一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索和應(yīng)用

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索和應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在新課本里面已經(jīng)沒有單獨(dú)作為一節(jié)來學(xué)習(xí)，而是作為一個(gè)問題來探索和研究；并且僅限于 x2+px+q=0(p2-4q 0)的形式,由于這部分內(nèi)容在整個(gè)中學(xué) 數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性，特別是在解答有關(guān)二次函數(shù)和一元二次不等式的綜合性題型時(shí)用得最 多；所以,對(duì)于中上成績的學(xué)生來說,有必要繼續(xù)探索研究關(guān)于 ax2+bx+c=0(a 工 0,a、b、c 為 常數(shù),b2-4ac 0)的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.用配方法解平方項(xiàng)系數(shù)是 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,先由學(xué)生自主探索它的解答過 程,然后抽一名學(xué)生在黑板上寫出解答過程；教師給予點(diǎn)

2、評(píng)歸納總結(jié)用配方法解平方項(xiàng)系數(shù) 是 1 的一元二次方程的關(guān)鍵是在于方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，只有在 p2-4q 0 時(shí)一元二次方程 x2+px+q=0 才有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，xi=pp,x2=pp.由2 2學(xué)生分組計(jì)算 xi+x2,x1X2的值.然后問學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？學(xué)生們回答 xi+x2=-p, xiX2=q, 引導(dǎo)學(xué)生用文字語言回答，歸納探索得出根與系數(shù)的關(guān)系；兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反 數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)。它的特殊應(yīng)用在于已知一元二次方程的兩根，求這個(gè)一元二次方 程。這個(gè)一元二次方程就可以寫成 x2- (X1+X2) x+xiX2=0 的形式.如果平方項(xiàng)系數(shù)不是 1

3、的一 元二次方程 ax2+bx+c=0(其中 a0,a、b、c 為常數(shù))還能用配方法來解嗎？讓學(xué)生探索討論并 解答.師生共同探索歸納用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(其中 a 0,a、b、c 為常數(shù))的關(guān)鍵在于先把平方項(xiàng)系數(shù)化成 1 變?yōu)榉匠?x2+px+q=0 的形式就可以求解了 .它體現(xiàn)了化未知為 已知的數(shù)學(xué)思想.抽兩名學(xué)生在黑板上寫出解答過程.并計(jì)算 X1+X2,X1X2的值.并讓學(xué)生們注意 發(fā)現(xiàn)了什么？回答是 X1+X2=-b/a,x1X2=c/a ；讓學(xué)生口頭回答根與系數(shù)的關(guān)系：兩根之和等于一 次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)比上二次項(xiàng)系數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)比上二次項(xiàng)系數(shù).一、基本題型：

4、1.已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根及求所含字母系數(shù).例 1:已知方程 3x2+bx-4=0的一個(gè)根 2/3，求另一根和 b 的值.解：設(shè)另一根為 X2,由根與系數(shù)的關(guān)系得：X2=- ，X2=-2，33-2+2=-m,m=4.注意:利用根與系數(shù)的關(guān)系求根及字母系數(shù)的值,關(guān)鍵是確定運(yùn)用哪一個(gè)關(guān)33系式作為突破口 .例 2:已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-(2m2-1)x+m2=0,當(dāng) m 為值時(shí)一元二次方 程有：(1) 一個(gè)根為 0； (2)兩根互為相反數(shù)；(3)有兩個(gè)正根；(4) 一根要大于 1，一根要小 于 1. 解:由根與系數(shù)的關(guān)系可知(1)當(dāng)常數(shù)項(xiàng) m=0,即 m=0 時(shí)一元二次方

