南京航空航天大學結構力學課后習題答案

1、第三章能量原理（習題解答）3-1寫出下列彈性元件的應變能和余應變能的表達式。（a）等軸力桿；（b）彎曲梁；（c）純剪矩形板。解：（a）等軸力桿應變能 2T11212 EfU vAdV V。d dV V2 dV -E Lf -E(-) Lf -2rfL N 2 N2L ()2E f 2Ef余應變能111 q fdVdVa b t - - V G 2 G2 Gt3-2求圖3-2所示桁架的應變能及應變余能，應力一應變之間的關系式為(a)E(b)E、解：取節(jié)點2進行受力分析，如圖3-2a所示 根據(jù)平衡條件，有 fLBdVdV V V 22EE為材料的彈性模量。其中L為桿的長度，f為桿的截面積，A為桿的

2、變形量,（b）彎曲梁應變能22T1 T1d w 1 d w 2U vdV線性一 vdV - v x( zr)dV - ,Ez( 了)dVV2 V2 V dx 2 V dx1,221_dw21 'd w 2-E(z-)2dydzdx - 0EJ(-)2dx2 v dx2 0dx余應變能dV2vMy 2TldVM 2y2 1J2 EdzdydxdxEJ(c)純剪矩形板應變能T11-21-2UdV - dV - G dV - G a b tv2 v2 v余應變能1pr 3Ni聯(lián)立(1)、聯(lián)立(1)、(b)®3-2N1 cos45N1 sin 45N3 cos45N3sin 453N

3、1Pi2N3Nf1（2）、 （3）、(4),一 2l N12 Nu |P 22N3)N3圖 3-2aPl(D(2)N1Ef1N3Ef3(3)vAdVvBdVfl(4)fl 0(5)得到桁架的應變能為2lP1B 22E f1f3 4E3f12PP2f3（2）、（3）、（5）,得到桁架的余應變能為U四2Ee1時N12f1N322lf34E2PP2f12P2f3N121E2 fl2N；E2f3(6)聯(lián)立（1）、（2）、（4）、（6）,得到桁架的應變能為3_Pfl2一聯(lián)立（1）、（2）、（5）、(6),得到桁架的應變能為3P B P2fl2一3-3一種假想的材料遵循如下二維的應力一應變規(guī)律xy2x2y

4、2y/Gy ：E其中E、解:G和是材料常數(shù) 應變能密度導出用這種材料做成的二維物體的應變能密度0余應變能密度總應變能密度xdydxyxyxyxyxy03xyGxydxy所以應變能密度為A (AB)y EdEdxy2 G d xy xy ；xy13G3xy3xyG13y 3G xy3xyG3-4試用虛位移原理或最小位能原理確定題3-4圖所示平面桁架的節(jié)點o的位置和各桿內力。各桿材料相同，彈性常數(shù)為各桿截面積f11.5cm2,解：設。點的位移為f2. 2cm2, f3 3cmEo P12。104 N , P2 5 103 N ,解得o-1 桿:o-2 桿:o-3 桿:系統(tǒng)位能0,Eflu cosv

5、sin則各桿的變形量如下:二(u v)2ucosEf 2I IsinRuP2V(u v)Ef1(u v)2Ef2v2Ef3( u v)24.2l2lRu P2Vf1 (u2.2lE fi(uv)2.2lv)f3(uf3(u v)No1No2No3v)P1Ef2 v l53.2 104 l108 E5- 2 104 lEfillEf2l2Ef3l324P207660N4170N6480N3-5試用最小位能原理導出承受均布載荷 q的彎曲等截面梁（圖3-5）的平衡方程式。解：由教科書例3-2知,41 一 d w 、，。（充 q）wdx懸臂梁的邊界條件為：EJdX2 dX,3EJ 涓 w| 0 00處

6、,業(yè)0 dX在X又知l處,剪力dw z dX（直法線假設）工2t2zdz所以，當l處,彎矩X 1時,2d wz 2dXd2wEz r dX.2EJdjwdx2d2w dX2又知dM (x)dxQ(x)所以dMdxEJ1 3d wdx3在x l處，剪力Q 03 , 所以，當x 1時,需0由以上，如果 則有受均布載荷懸臂梁的平衡方程為二0圓框的彎矩表達式，并給出彎矩圖d4wEJ “ q3-6試用最小余能原理求解圖3dx所示P圓框的截面彎矩剛度為EJ、q sinR解：根據(jù)圓框的對稱性可知，在圖3-6a的受力分析圖中，只有軸力和彎矩,而無剪力。取右半部分的一段進行受力分析如圖3-6a所示根據(jù)平衡條件，

7、可得到彎矩表達式PRM M 0 N0R(1 cos ) ° sin 1 cosPRM0 N0R(1 cos )1 cos1.一sin2余應變能M2Rd0 2EJ外力余能根據(jù)最小余能原理Mo2EJMRd(1)NoMo2EJMoN0RMRR(1cos )d0(2)In*7PR 0 8聯(lián)立（1）、（2）解得MoPR4No3P4則圓框截面的彎矩為PR21 -cos2sin3-7試用瑞利一李茲法確定圖3-7所示梁的點A處橫向撓度w|x l 02 d w.2 1x L dx解：梁兩端簡支，其位移邊界條件為 w|x 0 02" 0',2 1x 00dx選取正弦函數(shù)為基函數(shù)，取前兩

