5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學(xué)設(shè)計(jì)(1)

1、第五章三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1本（A版）第五章的551 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式。本節(jié)的主要內(nèi)容是由兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，運(yùn) 用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和代數(shù)變形，得到其它的和差角公式。讓學(xué)生 感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建 模的核心素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)與核心盍養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)L了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.2. 掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)岀兩角和的 余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式.3. 熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用

2、以及角的 變換的常用方法.4通過正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究,培養(yǎng)學(xué)生 數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法。a. 數(shù)學(xué)抽象：公式的推導(dǎo)：b. 邏輯推理：公式之間的聯(lián)系：C數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用和差角角公式求值：d. 直觀想象：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)：e. 數(shù)學(xué)建模：公式的靈活運(yùn)用；教學(xué)重點(diǎn)：掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用。多媒體敎學(xué)過程教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)(-)創(chuàng)設(shè)問題情境提出問題1 兩角差的余弦公式如果已知任意角, B的正弦、余弦，能由此推出 + B, o-的正弦、余弦嗎?下而，我們來探It cos(-)與

3、角U, B的正弦.余弦之間的關(guān)系不妨令a 2k+> k乙 如圖5.5.1,設(shè)單位圓與兀軸的正半軸相交于點(diǎn)A ( 1 , 0 ),以兀軸非負(fù) 半軸為始邊作角a, B, aB,它 們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)41(COSal Sma) , PI (COS卩，si), P(cos(a-), sn(a-).任意一個圓繞 著英圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重 合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對稱性.連AIP1. AP.若把扇形OAP,繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)B角，則點(diǎn)A, P分別與點(diǎn) 力丄，B重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，APAyL重合，從而，所以AP=AIPI根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得cos(a -B)- l2+s n

4、(a /?)2=(COSa CoSjff)2+(Sina sin)2f化簡得：cos(a /?)=COSa cos+sina sin當(dāng)a = 2k÷ (kZ)時，容易證明上式仍然成立.所以，對于任意角a, 0有cos(a y)=cosa cos+sinasin ( C (a)此公式給出了任意角a,卩的正弦.余弦與其差角a-的余弦之間的關(guān)系,通過開門見山，提出問題，利用坐標(biāo)法，推導(dǎo)兩角差的余弦公式，培養(yǎng)和發(fā)展 數(shù)學(xué)抽象、直觀 想象的核心素 養(yǎng)。稱為差角的余弦公式，簡記作C(-).典例解析例1利用公式cos(a - /?)證明：(1 ) cos(a)= Sina ；( 2 ) COS(T

5、r-a)= COSa 證明：(1 )cos (Pa)=COS-CoSa+sin-sn? Sina2 2=O ÷ 1 ×sina=sina (2)COS(IT-a)= COSjTCOS a+sinsin Sina=(-l)×cosa + o = COSa-例2已知Sina =P a (7r), COSB =“是第三象限角，求乙丄Scos(a 一 /?)的值解：由Sina = ? a (PTr),得COSa = Sina2 = =又由COSB = -L 8是第三象限角，得丄S通過對兩角 差的余弦公式的 運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生, 直觀想象、數(shù)學(xué) 抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 等核心素養(yǎng)：所以

6、cos(a /?)=COSa cos+sina sin由公式cos(a-)出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公 式嗎？下而以公式cos(a - /?)為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其他公式.例如，比較cos(a -/?)與cos(a + /?),并注意到a + 與a - 之間的聯(lián)系：a+/?=a- ( )則由公式cos(a - /?), 有 cos(a + )=cosa (/?)=COSa cos(-/?)+Sina SiTI(0)=cosa cos -Sina Sin于是得到了兩角和的余弦公式，簡記作C (a ÷ ) cos(a + 0)=COSa cos -Sina sin 問題探究上而得

7、到了兩角和與差的余弦公式.我們知道，用誘導(dǎo)公式 五(或六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)c (a + ) > C ( a - )及誘導(dǎo)公式五(或六)，推導(dǎo)出用任意角a , 的正弦、余弦表示Sin ( + ) , Sin ( )的公式嗎？通過推導(dǎo)，可以得到：S m(a + ?) = SinaCOs + COSaSin,(S (a + )S m(a ?) = SinaCOs COSaSin ；(S (a - )你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從C (a± ) > S(a±)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角a,的正切表示tan(a + ?), tan(a /?)的

