5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學設計(1)

1、第五章三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1本（A版）第五章的551 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式。本節(jié)的主要內容是由兩角差的余弦公式的推導，運 用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系和代數(shù)變形，得到其它的和差角公式。讓學生 感受數(shù)形結合及轉化的思想方法。發(fā)展學生數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建 模的核心素養(yǎng)。教學目標與核心盍養(yǎng)課程目標學科素養(yǎng)L了解兩角差的余弦公式的推導過程.2. 掌握由兩角差的余弦公式推導岀兩角和的 余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式.3. 熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 的靈活運用，了解公式的正用、逆用

2、以及角的 變換的常用方法.4通過正切函數(shù)圖像與性質的探究,培養(yǎng)學生 數(shù)形結合和類比的思想方法。a. 數(shù)學抽象：公式的推導：b. 邏輯推理：公式之間的聯(lián)系：C數(shù)學運算：運用和差角角公式求值：d. 直觀想象：兩角差的余弦公式的推導：e. 數(shù)學建模：公式的靈活運用；教學重點：掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式 教學難點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運用。多媒體敎學過程教學過程設計意圖核心教學素養(yǎng)目標(-)創(chuàng)設問題情境提出問題1 兩角差的余弦公式如果已知任意角, B的正弦、余弦，能由此推出 + B, o-的正弦、余弦嗎?下而，我們來探It cos(-)與

3、角U, B的正弦.余弦之間的關系不妨令a 2k+> k乙 如圖5.5.1,設單位圓與兀軸的正半軸相交于點A ( 1 , 0 ),以兀軸非負 半軸為始邊作角a, B, aB,它 們的終邊分別與單位圓相交于點41(COSal Sma) , PI (COS卩，si), P(cos(a-), sn(a-).任意一個圓繞 著英圓心旋轉任意角后都與原來的圓重 合，這一性質叫做圓的旋轉對稱性.連AIP1. AP.若把扇形OAP,繞著點0旋轉B角，則點A, P分別與點 力丄，B重合.根據(jù)圓的旋轉對稱性可知，APAyL重合，從而，所以AP=AIPI根據(jù)兩點間的距離公式，得cos(a -B)- l2+s n

4、(a /?)2=(COSa CoSjff)2+(Sina sin)2f化簡得：cos(a /?)=COSa cos+sina sin當a = 2k÷ (kZ)時，容易證明上式仍然成立.所以，對于任意角a, 0有cos(a y)=cosa cos+sinasin ( C (a)此公式給出了任意角a,卩的正弦.余弦與其差角a-的余弦之間的關系,通過開門見山，提出問題，利用坐標法，推導兩角差的余弦公式，培養(yǎng)和發(fā)展 數(shù)學抽象、直觀 想象的核心素 養(yǎng)。稱為差角的余弦公式，簡記作C(-).典例解析例1利用公式cos(a - /?)證明：(1 ) cos(a)= Sina ；( 2 ) COS(T

5、r-a)= COSa 證明：(1 )cos (Pa)=COS-CoSa+sin-sn? Sina2 2=O ÷ 1 ×sina=sina (2)COS(IT-a)= COSjTCOS a+sinsin Sina=(-l)×cosa + o = COSa-例2已知Sina =P a (7r), COSB =“是第三象限角，求乙丄Scos(a 一 /?)的值解：由Sina = ? a (PTr),得COSa = Sina2 = =又由COSB = -L 8是第三象限角，得丄S通過對兩角 差的余弦公式的 運用，發(fā)展學生, 直觀想象、數(shù)學 抽象、數(shù)學運算 等核心素養(yǎng)：所以

6、cos(a /?)=COSa cos+sina sin由公式cos(a-)出發(fā)，你能推導出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公 式嗎？下而以公式cos(a - /?)為基礎來推導其他公式.例如，比較cos(a -/?)與cos(a + /?),并注意到a + 與a - 之間的聯(lián)系：a+/?=a- ( )則由公式cos(a - /?), 有 cos(a + )=cosa (/?)=COSa cos(-/?)+Sina SiTI(0)=cosa cos -Sina Sin于是得到了兩角和的余弦公式，簡記作C (a ÷ ) cos(a + 0)=COSa cos -Sina sin 問題探究上而得

