其廣義坐 標(biāo)個(gè)數(shù)只能是6,每個(gè)方向3個(gè)。（2）多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備，目的是確保所選位移模式能反映單元的剛體位移和常應(yīng)變特性

18、。(3)多項(xiàng)式選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項(xiàng)式。對(duì)于平面問(wèn)題：零次完全多項(xiàng)式：x0, y0一次完全多項(xiàng)式：x, y二次完全多項(xiàng)式：x2, xy, y2三次完全多項(xiàng)式：x3, x2y, xy2, y3若由于項(xiàng)數(shù)限制不能選取完全多項(xiàng)式時(shí)，選擇的多項(xiàng)式應(yīng)具有坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)性。且一個(gè)方向的次數(shù)不應(yīng)超過(guò)完全多項(xiàng)式的次數(shù)。如二次：xy;三次：x2y, xy22.建立廣義坐標(biāo)有限元位移插值函數(shù)的一般步驟(1)假設(shè)位移模式；(2)將各結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于廣義坐標(biāo)的線(xiàn)性方程組，從而求出廣義 坐標(biāo)；(3)將廣義坐標(biāo)回代入一般位移模式中得到由單元結(jié)點(diǎn)位移列陣所表示的 位移模式；(4)由位移模式u Na ,由矩陣形

19、式的幾何方程，求導(dǎo)數(shù)可得到應(yīng)變矩陣B,即ba(5)由矩陣形式的物理方程，則彈性矩陣乘以應(yīng)變向量，得 DBa。2.3.2彈性力學(xué)問(wèn)題有限元分析的執(zhí)行步驟在根據(jù)問(wèn)題的類(lèi)型和性質(zhì)選定了單元的形式，并構(gòu)造了它的插值函數(shù)以后， 可按以下步驟對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有限元分析。(1)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。按問(wèn)題的幾何特點(diǎn)和精度要求等因素劃分單元并形成網(wǎng)格，既將原來(lái)的連續(xù)體離散為在結(jié)點(diǎn)處互相聯(lián)結(jié)的有限單元組合體(2)形成單元的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣。單元?jiǎng)偠染仃嚨腒e VeBTDBdV般形式(2.3.1)單元等效結(jié)點(diǎn)載荷的一般形式為PseSeNTTdSPfeNT fdVVe(3)集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣K Ke

20、BTDBdVee Ve(2.3.2)P Pf Ps Pf(Pfe PS5) Pfe其中Pf是直接作用于結(jié)點(diǎn)上的集中力。(4)引入強(qiáng)制邊界條件(給定位移)(5)求解有限元方程，得到結(jié)點(diǎn)位移(2.3.3)(6)計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力。DB e進(jìn)行必要的后處理。PePfe2.4有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則2.4.1 有限元解得收斂準(zhǔn)則有限元法作為求解微分方程的一種數(shù)值方法可以認(rèn)為是里茲法的一種特殊 形式，不同之處在于有限元法的試探函數(shù)是定義于單元(子域)而不是全域。因 此有限元解的收斂性可以與里茲法的收斂性對(duì)比進(jìn)行討論。里茲法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，即如果試探函數(shù)滿(mǎn)足完備性和連續(xù)性要求，

21、 當(dāng)試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)n時(shí)，則里茲法的近似解將趨于微分方程的精確解?，F(xiàn)在要研究有限元解的收斂性。在有限元法中，場(chǎng)函數(shù)的總體泛函是單元泛函集成的， 如果采用完全多項(xiàng)式 (無(wú)窮多項(xiàng))作為單元的插值函數(shù)，則有限元解在一個(gè)有限尺寸的單元內(nèi)可以精 確地和精確解一致。但是實(shí)際上有限元的試探函數(shù)只能取有限項(xiàng)多項(xiàng)式，因此有限元解只能是精確解的一個(gè)近似解答。有限元解的收斂準(zhǔn)則需要回答的是，在什 么條件下當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)，有限元趨于精確解。下面仍以含有一個(gè)待求標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)為例，微分方程是A( ) L( ) b 0(2.4.1)相應(yīng)的泛函是1 一 一一一-C( )C( ) b d b.t(2.4.2)2 、 . 一 一