8、項，則x w a1 sin 2 x a2 sin梁的應變能為1EJ 2,2L/d w,2 , (-2) dx0 dx24EJ 24L3 (a116a22)梁的外力勢能LV Pwdx0梁的總位能L 0(q一)(ai sin L L2 a2 sin 一X 一)dxLqa1 L qa2L4EJ 2J'1“ 2、 qaL16a2 )qa?L由最小位能原理因此4EJ qL 八1al02L34ej4L3-32a2qL2-穿4 sin5EJa1a2qL4-516 EJ2qL5EJqL4-Z 5 16 EJ.2 x sin L,2.當x 2L時36731 .3 qL45 32 EJ圖3-73-8沿直平

9、面內的正方形薄板，邊長為H y圖3-82a,四邊固定，只受重力 g作用,如圖3-8所示。設0 ,試取位移分量的表達式為2 xa2 xa2 y2 a2 y2 aBi2 x AA2 a2A3當a2B32LaX umdxdy 0Y vmdxdy 0(D用瑞利一李茲法或伽遼金法求解解：運用伽遼金法求解。本題中的四邊形薄板四邊周支，因此是一個平面應力問題。其基本方程為E2u12u12v_12x22y22x yE2V12v12u12y22x22x ym 1,2,3L當只取A項和Bi項時，位移分量的表達式為22/X/ yX y Au 1 12 - - A)a a a a2y2 a22u1y6xy A2-1

10、24 A1，x aa(2)3x2駕B1a23ya A2 2，a a因為0,x 0,Y g,所以（1）式可簡化為1 2u2 "71 2V將 u1,V1 ,(2)2 x y1 2u2 x yV1式代入（3）u1dxdy 0g m dxdy(3)2y2 a2 x 2 a21上2 a1 4xy次巳2 y2 axy2 adxdy2y2 aB12x3x22 a3y22 a21 2 ay22adxdy2 26x y2 y2 ac 2 23x ydxdyc 2 22x y2 y2 adxdyB112a73x2-2a2 x2 a2y_ adxdyA122a21 r1 2a2 匕 -2 a2 x 2 a

11、dxdyB1g E 簡化為2y .dxdy a7A2 A 4cA B7559Bi132 gaE由此解得B120.422 -ga- E代入位移表達式,0.164 E2 y2 axy20.422-ga- E2 x 2 a2y2 a由物理方程，得xyE2(1衛(wèi)5(1 1066450 (1 533及(1 2132吟(1 a2x、 T)a2 。(1 agy葦)agy225 M gx ； (1 533gx撓度函3-9用李茲法求解受均布載荷作用雙簡支梁的最大撓度和最大彎矩, 數(shù)選下列兩種形式，比較其計算結果。x(a) w(x) a1sin l.、x(b) w(x) a1sin Tassin -解：雙簡支梁兩

12、端的位移邊界條件是在x 0 x l處，wd2w dx2彎矩的表達式為EJd2w dx2(a) w(x) a1sin梁的總位能由最小位能原理所以撓度函數(shù)的表達式最大撓度最大彎矩(b) w( x)a1 sin梁的總位能LEJ01 2d wdx22dxLo qwdxEJ 4 2a14l理aa1aiwmaxEJ4l3ai2cos一 l42a12qldxLo qwdxEJ2l3 4ql4 EJ 54-a1w(x)獎EJ 5.一 xsin 一lM max4ql4Ej-4ql2x . 3 x ,a3sin時ll0.01307 丈 EJ20.129qlLEJ0d2wdxL° qwdxEJ2l4_22

13、a1 sinx 2 .一 81a3 sinl 3一 , x . 3 x 18a1a3 sin - sin jdxLo qwdx3 ai3由最小位能原理3a3EJ 4-410有_ 281a；一0a12qlaiEJ 4 -2l3 4ql4a1 0EJ 50a32ql 81EJa32l3 4ql4 35EJ 54一 a3所以撓度函數(shù)的表達式w(x)維EJ 5sin4ql435EJ 5.3 x sinl最大撓度wmax x l 24ql4EJ 54ql-5-53 EJ最大彎矩_ _4242 4qlJ 0.013017243 EJ 5ql4EJ26 4ql2_ _20.1242 qlM max x l

14、23-10用李茲法求解受均布載荷懸臂梁的撓度，撓度函數(shù)選下列各種形式,并比較兩種計算所得的最大撓度023(a) w(x)a2xa3xx(b) w(x) A(1 cos)2l解：懸臂梁的邊界條件是在x=0處，w 0dwdx(a) w(x)2 a2x3 11a3x時梁的總位能LEJ0d 2w dx22dxL0 qwdx1 EJ21 EJ21EJ2由最小位能原理2a24a224a22la2a36a3X2dx2q a?x八3 xa3x dx24a2a3X2 236a3 xdxL0q23a2xa3x dx聯(lián)立(1)、(2)解得所以撓度函數(shù)的表達式最大撓度wmax(b) w(x) A(1梁的總位能12a2a以 2 12a32l3a24EJla26EJl2a25ql224 EJ1-a 32l326EJl a312EJ1a31. 33ql3a34ql40ql12EJ(1)(2)w(x)就24 EJ5ql424 EJx cosql412EJ2l)時ql 3 x 12EJ0.12sLEJ0,