微分方程穩(wěn)定性

1、目錄錯(cuò)誤!未定義書簽錯(cuò)誤!未定義書簽錯(cuò)誤!未定義書簽錯(cuò)誤!未定義書簽錯(cuò)誤!未定義書簽錯(cuò)誤!未定義書簽錯(cuò)誤!未定義書簽摘要ABSTRACT前言微分方程穩(wěn)定性分析原理捕魚業(yè)的持續(xù)收獲模型種群的相互競爭模型 參考文獻(xiàn)摘要微分方程穩(wěn)定性理論是微分方程的一個(gè)重要的理論。 微分方程理論就是通過 一些定量的計(jì)算來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就是系統(tǒng)在受到干擾項(xiàng)偏離平衡狀態(tài)后 能否恢復(fù)到平衡狀態(tài)或者是平衡狀態(tài)附近的位置。用微分方程描述的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的 特點(diǎn)依賴于初值，而初值的計(jì)算或者測定不可避免的又會(huì)出現(xiàn)誤差和干擾。如果描述這個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程的特解是不穩(wěn)定的，則初值的微小誤差和干擾都會(huì) 導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。因此，不穩(wěn)定的

2、特解不適合作為我們研究問題的依據(jù)，只有穩(wěn) 定的特解才是我們需要的。本文就一階微分方程和二階微分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定 性進(jìn)行了分析，并且建立了捕魚業(yè)持續(xù)收獲模型和兩種群相互競爭模型?！娟P(guān)鍵詞】 微分方程；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；數(shù)學(xué)建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative c

3、alculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculat

4、ion of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.Therefore, special sol

5、ution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is establish

6、ed and two species and two species competing models.Differentialequations; Balance; Stability;【key words Mathematical modeling前言在現(xiàn)實(shí)世界里，無論是在自然科學(xué)或者是社會(huì)科學(xué)的各領(lǐng)域中， 存在著許許 多多的變化規(guī)律可以用某些特定的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行描述。例如我們通過對該數(shù)學(xué) 模型進(jìn)行定性分析或者是數(shù)值模擬，用得到的結(jié)果對描述的變化規(guī)律給出相應(yīng)的 數(shù)學(xué)解釋，進(jìn)而為人們跟進(jìn)一步地理解和認(rèn)識相對應(yīng)的現(xiàn)象，或者對某些過程進(jìn)行控制。但在實(shí)際問題中，有時(shí)候我們建立數(shù)學(xué)模型的目的并不是單

7、純的為了得 到事物變化的某一瞬間的形態(tài)，而是為了得到在一段相當(dāng)長的時(shí)間后該變化的趨 勢。就像在某種條件下描述的過程變量會(huì)無限地接近某個(gè)確定的數(shù)值，在某種情況下描述的過程變量會(huì)漸漸地偏離該數(shù)值出現(xiàn)過程的不穩(wěn)定。為了分析該種情況下的穩(wěn)定和不穩(wěn)定規(guī)律，我們可以直接利用微分方程的穩(wěn)定性理論來研究平衡狀0一.微分方程穩(wěn)定性分析原理1.一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性設(shè)有微分方程x（t） f（x）（）如果方程等號右端不是顯然含有自變量 t,我們就稱之為自治方程。代數(shù)方程 的 實(shí)根 稱為方程式（）的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）。它也是方程（）的解。如果存在某個(gè)領(lǐng)域，使方程式（）的解 從這個(gè)領(lǐng)域的某個(gè)點(diǎn)x（0）出發(fā)，滿足lim x

8、（t） x0則稱平衡點(diǎn)x。是穩(wěn)定的（漸進(jìn)穩(wěn)定）；否則，稱凡是不穩(wěn)定的（非漸進(jìn)穩(wěn)定）。判斷平衡點(diǎn)x。是否穩(wěn)定通常使用的方法有兩種。利用定義式（）的方法稱為間接法。不求方程式（）的因而不方程式（）的方法稱為直接法。下面介紹直接 法。將f（x）在x。點(diǎn)處作泰勒展開，只取一次項(xiàng)，方程式（）可近似為x （t） f （xo）（x x。）方程式（3）稱為方程式（1）的近似線性方程， 也是方程式（3）的平衡點(diǎn)。關(guān)于x0點(diǎn)穩(wěn)定有如下結(jié)論：（1） .若f （%）0 ,則 對于方程式（）和（）都是穩(wěn)定的；（2） .若f （%）0 ,則 對于方程式（）和（）都是不穩(wěn)定的。x。對于方程式（）的穩(wěn)定性很容易通過定義式（）