22、 一 . ,一 假定泛函中包含 和它的直至m階的各階導(dǎo)數(shù)是非零的，則近似函數(shù) 至少必須是m次多項(xiàng)式。若取p次完全多項(xiàng)式為試探函數(shù)，則必須滿(mǎn)足 p m。假設(shè) . 、,-僅是x的函數(shù)，則 及其各階導(dǎo)數(shù)在一個(gè)單兀內(nèi)的表達(dá)式為：1X22X33XPX12 2X3 3x2XP由上式可見(jiàn)，因?yàn)閙! m6 3X(m 1)!P(Pp!(p m)!p m px是p次完全多項(xiàng)式,(2.4.3)所以它的直至m階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式 及其m階導(dǎo)數(shù)將趨中都包含有常數(shù)項(xiàng)。當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)，在每一單元內(nèi) 于精確解，即趨于常數(shù)。因此，每一個(gè)單元的泛函有可能趨于它的精確解。如果 試探函數(shù)還滿(mǎn)足連續(xù)性要求，那么整個(gè)系統(tǒng)的泛函將趨于它的精

23、確解。 即解是收 斂的。收斂準(zhǔn)則:準(zhǔn)則1完備性要求。如果出現(xiàn)在泛函中場(chǎng)函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的試探函數(shù)至少是 m次多項(xiàng)式?；蛘哒f(shuō)試探函數(shù)中必須包括本身和直至 m階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項(xiàng)。當(dāng)單元的插值函數(shù)滿(mǎn)足上述要求時(shí)，稱(chēng)這樣的單元是完備的。準(zhǔn)則2協(xié)調(diào)性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高階導(dǎo)數(shù)是 m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有Cm 1連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上函數(shù)應(yīng)有直至m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)單元的插值函數(shù)滿(mǎn)足上述要求時(shí)，稱(chēng)這樣的單元是協(xié)調(diào)的。當(dāng)單元為完備的協(xié)調(diào)單元，則有限元解收斂，即細(xì)分單元其解趨于精確解。2.4.2 收斂準(zhǔn)則的物理意義在平面問(wèn)題中，泛函p

24、中出現(xiàn)的是位移u和v的一次導(dǎo)數(shù)，即應(yīng)變 因此m 1收斂準(zhǔn)則1要求插值函數(shù)或位移函數(shù)至少是 x,y的一次完全多項(xiàng)式。我們知 道位移及其一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項(xiàng)是代表與單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的 位移模式。實(shí)際分析中，各單元的變形往往包含著剛體位移， 同時(shí)單元尺寸趨于 無(wú)窮小時(shí)各單元的應(yīng)變也趨于常應(yīng)變。所以完備性要求由插值函數(shù)所構(gòu)成的有限 元解必須能反映單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)。若不能滿(mǎn)足上述要求，那么賦予 結(jié)點(diǎn)以單元?jiǎng)傮w位移（零應(yīng)變）或常應(yīng)變的位移模式時(shí)，在單元內(nèi)部將產(chǎn)生非零 或非常值的應(yīng)變，這樣有限元解將不可能收斂于精確解。應(yīng)該指出，在Bazeley等人開(kāi)始提出上述收斂準(zhǔn)則時(shí)，是要求在單元尺

25、寸趨 于零的極限情況下滿(mǎn)足完備性收斂準(zhǔn)則， 如果將此收斂準(zhǔn)則用于有限尺寸時(shí)， 將 使解的精度得到改進(jìn)。對(duì)平面問(wèn)題，協(xié)調(diào)性要求是Co連續(xù)性，即要求位移函數(shù)u,v的零階導(dǎo)數(shù)，也 就是位移函數(shù)自身在單元交界面上是連續(xù)的。 如果在交界面上位移不連續(xù)表現(xiàn)為 當(dāng)結(jié)構(gòu)變形時(shí)將在相鄰單元間產(chǎn)生縫隙或重疊，這意味著將產(chǎn)生無(wú)限大的應(yīng)變， 這時(shí)應(yīng)該將發(fā)生在交界面上的附加應(yīng)變能補(bǔ)充到系統(tǒng)的應(yīng)變能中去。但在建立泛函p時(shí)，沒(méi)有考慮到這種情況，只考慮了產(chǎn)生于各個(gè)單元內(nèi)部的應(yīng)變能。 因此， 當(dāng)邊界上位移不連續(xù)時(shí)，則有限元解就不可能收斂于精確解?？梢钥闯?，最簡(jiǎn)單的3結(jié)點(diǎn)三角形單元插值函數(shù)既滿(mǎn)足完備性要求，也滿(mǎn)足 協(xié)調(diào)性要求，因

