八年級同步第12講：一元二次方程章節(jié)復習

1、第12講一元二次方程復習知識框架一元二次方程是初中數學計算的一個重要工具，一元二次方程思想也是初中數學中重要的解題思想，它與初三所學的二次函數有著密切的關系，同時在有求未知數的題目中，經常運用方程思想求解，這就要求同學們一定要把現在的一元二次方程基礎夯實，為以后的綜合學習奠定良好的基礎.1. 一元二次方程的概念只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 bx c 0 a 0 ,其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項， b是一次項系數；c是常數項.3. 一元二次方程的解法2解法1：直接開平萬法： 適合類型：x a b,

2、當b 0時，原方程無實數解.解法2：因式分解法：(1)將方程右邊化為0;(2)將方程左邊的二次三項式分解為兩個一元一次方程；(3)令每一個因式分別為 0,得到兩個一元一次方程；(4)分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.解法3:配方法：(1)先把二次項系數化為1：方程兩邊同除以二次項的系數；(2)移項：把常數項移到方程右邊；2(3)配萬：萬程兩邊都加上一次項系數一半的平萬，把萬程化為x m n的形式;(4)當n 0時，用直接開平方法解變形后的方程.解法4:公式法:(1)把方程化為一般形式，進而確定a, b, c的值.(注意符號)(2)求出b2 4ac的值.(先判別方程是否有根)(3

3、)在b2 4ac 0的前提下，把a , b , c的值代入求根公式，求出方程的根.224.兀二次方程ax bx c 0 a 0的根的判別式是b 4ac .當 0時，方程有兩個不相等的實數根x1兩個相等實數根x2b .b2 4ac2a 包；當0時, 2abb2 4acx22a;當 0時，方程有方程沒有實數根.5.韋達定理: 法得：如果 x二次方程ax2bx c 0 (a0)的兩個根，由求根公式這是x1b b2 4ac2ax2次方程根與系數的關系b b 4ac;則 x1 x22a6. 二次三項式的因式分解：（1）形如ax2 bx c （a, b, c都不為0）的多項式稱為二次三項式；（2）當b(C

4、) 200 1 2a% 4ac 0 ,先用公式法求出方程ax2 bx c 0 a 0的兩個實數根Xi ,x2,再寫出分解式ax2bx c a xxixx2；當b2 4ac 0 ,方程ax2 bx c 0 a 0沒有實數根，ax2 bx c在實數范圍內不能分解因式.7. 一元二次方程的應用列一元二次方程解應用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實際問題有意義，凡不滿足實際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去.列一元一次方程解應用題的步驟：審題；設未知數；找等量關系； 列方程；解方程；寫答句.12.1課堂檢測51.、選擇題若方程ax

5、2 bx c(a 0)中，a,b,c 滿足 a b c 0 和 a b c0 ,則方程的根是2.3.( )(A) 1,0；(B)1,0(C) 1, 1；（D）無法確定.已知關于x的方程(k 2)x0有兩個相等的正實數根，則k的值是（(A) 2;某商品原價200元,、2(A) 200 1 a%(B)10 ；(C) 2 或 10 ;(D) 2V5.連續(xù)兩次降價a%后售價為148元，下列所列方程正確的是 （148 ；2(B) 200 1 a% 148；2(D) 200 1 a2% 148.4.某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念,全班共送1035 張5.6.照片,(A)(C)如

6、果如果全班有x名同學，根據題意，列出方程為（x x 11035;x x 11035;2二次方程 x 3x 2( )(A) 3,2;若關于x的(B)(D)(B)2次方程x2kx的兩個根為X、x2 ,24k(C)2x x 1那么x11, 1；1035 2;1035 .0的兩個實數根分別是(D)3,2 .X , x2，且滿足(A)1或 3 ；4(B)1 ；(C)多；4(D)2如果xP x2是萬程x3x 111 ,0的兩個根，那么的值等于（Kx2)(A)3;(B)3；(C)；3(D)k的值為（x1 gx2 .則)不存在.7.Xx218. 對于任意實數 m,關于x的方程(m2 1)x2 2mx (m2

7、4) 0一定()(A)有兩個正的實數根；(B)有兩個負的實數根；(C)有一個正實數根、一個負實數根；(D)沒有實數根.9. 關于 x 的方程x2 px q 0 的兩根同為負數，則( )(A)p0 且 q0;(B) p0Hq0;( C) p 0 ；( D) p 0 且 q 0 二、填空10. 已知關于 x 的一元二次方程a 1 x2 x a2 1=0 的一個根是0 ， 那么 a 的值為 11. 當 t 時，關于 x 的方程x2 3x t 0 可用公式法求解12. 若一元二次方程k(x2 2x 1) 2x2 x 0有實數根，則k的取值范圍是 .13. 若 (a b)(a b 2) 8 ，則 a b