9、證明。記f （x0）=a ,則方程式（3）的一股解為x（t） ceat x0其中，c是有初始條件確定的常數(shù)。顯然，當(dāng)a0時(shí)，方程式（）成立。2,二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性二階方程可用兩個(gè)一階方程表示為()Xi(t)f(Xi,X2)X2(t) g(Xi,X2)等號右端不顯然含t,是自治方程。代數(shù)方程組的實(shí)根XiXi0, X2f(Xi,X2) g(Xi,X2)X20稱為方程式（）的平衡點(diǎn)。記作P0（Xi°,X20）。如果存在謀和領(lǐng)域，使方程式（）的解Xi（t）, X2（t）從這個(gè)領(lǐng)域的某個(gè)Xi(0),X2(0)出發(fā)，滿足()lim Xi(t)K0,lm X2(t)x20則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定

10、的（漸進(jìn)穩(wěn)定）；不然，稱P0是不穩(wěn)定的（不漸進(jìn)穩(wěn)定）為了用直接法討論方程式（）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先看線性系數(shù)方程Xi （t） aiXi 82X2x2 （t） b|Xi dx2 系數(shù)矩陣記作ai a2A i bb2為研究方程式（）的唯一平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，假定A的行列式()()det A 0P0（0,0）的穩(wěn)定性由式（）的特征方程det（A I） 0的根（特征根）決定。方程式（）可以寫成更加清晰的形式2 P q 0p （ai b2）q det A將特征根記作i, 2,則1, 22( P . P2 4q)因此方程式()的一般解的形式為ce 1tC2e 2t( i 2)或 Ge 1tc?te 1t( 1

11、2)其中，C1, C2為任意常數(shù)。根據(jù)穩(wěn)定性的定義式()可知，當(dāng) 1, 2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部時(shí)，P0(0,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)1, 2有一個(gè)為正數(shù)或有正實(shí)部時(shí)，Po(0,0)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。在式()的條件下，1, 2不可能為零。微分方程穩(wěn)定性理論講平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)，焦點(diǎn)，鞍點(diǎn)，中心等類型，完全由 特征根1, 2或者是相對應(yīng)的p,q取值決定。表一簡單明了地給出了這些結(jié)果， 表中最后一列值是按照定義式()得到的關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。由表一可以看出，根據(jù)特征方程系數(shù) P,q的正負(fù)可以判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性, 準(zhǔn)則如下：(1)若P>0,q>0,則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；(2)若p<0或q<0,則平衡點(diǎn)

12、不穩(wěn)定。表一穩(wěn)定性條件判定1, 2P,q平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性1V 2V0-22-P>0, q>0, P >4q穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定1> 2>022P<0, q>0, P >4q不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定1V0V 2q <0鞍點(diǎn)不穩(wěn)定1 = 2 V0-22-P>0, q>0, P =4q穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定1 = 2 >0-2.P<0, q>0, P =4q不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定1,2 =i ,<022P>0, q<0, P <4q穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定1,2 =i ,>0-2.P<0, q>0, P <

13、;4q不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定i,2 =i ,=0P=0, q>o中心不穩(wěn)定以上是對線性方程式()的平衡點(diǎn)Po(0,0)穩(wěn)定性的結(jié)論，對于一般的非線性方程式()，可以用近似線性方法判斷其平衡點(diǎn) Po(0,0)的穩(wěn)定性。在Po點(diǎn)處將f(Xi,X2)和g(Xi,X2)做泰勒展開，只取一次項(xiàng)，得到非線性方程式()的近似線性方程。Xi(t) G (X1O,X2O)(X1 X10) fx2(Xi0,X20)(X2 X20)小 _ / 0 0、/0、_ / 0 0、/0、"X2(t)g% (Xi,X2)(XiXi)g/Xi,X2 )(X2X2)記系數(shù)矩陣為A4 q h /00AP°(Xi

14、 ,X2 )gXi g之特征方程系數(shù)為P(fXi gX) P0,q det A顯然，P0點(diǎn)對于近似方程()的穩(wěn)定性由表一或者準(zhǔn)則()，()決定，而 且得出以下結(jié)論，若近似線性方程式()的特征根不為零或者實(shí)部不為零，那么 P0點(diǎn)對于方程式()的穩(wěn)定性與對于近似線性方程式()的穩(wěn)定性相同，即由 準(zhǔn)則(i), (2)決定。最后，提出幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：(D平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的概念只對自治方程和方程式()才有意義。(2)非線性方程式()及式()的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分別與相對應(yīng)的近似線性方程式()和近似線性方程式()的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性相同 ，且是在 非臨 界情況下(a 0或者p , q 0 )才相同。在臨界情況下(a 0

