余弦定理二復(fù)習(xí)進(jìn)程

1、余弦定理(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握余弦定理及變形形式，能用余弦定理解三角形.2.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形形狀.3.能利用正弦、余弦定理解決解三角形的有關(guān)問(wèn)題匕和避模理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一正弦定理及其變形=上=上=2R .sin A sin B sin C -2.a= 2Rsin A, b=2Rsin B, c=2RsinC.知識(shí)點(diǎn)二余弦定理及其推論1.a2= b2+ c2 2bccos A, b2= c2 + a2 2cacos B, c2 = a2+ b2 2abcos C.b2+ c2 a2c2+a2b2a2+ b2 c22cos A=2bc ' cos B= 2ca ' co

2、s C=2ab .3.在ABC 中，c2=a2+b2?C為直角,c2>a2+b2?C 為鈍角；c2<a2+b2?C 為銳角.知識(shí)點(diǎn)三正弦、余弦定理解決的問(wèn)題思考以下問(wèn)題不能用余弦定理求解的是 .(1)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角；(2)已知兩角和一邊，求其他角和邊；(3)已知一個(gè)三角形的兩條邊及其夾角，求其他的邊和角；(4)已知一個(gè)三角形的三條邊，解三角形.答案(2)，題型探究重點(diǎn)突破題型一利用余弦定理判斷三角形的形狀例1在ABC中，cos2| = 春c,其中a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，則4 ABC的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形或

3、直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形答案 A解析 方法一 在 ABC中，由已知得1 + cos B 1 a =-+ .2 22c，, a a2+c2-b2 cos B=-=,c 2ac化簡(jiǎn)得c2=a2+b2.故 ABC為直角三角形.方法二原式化為cos B=a=S1nA,c sin Ccos Bsin C= sin A= sin（B+ C）=sin Bcos C+ cos Bsin C,sin Bcos C= 0, BC （0,兀）sin BW0, cos C = 0,又.Ce （0,兀）.,.c=90o, 即ABC為直角三角形.跟蹤訓(xùn)練1 在 ABC中，B= 60°, b2=a

4、c,則三角形一定是（）A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形答案 B解析由余弦定理cos B =a2+ c2- b22ac'1 a2+ c2- ac 代人得2'a2+ c2 2ac= 0,即(ac)2=0,a= c.又B = 60°,.ABC是等邊三角形題型二正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用 例2 在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,且a>c,已知BA BC= 2, cos B =17, b=3,求： 3(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由 BABC=2 得，cacos B=2,又 cos B = 1.

5、所以 ca= 6. 3由余弦定理得 a2+c2= b2+2accos B.又 b = 3,所以 a2+c2 = 9+2X6X1= 13.35勵(lì)=6解得 a=2, c= 3 或 a=3, c= 2.a2 + c2 = 13因?yàn)閍>c,所以a=3, c=2.(2)在 ABC 中，BC(0,兀)sin B=3 cos2B=1 1 2 = 22. ,33由正弦定理得，sin C=bSin B專限嚕因?yàn)閍=b>c,所以C為銳角,因此cos C = 1 sin2c=1 4-92 2 = -7.于是17cos(B C) = cos Bcos C + sin Bsin 0=3X9+2_L2y4_L

6、2 231人1-=3927.跟蹤訓(xùn)練2 在4ABC中，內(nèi)角 A, B, C對(duì)邊分別為 a, b, c,且bsin A=43acos B.(1)求角B;(2)若 b= 3, sin C=2sin A,求 a, c 的值.解 (1)由bsin A=y3acos B及正弦定理，得 sin B = y3cos B,即tan B=® 因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B=-.3(2)由sin C=2 sin A及正弦定理得，c=2a.由余弦定理及 b=3,得9= a2+ c2- 2accos£, 3即 9 = a2+4a22a2,所以 a=小,c= 273.題型三利用正弦、余弦定理證明邊角恒

7、等式例3 在4ABC中，A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,求證:a2 b2 sin A Bc2 sin C證明 在 ABC中，由余弦定理得 a2=b2 + c2-2bccos A,b2= a2+ c2 2accos B,a2 b2= b2 a2 2bccos A + 2accos B,1- 2(a2 b2) = 2accos B 2bccos A,即 a2 b2= accos B bccos A,a2b2 a cos B bcos Ac2a sin A b sin B 由正弦里得c=沅，不a2 b2 sin Acos B cos Asin B sin A Bsin C故等式成立.跟蹤