5、程有一根為 0.(2)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)-(2m2-1)=0 ,m=_ .2/2 時(shí)一元二次方程的兩根互為相反數(shù).(3)當(dāng)-(2m2-1)2-4m222:0,-(2m -1) 0,m0 同時(shí)成立；解之得-2 12m 1/4 時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)正根.設(shè) X1、X2一元二次方程 x2-(2m2-1)x+m2=0 的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系有(x1-1)(x2-1) 0,化 簡得:x1X2-(x1+X2)+1 0.m2-(2m2-1)+1 0,同時(shí)成立,解之得 m 0,即 m-13/4 時(shí)，一元二次方程有兩 個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為X1、X,則 X1+x=-(2m+1),x 伙

6、2=忌 3 .X1X=2(X1+x),m-3=2x-(2m+1),m+4m-1=0,m=-2+ .5,m=-2-、5(不合題意,舍去).答:存在實(shí)數(shù) m=-2+ .5,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的的積與兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和的2 倍相等.例 2:已知關(guān)于X的一元二次方程X-5X+3=0的兩根分別是一直三角形的兩條直角邊，求這個(gè)直角三角形的斜邊長.解：=(-5)-4x1x3=25-12=130 二 一元二次方程X2-5X+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)它分別為 X1、X.由根與系數(shù)的關(guān)系有X1+X=5,X1X2=3 .直角三角形的斜邊=；.x x；=.(X1X2)2- 2恥2 - 52- 2 3 -.19 .小結(jié)：利用

7、 X1+X2與 X1X2可獲得關(guān)于 m 的等式，在求得 m 的值后,必須檢驗(yàn)方程的判別式是否能保證方程有兩個(gè)實(shí)根；否則就要增加解.二、綜合能力創(chuàng)新探研：例 1:已知二次三項(xiàng)式 3x-4x+m,當(dāng) m 取何值時(shí),(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式；(3)能分解成一個(gè)完全平方.探索:二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式的條件是方程有實(shí)數(shù)根，即厶=b-4ac 0;不能分解的條件是 0,m 4/3 時(shí),二次三項(xiàng)式 3x-4x+m 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式；(2)當(dāng) 0 時(shí)，即 16-12m4/3 時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式；(3)當(dāng)厶=0 時(shí)，即 16-12m=0,m=4/3 時(shí)，二次

8、三項(xiàng)式是完全平方 式.例 2:已知實(shí)數(shù) m、n 滿足 ni-5m+3=0,n-5n+3=0. -m的值.m n解：若 m=n 時(shí)，m=1+1=2 .若 m n 時(shí)，則 m、n 是方程X-5X+3=0的兩根.由根與系 m n2 2 2 2n m m n (m n) -2mn 5-2 319、1X1X2數(shù)的關(guān)系可知:m+n=5,mn=3 -=.注意：本題有m n mnmn33兩個(gè)答案；而 2 這個(gè)答案容易忽略.因?yàn)榉匠蘕2-5X+3=0的厶=(-5)2-4X1X3=130.所以方 程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即 說 n.但題設(shè)中并沒有這樣的限制條件.22a例 3:已知 a、b 為實(shí)數(shù),且有 3a +2

9、009a+8=0,8b +2009b+3=0.ab 1 求 的值.b分析:仔細(xì)觀察察兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，將第二個(gè)方程通過變形使它們具共同特點(diǎn)，然后 重新構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解解：由 8b2+2009b+3=0 可知 b 0,所以在方程的兩邊同時(shí)除以 b2得 3(-)220091 8 = 0 .bb a1,Aa 與 1 是一元二次方程3X2+2009X+8=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系有 a=a=8bbbb 3例 4 求證：不論 a 是什么什么實(shí)數(shù),二次函數(shù) y=x2+ax+a-2 的圖像都與X軸相交于兩個(gè)不 同的點(diǎn)，并求出這兩點(diǎn)間的距離最小值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式解：二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程為 x2+ax+a-2=0.判別式 =a2-4(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4 0,所以a不論何值一元二次方程為x2+ax+a-2=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 即不論a是什 么什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù) y=x2+ax+a-2 的圖像都與X軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)。設(shè) Xi、X2是一元二 次方程為x2+a