8、 =14. 已知2x2 3x 1 的值是 10 ，則代數式4x2 6x 1 的值是 15. 如果 x2 2 m 1 x m2 5是一個完全平方式，則 m 216. 在實數范圍內因式分解： x 4x 7 17. 某食品連續(xù)兩次漲價 10% 后價格是a 元 ,那么原價是 18. 長方形鐵片四角各截去一個邊長為5cm 的正方形, 而后折起來做一個沒蓋的盒子， 鐵片的長是寬的2倍,作成的盒子容積為1.5立方分米 , 則鐵片的長等于，寬等于22219. 已知一元二次方程x 3x 5 0 的兩根分別為x1、 x2 ，那么x1x2 的值為 23220. 已知 x2 x 1 0 ，則 x3 2x2 2009

9、的值為 三、解答21. 解方程： x 1 x 2 x 3 x 4120 22. 求證：不論k為何值，關于x的方程x2 (2k 1)x k 3 0總有兩個不相等的實數根.23.關于x的一元二次方程(m 1)x2 2x 3 0(1)當m取何值時，此方程有兩個不相等的實數根;(2)當m取何值時，此方程有兩個相等的實數根；(3)當m取何值時，此方程沒有實數根.一一 、一 2 . .24.已知關于x的一兀二次萬程x 2x a 1 0沒有實數根，試判斷關于 程x2 ax a 1根的情況，并說明理由.x的一元二次方.一.222232.2 25.已知 m, n 為實數，且（m n ）（m n 1） 20 ,

10、mn 一，求（m n）及（m n）的值. 226.說明：不論x取何值，代數式x2 5x x2 5x 7的值最?。孔钚∈嵌嗌?？7的值總大于0,再求出當x取何值時，代數式1127.據報道，我省農作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%,大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產出的農作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增長率.（取,2 1.41）28.品牌的香煙每條的市場價格為70元，不加收附加稅時，每年產銷100萬條,若國家征收附加稅,每銷售100元征稅x元（叫做稅率x%）,則每年的產銷量將減少 10x萬條.要使每年

11、對此項經營所收取附加稅金為168萬元，并使香煙的產銷量得到宏觀控制，年產銷量不超過50萬條，問稅率應確定為多少？29.某商場將進貨價為 30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出 600個.調查表明：這種 臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個.為了實現平均每月10000元的銷售利 潤，這種臺燈的售價應定為多少？這時應進臺燈多少個？30.機械加工需要用油進行潤滑以減少摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克，用油的重復利用率為 60%,按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克.為了建設節(jié)約型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關.

12、(1)甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑油用油量下降到70千克，用油的重復利用率仍然為 60%.問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量 是多少千克？(2)乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復利用率，并且發(fā)現在技術革新的基礎上，潤滑用油量每減少1千克，用油量的重復利用率將增加1.6%.這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克.問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少千克？用油的重復利用率是多少？12.2課后作業(yè)1 .用適當的方法解下列方程：,2.、2 一(3) x(x 1) 9x ；(1) 2(x 1)2 3

13、(x 1)(2 x) 2(x 2)2 0；(2) (x2 3x 4)(x2 3x 5) 6 ；(4) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 20 .2. 在實數范圍內分解因式：（ 1） x2 3x 1 ；222) 3x 4xy 2y ；423) x x 6 ；224) 2x y 4xy 3 223 .已知關于x的方程x （2k 3）x k 1 0 ,求當k為何值時，此方程有實數根.4 . 試證明關于x的方程（a2 8a 20）x2 2ax 1 0 ,無論a取何值，該方程都是一元二次方程？ 一個長方形的養(yǎng)雞場，長靠墻14m,其它三邊用籬笆圍成，現有 35m長的籬笆，小王打算用它圍成一個養(yǎng)雞場，其中長比寬多5m,小趙也打算圍成一個雞場，其中長比寬多2m,你認為誰的設計合理，雞場面積是多少？6. 某科技公司研制成功一種新產口， 決定要銀行貸款 200 萬元資金， 用于生產這種產品 簽定的合同上約定兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的 8% 該產口投放市場后，由于產銷對路，使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬元若該公司在生產期間每年比上一年資金增長的面分數相同，試求這個百分數7. 某商場在 “五一節(jié) ” 的假日里實行讓利銷售， 全部商品一律按九銷售， 這樣每天所獲得的利潤恰是銷售收入的20% ，如果第一天的銷售收入4 萬元，