8、訓(xùn)練 3 在ABC 中，若 acos2C+ccos2 A = 3b，求證：a+c= 2b.解 由題 a(1 + cos C)+c(1 + cos A)=3b,即 a + a0? + c+ ca? = 3b,2ab2bc2ab+ a2+ b2 c2+ 2bc+b2 + c2 a2= 6 b2,整理得ab+bc=2b2,同除b得a+c= 2b,故等式成立.易錯(cuò)點(diǎn)忽略三角形中任意兩邊之和大于第三邊例4 已知鈍角三角形的三邊BC=a=k, AC=b=k + 2, AB=c=k+ 4,求k的取值范圍錯(cuò)解 : c>b>a,且4ABC為鈍角三角形，1- C為鈍角.由余弦定理得cos C=a2&#

9、177;2abk2 4k 122k k+2<0.k2-4k-12<0,解得2< k<6, k為三角形的一邊長(zhǎng)，k>0,由知0<k<6.錯(cuò)因分析忽略隱含條件k+ k+ 2>k+ 4,即k>2.正解 c>b>a,且 ABC為鈍角三角形，1- C為鈍角.,a2 + b2_ c2 k2_4k_ 12由余弦7E理得 COS C = =<0,2ab 2kk+2'k2-4k-12<0,解得2< k<6,由兩邊之和大于第三邊得k+ (k+ 2)>k+ 4,k>2,由可知2<k<6.誤區(qū)警示

10、在解與三角形的邊有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一定要注意三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.跟蹤訓(xùn)練4 若 ABC為鈍角三角形，三邊長(zhǎng)分別為2,3, x,則x的取值范圍是()A.(1 , 而B(niǎo).(<13, 5)C.( .5,13)D.(1 , . 5)U ( .13, 5)答案 D22+ 32x2解析 右x>3,則x對(duì)角的余弦值<0且2+3>x,2X 2 X 3解得 13<x<5.22 + x232(2)若x<3,則3對(duì)角的余弦值<0且x+2>3,2 X 2 X x解得 1<x< ,5.故x的取值范圍是(1, V5)U(V13, 5)

11、.h當(dāng)堂檢測(cè)自言自糾1.在4ABC 中，bcos A=acos B,則ABC是（）A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.銳角三角形2 .在 4ABC 中，sin2A- sin2C - sin2B = sin Csin B,則 A 等于(A.60 °B.45 °C.120 °3 .在ABC 中，A= 120°, AB=5,855A-B"C.7583D.30BC=7,則煞的值為（4 .已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1,3, a,則a的范圍是(A.(8,10)B.(2 .2, ,10)C.(2 .2, 10)D.( 10, 8)5 .在ABC 中

12、，若 b=1, c=布,C = 2 則 a=36.已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別為2,3,4,則此三角形是/課時(shí)精煉三角形.7D.84.已知銳角 ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,23cos2A+ cos 2A = 0, a=7, c= 6,、選擇題1 .在4ABC中，有下列結(jié)論若a2>b2+c2,則 ABC為鈍角三角形；若 a2 = b2 + c2+bc,則 A 為 60°若a2 + b2>c2,則 ABC為銳角三角形；若 A ： B ： C = 1 ： 2 ： 3,貝U a ： b ： c= 1 ： 2 ： 3.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.

13、42 .在 4ABC 中，已知 a=2,則 bcos C+ccos B 等于（）A.1 B. 2C.2D.43 .如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）5A.布則b等于（）A.10B.9C.8D.55 .在ABC中，a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)邊，且b2=ac,則B的取值范圍是（）兀A.（0, 3 3b.3,兀）c.（o, 6D.6,兀6 .若 ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊a, b, c滿足（a+b）2c2= 4,且C=60°,則ab的值為（）42A.8-43B.1C"D"337 .在ABC 中，AB=7, AC =6,

14、M 是 BC 的中點(diǎn)，AM = 4,則 BC 等于（）A. 21B. ,106C. 69D. .1548 .如圖，在 ABC 中，/ BAC= 120 °, AB =2, AC = 1, D 是邊 BC 上一點(diǎn)，DC = 2BD,則AD BC等于()A 21 A. 2二、填空題1 一 9.在4ABC中，內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊分別是 a, b, c.已知b-c= 2a,2sin B=3sin C,則cosA的值是.102ABC為鈍角三角形，a=3, b=4, c= x,則x的取值范圍是 .11在 ABC中，C=3B,則c的范圍是b三、解答題312 .在 ABC中，內(nèi)角 A, B,