8、公式嗎？通過推導(dǎo)，可以得到：tan(a + ?) = Be 如食VZI- tan atanT(a + )Z xtan a-tanMn(D =丄+切T(a - )和(差)角公式中，卩都是任意角如果令a為某些特殊角，就能得到許多有用的公式你能從和差)角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式公式 S(a + B), C(a + p), T (a ÷)給出了任意角a , 的三角函數(shù)值與其和角a + 0的三角函數(shù)值之間的關(guān)系為方便起見，我們把這三個公式都叫做和角公式類似地，S(a 0), C(a - ) , T(a P)都叫做差角公式典例解析例3已知Sina = - a是第網(wǎng)象限角，求s

9、mQ-a),cos(f + a),tan(a-f)的值解:由Sina =-I，a是第因喙限角,得COSa =VI- Sina234所以tana =Sin aCOSa于是有sb(扌一a) =SinfCoSa-COSfSina通過其它和 差角公式的推導(dǎo) 和應(yīng)用，發(fā)展學(xué) 生，直觀想象、數(shù) 學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn) 算等核心索養(yǎng)：通過對典型 問題的分析解 決，發(fā)展學(xué)生數(shù) 學(xué)建模、邏輯推 理，直觀想象、數(shù) 學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn) 算等核心素養(yǎng)：cos (-+ ) = COS - COS sin - Sin a = -×-× (-)=；4/442S2VS IOtan ( 耳= EYt = t- a1 =

10、 - = -74/1+ tan atan-1+ tana1+(-)由以上解答可以看到，在本題條件下有SinQ-a) =COSg +a).那么對于任意角a,此等式成立嗎？若成立，你會用幾種 方法予以證明？例4 利用和(差)角公式計(jì)算下列各式的值：(1 ) sin72ocos42o- cos72osin42o;(2 ) cos200cos700- sin20osin70o:)l+tanl5* I-Canl5,'分析：和、差角公式把a(bǔ)±的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了 a ,卩的三 角函數(shù)式.如果反過來，從右到左使用公式，就可以將上述三角 函數(shù)式化簡.解：(1 )由公式S (a - ),得Si

11、n72畑42。- COS72。抽42當(dāng)皿72。- 42。)=Sin30。W(2) 由公式C (a+ ),得cos200cos700- sin20osin70c= cos(200+700)=cos900=0(3) 由公式 T (a+ )及tan45c, = 1.得緒-=NP如。+ 15。Han 60。諾三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1 CoS 650CoS 35o+sm 650SIn 35。等于（）A. CoS 100oB. Sm 100oC.羋D. |【解析】原式=COS（65。一35。）=COS 30。=羋【答案】C2已知a是銳角，Slna=|,則cos（+a）等于（）AB邊C -亞D逸A 106 10555

12、通過練習(xí)鞏固本 節(jié)所學(xué)知識，鞏 固對和差和差距 角公式的運(yùn)用， 增強(qiáng)學(xué)生的直觀 想象、數(shù)學(xué)抽 象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、【解析】 因?yàn)槭卿J角，Slna=|, 所以COSa 5，所以s(4÷)-×5 老啓 需故選B.邏輯推理的核心素養(yǎng)?！敬鸢浮緽3.已知銳角, 0滿足COSa=|, cos(a+Q=備，貝J COS 等于()33C33 - 54r54A- 65B- 65 c 75D- -75【解析】 因?yàn)閍, 0為銳角,cosa=|» cos(a+j)=-春,4io所以 Sma=M sn(a+Q=言.所以 COS 8=cos(a+0) a = COS(CC÷y9) COs a+sn(a+0) sin a=+12.4 3313%一65故選A【答案】A,M W 3ta 15°4計(jì)算lln 15。一r . j.r _ 羽 tan 150 tan 60o-tan 15o【解析】1+伍如15。一l+tan60l5°一心丿一 1【答案】15.已知,"均為銳角，Slna-£, cos0斗?，求a .【解】 a, 0均為銳角,Sina-COS-y,. 3T25.snip JQ » COS a弓 l.V Sin a<si