26、此單元的解是收斂的。應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于二、三維彈性力學(xué)問(wèn)題，泛函中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)是一階。對(duì)于近似 的位移函數(shù)的連續(xù)性要求僅是 Co連續(xù)性，這種只要求函數(shù)自身在單元邊界連續(xù) 的要求很容易得到滿(mǎn)足。而當(dāng)泛函中出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)高于一階（如板殼，泛函中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)是 2階）時(shí)，則 要求試探函數(shù)在單元交界面上具有連續(xù)的一階或高于一階的導(dǎo)數(shù)，即具有Ci或更高階的連續(xù)性，這時(shí)構(gòu)造函數(shù)比較困難。在某些情況下，可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的 要求，只要這種單元能通過(guò)分片試驗(yàn)，有限元解仍然可以收斂于正確的解答。這 種單元稱(chēng)為非協(xié)調(diào)單元。2.4.3 位移解的下限性質(zhì)以位移為基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元稱(chēng)為位移元。通過(guò) 系統(tǒng)總位能的變

27、分過(guò)程，可以分析位移元的近似解與精確解偏離的下限性質(zhì)。系統(tǒng)總位能的離散形式為1 TTp - TKtP(2.4.4)p 2由變分 p 0得到有限元求解方程K P(2.4.5)將(2.4.5)式代入(2.4.4)1 TT1 Tp - tKtK- tK U(2.4.6)p 22在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負(fù)的應(yīng)變能。因此，當(dāng) ppm.,則U Umax。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般來(lái)說(shuō)總是與精確解有 差別，因此得到的系統(tǒng)總位能總會(huì)比真正的位能大。我們將有限元解的總位能、 、 一 .一,一. 一. 應(yīng)變能、剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)位移分別用p,U,K,表示，相應(yīng)的精確解的有關(guān)量用p,U,K,表小。由于

28、 p p,則有U U ,即TK tK(2.4.7)對(duì)于精確解有KP對(duì)于近似解有K P(2.4.8)將(2.4.8)式代入(2.4.7)式得到TP TP（2.4.9）由（2.4.9）式看出，近似解應(yīng)變能小于精確解應(yīng)變能的原因是近似解的位移 總體上要小于精確解的位移 。故位移元得到的位移解總體上不大于精確解， 即解具有下限性質(zhì)。3等參元和數(shù)值積分用直邊單元離散曲邊的求解域勢(shì)必要用更多的單元數(shù)才能較準(zhǔn)確地描述實(shí) 際邊界。等參元是目前應(yīng)用最廣的一類(lèi)單元可用這類(lèi)單元更精確的描述不規(guī)則的 邊界。這類(lèi)單元的出現(xiàn)不僅系統(tǒng)的解決了構(gòu)造協(xié)調(diào)位移單元的問(wèn)題，而且自然坐標(biāo)系的描述方法也廣泛為其他類(lèi)型的單元所采用。等參數(shù)單元在構(gòu)造形函數(shù)時(shí)首 先定義一個(gè)規(guī)則的母體單元（參考單元/標(biāo)準(zhǔn)單元），在母體單元上構(gòu)造形函數(shù)，再 通過(guò)等參數(shù)變換將實(shí)際單元與母體單元聯(lián)系起來(lái)。變換涉及兩個(gè)方面：幾何圖形的變換（坐標(biāo)變換）和位移場(chǎng)函數(shù)的變換（母單元的位移模式）。由于兩種變換均采 用了相同的函數(shù)關(guān)系（形函數(shù)）和同一組結(jié)點(diǎn)參