15、 C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知b2=ac且cos 8 = 4.1 1(1)求;一-+；的值； tan A tan C、一 f f 3 _La.工(2)設(shè) BABC = 2，求 a+c 的值.13 .在4ABC中，a、b、c分別是角 A、B、C的對(duì)邊，求證:cos C b ccos Acos B c bcos A當(dāng)堂檢測(cè)答案1 .答案B解析由題 b b2+a2 = a a2+ J2一/,2bc2ac整理得 a2 = b2, a = b.2 .答案C解析由正弦定理得 a2-c2-b2= bc,b2 * c2 a2結(jié)合余弦定理得cos A=f-又 AC （0,兀）A= 120°3

16、.答案 D1解析 由余弦定理 BC2=AB2 + AC22 AB AC coA 得 72= 52+AC22 5C -）,sin B，AC=3或-8（舍）.，而石二AC 3 = 一AB 5.4 .答案 B解析 只需讓3和a所對(duì)的邊均為銳角即可12+32 a22 1 3>°,解得 2 2<a< ,10.12+ a232故> > >0叫2 , a ,1 + 3>a1 + a>35 .答案 1解析由余弦定理得 c2= a2+ b2 - 2abcos C,，a2+1 + a=3,即 a2+a2=0,解得a= 1或a= 2（舍）.6 .答案鈍角22

17、+ 32 421解析4所對(duì)的角的余弦為 =-<0,2X2X34 '故該角為鈍角，故該三角形為鈍角三角形課時(shí)精練答案、選擇題1.答案 A解析 結(jié)合余弦定理可知： 中A為鈍角，正確；中A=120°中C為銳角, 角未必是銳角；中 A、B、C 分別為 30°、60°、90°,，a ： b ： c=sin A : sin B ： sin C = 故正確的結(jié)論為.但另兩個(gè)2：尹2.答案 C解析 bcos C + ccos B=bT2 +c"浮2ab2aca2+ b2 c2+ a2+ c2 b22a=a= 2.3.答案 D解析 設(shè)頂角為 “，底

18、邊長(zhǎng)為a,周長(zhǎng)為 5a,故腰長(zhǎng)為 2a,由余弦定理可得2a 2+ 2a 2- a2 72 2a 2a8.cos a =4.答案 D解析 由 23cos2A + cos 2A = 0 得 23cos2A + 2cos2A- 1 = 0一 ,11 cos A=耳，A 為銳角, . cos A = ", 5又 a2= b2 + c2 2bccos A,1.-49=b2+ 362 b 冰 士513b = 5 或 b= - "5-（舍）.5.答案A解析由余弦定理a+ ，得 72+ 62=42 + 42+a2,解得 a= VW6.8.答案 B ab2+ac2 bc2解析由余弦定理得co

19、s/ BAC = 一=一，2AB AC解得bc = J7,p A AB2+BC2 AC2 AB2+BD2AD2 又 cos B=-+c2b2a c2+ac a- c 2 1 1cos B = + -,2ac2ac 2ac 2 2'_ _、 一 _ 兀B (0,兀)B (0, §.6 .答案 C解析C= 60°,c2= a2+ b2 2abcos 60 = a2+b2ab.又(a+b)2c2= 4, 1. c2= a2+ b2+ 2ab 4,故ab=2ab4, 1. ab = 4. 37 .答案 B a 斛析設(shè) BC= a,則 BM = MC=.在ABM 中，AB2=

20、 BM2+AM2- 2BM AM - coS AMB ,1 c ca/即 72=4a2 + 42 2*2*4 coSAMB ,在ACM 中，AC2 = AM2+ MC2-2AM MC - coSAMC ,1 a2AB BC2AB BD即 62= 42 + a2+2X 4X2 coS AMB ,解得AD =華,3又AD, BC的夾角大小為 /ADB,BD<<0 且 3+ x>4 , - 1<x<V7. - x -，+AD2AB2 cos/ ADB =cm “c2BD AD乎2十 %3 2 22c 7、/ 13912X o33所以 AD Bc= |AD| bC| cOsADB = - 8.3二、填空題39 .答案4 解析 由2sin B=3sin C及正弦定理可得 2b= 3c,一 1 一,13由 b c=a 可得 a= c, b=c,b2 + c2 a2 3由余弦定理可得cos a=4.10 .答案 (1, V7) U (5,7)解析 若x>4,則x所對(duì)的角為鈍角,32 42-x2 一2.3.4<0 且 x<.x的取值范圍是（1, V7） U （5,7）.+11答案（1,3） = 7,-解析由正弦定理可得c=嗎=型噂 b si