15、或者p, q 0)二者的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性可能不相同。(3)在討論平衡點(diǎn)穩(wěn)定性時(shí)，對初始點(diǎn)式的要求是存在一個(gè)領(lǐng)域，這是 局部穩(wěn)定的定義。如果要求對任意的初始點(diǎn)，方程式()和方程式()成立, 稱為全局穩(wěn)定。對于線性方程，局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定是等價(jià)的，對于非線性 方程，二者不同。(4)對于臨界情況和非線性方程的全局穩(wěn)定，可以用相軌線分析方法討.捕魚業(yè)的持續(xù)收獲模型漁業(yè)資源是一種可再生資源，再生資源我們也要注意開發(fā)利用。我們既不能 為了一時(shí)高產(chǎn)而竭澤而漁，那樣肯定后破壞漁業(yè)資源的再生產(chǎn)； 反過來，如果我 們過分限制了漁業(yè)資源的捕撈，又會(huì)造成漁業(yè)資源的浪費(fèi)。在一個(gè)漁場中，其中 的魚按照自然規(guī)律生長。如果捕撈量

16、等于增長量，那么漁場的總量將保持在某一 數(shù)值上。最佳捕撈量的確定就是本章節(jié)研究的內(nèi)容。模型假設(shè)：1 .設(shè)在t時(shí)刻下漁場的魚量為x(t)；2 .在無捕撈的條件下魚量的增長服從 Logistic規(guī)律。即x雙t) f(x) rx(1 -)N其中，r為固有增長率；N為環(huán)境的最大容納魚量；f(x)為單位時(shí)間增長量；3 .單位時(shí)間的捕撈量g(x)與漁場魚量x(t)成正相關(guān)，比例系數(shù)k稱為捕撈強(qiáng)度：g(x) kx模型建立(產(chǎn)量模型)：根據(jù)以上假設(shè)，我們可以得出捕撈情況下漁場魚量的一個(gè)微分方程，記為：xx(t) rx(1 一) kx()N我們關(guān)心的是k在取何值的時(shí)候才能保證在漁業(yè)穩(wěn)定的情況下獲得最大持續(xù)產(chǎn)量。

17、為此我們可以直接求出方程式()的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性。模型求解：令F (x) f (x) g(x) rx(1 ) kx 0 得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： Nkx1N (1 -) , x2 0。()r可以算出F(x) r k 2x ,則 NF(xi) k r , F(x2) r k ,所以1 .若k r ,有F(x1) <0, F(x2)>0;則入點(diǎn)穩(wěn)定，x2點(diǎn)不穩(wěn)定。2 .若k r ,有F (xi) >0, F(X2)<0;則x1點(diǎn)不穩(wěn)定,X2點(diǎn)穩(wěn)定。3 .若k r, r為最大增長率。上述分析表明只要捕撈適度，即捕撈強(qiáng)度小于自然增長率( k r)就可以 使魚量保持在點(diǎn)處，并獲得持續(xù)

18、產(chǎn)量g(xi) k(xi);當(dāng)捕撈過度，即捕撈強(qiáng)度 大于自然增長率(k r)就會(huì)導(dǎo)致魚量減至x2=0,當(dāng)然就談不上持續(xù)產(chǎn)量了。在近一步討論當(dāng)魚量穩(wěn)定在了 點(diǎn)時(shí)，如何控制捕撈強(qiáng)度k使得持續(xù)產(chǎn)量取 得最大的問題。建立直角坐標(biāo)系作出y f (x) rx(1力和y g(x) kx的圖形，如圖(1) N所示。圖表(1)注意到y(tǒng) f (x) rx(1工)在原點(diǎn)處的切線為y rx ,在k r下y kx必然 N與y f(x) rx(1二)有交點(diǎn)p, p的橫坐標(biāo)就是穩(wěn)定平衡點(diǎn) 刈。在兩條直線之 N問，當(dāng)y kx與y f(x) rx(1上)在拋物線頂點(diǎn)p*相交時(shí)，可以獲得最大持續(xù) N產(chǎn)量，此時(shí)穩(wěn)定平衡點(diǎn)為()且單