7、到了兩角和與差的余弦公式.我們知道，用誘導公式 五(或六)可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)c (a + ) > C ( a - )及誘導公式五(或六)，推導出用任意角a , 的正弦、余弦表示Sin ( + ) , Sin ( )的公式嗎？通過推導，可以得到：S m(a + ?) = SinaCOs + COSaSin,(S (a + )S m(a ?) = SinaCOs COSaSin ；(S (a - )你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關系，從C (a± ) > S(a±)出發(fā)，推導出用任意角a,的正切表示tan(a + ?), tan(a /?)的

8、公式嗎？通過推導，可以得到：tan(a + ?) = Be 如食VZI- tan atanT(a + )Z xtan a-tanMn(D =丄+切T(a - )和(差)角公式中，卩都是任意角如果令a為某些特殊角，就能得到許多有用的公式你能從和差)角公式出發(fā)推導出誘導公式嗎？你還能得到哪些等式公式 S(a + B), C(a + p), T (a ÷)給出了任意角a , 的三角函數(shù)值與其和角a + 0的三角函數(shù)值之間的關系為方便起見，我們把這三個公式都叫做和角公式類似地，S(a 0), C(a - ) , T(a P)都叫做差角公式典例解析例3已知Sina = - a是第網(wǎng)象限角，求s

9、mQ-a),cos(f + a),tan(a-f)的值解:由Sina =-I，a是第因喙限角,得COSa =VI- Sina234所以tana =Sin aCOSa于是有sb(扌一a) =SinfCoSa-COSfSina通過其它和 差角公式的推導 和應用，發(fā)展學 生，直觀想象、數(shù) 學抽象、數(shù)學運 算等核心索養(yǎng)：通過對典型 問題的分析解 決，發(fā)展學生數(shù) 學建模、邏輯推 理，直觀想象、數(shù) 學抽象、數(shù)學運 算等核心素養(yǎng)：cos (-+ ) = COS - COS sin - Sin a = -×-× (-)=；4/442S2VS IOtan ( 耳= EYt = t- a1 =

10、 - = -74/1+ tan atan-1+ tana1+(-)由以上解答可以看到，在本題條件下有SinQ-a) =COSg +a).那么對于任意角a,此等式成立嗎？若成立，你會用幾種 方法予以證明？例4 利用和(差)角公式計算下列各式的值：(1 ) sin72ocos42o- cos72osin42o;(2 ) cos200cos700- sin20osin70o:)l+tanl5* I-Canl5,'分析：和、差角公式把a±的三角函數(shù)式轉化成了 a ,卩的三 角函數(shù)式.如果反過來，從右到左使用公式，就可以將上述三角 函數(shù)式化簡.解：(1 )由公式S (a - ),得Si

11、n72畑42。- COS72。抽42當皿72。- 42。)=Sin30。W(2) 由公式C (a+ ),得cos200cos700- sin20osin70c= cos(200+700)=cos900=0(3) 由公式 T (a+ )及tan45c, = 1.得緒-=NP如。+ 15。Han 60。諾三、當堂達標1 CoS 650CoS 35o+sm 650SIn 35。等于（）A. CoS 100oB. Sm 100oC.羋D. |【解析】原式=COS（65。一35。）=COS 30。=羋【答案】C2已知a是銳角，Slna=|,則cos（+a）等于（）AB邊C -亞D逸A 106 10555

12、通過練習鞏固本 節(jié)所學知識，鞏 固對和差和差距 角公式的運用， 增強學生的直觀 想象、數(shù)學抽 象、數(shù)學運算、【解析】 因為是銳角，Slna=|, 所以COSa 5，所以s(4÷)-×5 老啓 需故選B.邏輯推理的核心素養(yǎng)?！敬鸢浮緽3.已知銳角, 0滿足COSa=|, cos(a+Q=備，貝J COS 等于()33C33 - 54r54A- 65B- 65 c 75D- -75【解析】 因為a, 0為銳角,cosa=|» cos(a+j)=-春,4io所以 Sma=M sn(a+Q=言.所以 COS 8=cos(a+0) a = COS(CC÷y9) COs a+sn(a+0) sin a=+12.4 3313%一65故選A【答案】A,M W 3ta 15°4計算lln 15。一r . j.r _ 羽 tan 150 tan 60o-tan 15o【解析】1+伍如15。一l+tan60l5°一心丿一 1【答案】15.已知,"均為銳角，Slna-£, cos0斗?，求a .【解】 a, 0均為銳角,Sina-COS-y,. 3T25.snip JQ » COS a弓 l.V Sin a<si