19、位時(shí)間的最大持續(xù)產(chǎn)量為()rNg max4此時(shí)可以算出保持漁場魚量穩(wěn)定的最大捕撈強(qiáng)度為k r max / 2綜上所述，產(chǎn)量模型的結(jié)論是將最大捕撈強(qiáng)度控制在自然生長率的一半，或 者說是使?jié)O場魚量保持在最大魚量的一半時(shí)，可以獲得持續(xù)的最大產(chǎn)量。建立模型(效益模型)：問題提出：從經(jīng)濟(jì)角度看，保持產(chǎn)量最大，效益不一定就最好，為此我們在保證漁場魚量穩(wěn)定的情況下還得考慮怎樣的捕撈強(qiáng)度才能使得經(jīng)濟(jì)效益的最大化模型假設(shè)：4 .假設(shè)經(jīng)濟(jì)效益是捕撈所獲得的收入來扣除捕撈開支后的利潤來進(jìn)行計(jì)量；5 .假設(shè)魚的單價(jià)為p,單位捕撈強(qiáng)度為a,單位時(shí)間的利潤為Ro模型建立（效益模型）：R pkx ak（）模型求解：在穩(wěn)定條

20、件（x %）下，將方程式（）代入方程式（）中得到k、R（k） pNk（1 ） ak（）r為了求出最大利潤，我們對方程式（）求導(dǎo)R （k） pN 2pNk ar當(dāng)R（k） 0時(shí)可以得到滿足利潤達(dá)到最大時(shí)的捕撈強(qiáng)度為：r ,. a 、kmax 2(1 前一k將kmax代入X1N （1 -）可得最大利潤下漁場穩(wěn)定魚量Xmax以及單位時(shí)間持r續(xù)產(chǎn)量gmax為：xmaxN a2 2p()g maxrxmax(1 等)NrN4(12J p2N2()通過產(chǎn)量模型與效益模型的結(jié)果比較可以看出， 在最大效益前提下捕撈強(qiáng)度和持續(xù)產(chǎn)量都有所減少，漁場魚量有所增多。并且當(dāng)捕撈成本（ a）增加時(shí)，捕魚強(qiáng)度和單位時(shí)間持續(xù)

21、產(chǎn)量將減小，漁場穩(wěn)定魚量將增多；當(dāng)銷售價(jià)格（p）增加時(shí)捕撈強(qiáng)度和單位時(shí)間持續(xù)產(chǎn)量將增大， 漁場穩(wěn)定魚量將減少，這顯然是符合 實(shí)際情況的。建立模型（捕撈過度）：在上述模型中均是以封閉式捕撈為前提，即漁場是由單獨(dú)的經(jīng)營者經(jīng)營并進(jìn)行有計(jì)劃的捕撈。如果是開放式捕撈，那么眾多的經(jīng)營者必然會(huì)為了最求自己經(jīng) 濟(jì)效益的最大化而進(jìn)行盲目的捕撈，從而造成捕撈過度，那么上述模型將不適用 卜面討論這個(gè)模型。方程式給出了利潤與捕撈強(qiáng)度的關(guān)系 R（k），令R（k） 0的解為ks ,可以解得:ks r(1a pN)()當(dāng)k ks時(shí)利潤R（k） 0,眾多的經(jīng)營者必然會(huì)加大捕撈強(qiáng)度；當(dāng)k ks時(shí)利潤R（k） 0,他們肯定會(huì)減小

22、捕撈強(qiáng)度。所以ks是開放式捕撈下的臨界強(qiáng)度我們將方程式（）代入式（）中可以得出在開放式捕撈下漁場的穩(wěn)定魚量為:xs我們可以看出在開放式捕撈下漁場的穩(wěn)定魚量完全有成本一價(jià)格的比例所決定了，隨著價(jià)格的上漲和成本的降低，Xs將迅速減小，出現(xiàn)捕撈過度。通過將方程式（）和方程式（）進(jìn)行比較，可得 ks 20ax,即在開放式捕撈下的捕撈強(qiáng)度是最大效益下捕撈強(qiáng)度的 2倍。模型評價(jià)與應(yīng)用：為了研究漁業(yè)的產(chǎn)量，經(jīng)濟(jì)效益和捕撈過度的問題，首先在自然增長和捕撈 情況的合乎常理的假設(shè)下，建立了方程式（），并且運(yùn)用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性對保持漁 場魚量穩(wěn)定的條件進(jìn)行了分析。產(chǎn)量模型，效益模型和過度捕撈模型都是在穩(wěn)定 的前提下一步

23、步進(jìn)行，一步步深入，推導(dǎo)過程簡單，但結(jié)果在定性關(guān)系上卻是與 實(shí)際情況相符合的。如果改變了自然增長和捕撈情況的假設(shè)，那么模型和結(jié)果將改變。三.兩種群的相互競爭模型在自然界中一直以來就有著這么一句話“適者生存，不適者淘汰”。在同一個(gè)自然環(huán)境中有多個(gè)種群共同存在，它們相互依存或相互競爭亦或是相互捕食。近年來，隨著環(huán)境問題的日益頻發(fā)和自然生態(tài)平衡的打破，生態(tài)學(xué)越來越為人們 所重視，數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)也應(yīng)運(yùn)而生。數(shù)學(xué)中的抽象概念和推理方法對未來生態(tài)學(xué)起 到了顯著地作用。在研究實(shí)際問題中，我們關(guān)心的或許并不是系統(tǒng)與時(shí)間變化的 過程，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展?fàn)顟B(tài)（穩(wěn)定）。問題提出：在同一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存， 它們

24、之間是相互競爭關(guān)系，即它們會(huì) 為了生存而去爭奪它們共同的食物和生存空間。在這種情況下，隨著時(shí)間的推移 必然后有一種生物滅亡，另一種生物達(dá)到該自然環(huán)境下的最大容納量。 本章將從 穩(wěn)定狀態(tài)角度建立一個(gè)模型來分析這種局面的產(chǎn)生條件。模型假設(shè)：1 .假設(shè)存在A, B兩個(gè)種群，它們在t時(shí)刻下的數(shù)量分別為 t ,x2（t）;x, t ,X2（t）為關(guān)于t的連續(xù)函數(shù);2 .當(dāng)它們分別在同一自然環(huán)境下生存時(shí)，數(shù)量的增長服從Logistic 規(guī)律，即：X t 兇（1 三）X&（t）2X2（1 與）NiN2其中，1,2, Ni,心分別為A,B兩個(gè)種群在該自然環(huán)境下的固有增長率和最大容納量；（1 -）表示的

25、是該物種自身對環(huán)境資源的消耗對它本身增長的N阻滯作用。上可以看成是在假設(shè)環(huán)境資源總量為 1下，相對于最大容納量N而N言單位數(shù)量的該物種所消耗的環(huán)境資源。模型建立：當(dāng)這兩個(gè)種群在該自然環(huán)境下共同生存時(shí)，A消耗的生物資源必然會(huì)對B的增長產(chǎn)生一定的影響，故而我們可以合理的在（1幺）中減少一項(xiàng)，該項(xiàng)與A的N2數(shù)量X1成正比，我們可以得到種群 B的增長方程為:()為BO N嗑)b表示的是相對于M單位數(shù)量的種群A消耗的生物資源量是相對于 電單位 數(shù)量的種群B消耗的生物資源量的b倍同樣的B的存在于影響了 A的增長，種群B的增長方程為:()& tr1x1(1 -x-a -x2-)Ni N2a表示的是相

26、對于 出單位數(shù)量的種群B消耗的生物資源量是相對于Ni單位數(shù)量的種群A消耗的生物資源量的b倍。我們可以看出：如果a>1,那么在消耗供養(yǎng)種群A的生物資源中，種群B消 耗的多于種群A消耗的，故而種群B對種群A的阻滯作用大于種群A本身對于自 己的阻滯作用，即種群B的競爭力強(qiáng)于種群A;如果b>1,那么在消耗供養(yǎng)種群 B的生物資源中，種群A消耗的多于種群B消耗的，故而種群A對于種群B的阻 滯作用大于種群B本身對于自己的阻滯作用，即種群A的競爭力強(qiáng)于種群Bo由于a, b之間沒有確切的數(shù)量關(guān)系，故我們認(rèn)為兩個(gè)種群在消耗資源中對 物種A的阻滯作用和對物種B的阻滯作用是相同的。因?yàn)閱挝粩?shù)量的種群 A和B 消耗的供養(yǎng)種群A的生物資源的比為1: a,消耗供養(yǎng)種群B的生物資源的比為 b:1 ,阻滯作用相同即1: a=b:1 ,我們可以定量表示為ab=1我們假設(shè) N1=100, N2=100, a =2, b=, r1=3, r2=2, X1(0)=10, X2(0) =10,運(yùn)用MATLA編程如下：function dx=shier(t,x,r1,r2,N1,N2,a,b)N1=100,N2=100,a=2,b=,r1=3,r2=2;dx=r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(1-b*x(1)/N1-x(2)/N2);>>ts=