學(xué)高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末綜合測(cè)評(píng)含解析新人教A版選修

1、（三）數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末綜合測(cè)評(píng)（時(shí)間120分鐘，滿分150分）、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知a, bCC,下列命題正確的是（A. 3i<5iB.C.若 | a| = | b|,則 a= ± bD.a= 0?| a| = 0a2>0【解析】 A選項(xiàng)中，虛數(shù)不能比較大小;B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)中，當(dāng)a, bCR時(shí)，結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如|i|-J22-13或2-與；D選項(xiàng)中，當(dāng)aeR時(shí)結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如i 2=- 1<0.2. i是虛數(shù)單位，則1 A.

2、iB.1.2iD.i?1 i?1+i 11 + i ?1 + i?1 i?3.百廠（B. 2D. 1A. 2 2C. .22?1-i?1+i ?1 + i?1 -i?2-2i=1i,|1 -i| =啦.故選C.4.z是z的共軻復(fù)數(shù).若 z+ z =2(z z )i = 2(i為虛數(shù)單位），則z=()A.B.C.D.1-i【解析】 法一：設(shè) z=a+bi, a, b 為頭數(shù)，則 z = a-bi, . z+z=2a=2, a =21.又(zz)i = 2bi =2b=2,b= 1.故 z= 1 i.、r .法一：: (z- z )i =2, . z- z =-T= - 2i.又 z+ z = 2

3、,.(z z) + (z+ z) = 2i +2,2z=- 2i +2,z= 1 - i.5復(fù)數(shù)占的共軻復(fù)數(shù)為（）i iA 一尹 2i1 1叼+習(xí)1 1.2. 2i【解析】i?1 +i?1-i ?1 - i?1 +i?-1 + i21 1，其共軻復(fù)數(shù)為2-2i.故選D.6.卜面是關(guān)于復(fù)數(shù)pi：|z| =2;S：z2= 2i ;6： z的共軻復(fù)數(shù)為P4： Z的虛部為一1.其中的真命題為（A. P2, P3B.Pl P2C. P2, P4D.P3, P4-1?2+?- 1?2 =y/2, .P1是假命題；z2= ( 1 i) 2= 2i , P2是真命題;z = 1 + i ,P3 是假命題;z的

4、虛部為一1,，P4是真命題.其中的真命題為P2, P4.7.復(fù)平面上平行四邊形ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)中，A B, C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2+3i,3 +2i , 23i ,則D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. 2+3iB. 3- 2iC. 2-3iD. 3-2i2+?2? 3+xI 2= 2，【解析】設(shè)D(x, y),由平行四邊形對(duì)角線互相平分得 c3+?3? 2+y22= 2，x= - 3,J 2，D(3, 2), 對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為3-2i.【答案】B8.若復(fù)數(shù)(a2a 2)+(| a1| 1)i( aC R)不是純虛數(shù)，則()A. a= 1B. aw 1 且 aw2C. aw 1D. aw2【解析】要使復(fù)數(shù)不是

5、純虛數(shù)，則有解得 aw 1.【答案】C9 .若 a, bCR,則復(fù)數(shù)(a26a+10)+ ( b2+4b5)i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a26a+10, b2+4b5),又a 6a +10 = (a 3) +1>0,一 b + 4b- 5 = 一(b-2) - 1<0.所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選 D.【答案】D10 .如果復(fù)數(shù)z= 3+ai滿足條件|z2|<2,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. ( -2 2, 2 2)B. (-2,2)C. (-1,1)D.(一m，小)【解析】 因?yàn)?| z 2| = |3

6、 + ai 2| = |1 + ai| = M1 + a2<2,所以 a2+1<4,所以 a2<3, 即一13<a< , 3.【答案】D11.若1 + 42i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+ c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則()A. b=2, c= 3B. b= 2, c= 3C. b= 2, c= 1D. b=2, c=- 1【解析】因?yàn)? + #i是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以1y2i也是方程的根，則1+陰 +1 姆i =2 = b, (1 +姆i)(1 娘i) =3= c, 【答案】 B解得 b=- 2, c=3.12.設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是A.B.C.D

7、.z2>0,則z是實(shí)數(shù)z2<0,則z是虛數(shù)2z是虛數(shù)，則z >0z是純虛數(shù)，則z2<0【解析】 設(shè)z= a+bi(a, bCR),選項(xiàng) A, z2= ( a+ bi) 2=a2b2 + 2abi >0,則at)= 02、Ja >b故b=0或a, b都為0,即z為實(shí)數(shù)，正確.選項(xiàng)B, z2=(a+ bi) 2= a2b2+2abi<0 ,則“ab= 0, a2<b2,a= 0 則.bw0故z一定為虛數(shù),正確.選項(xiàng)由于C,若 z 為虛數(shù)，則 bw0, z2 = (a+bi) 2=a2b2+2abi , a的值不確定，故 z2無法與0比較大小，錯(cuò)誤.選

8、項(xiàng)D,若a= 0, z為純虛數(shù)，則b"則 z2=- b2<0,正確.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上 )13.已知一1 - i是虛數(shù)單位，計(jì)算本色=1 一 i 1 一 i 一 i?1 一 i?_ 22?1+i? 1 + 2i+i 2i2i2i 1 _1 12 2一2i.a+ i14. a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，- =2,則a=a+i?a+i? - ?- i?i - ?- i? = 1 ai，則 a- = |1 -ai| =1a2+ 1 = 2,所以 a2= 3.又a為正實(shí)數(shù)，所以a=V3.,315.設(shè) abe R, a+bi =1（i為虛

9、數(shù)單位），則a + b的值為 1 2i【解析】a+ bi =11-7i ?117i?1 + 2i?25+ 15i12i ?1 2i?1 +2i?=5+ 3i ,依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得a= 5b= 3.從而a+ b= 8.【答案】816 .若復(fù)數(shù)z滿足|z i| w42（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為【解析】設(shè) z = x+yi（ x, yC R）,則由 | z-i| 斕可得x2+ ?y 1?2<2,即 x2 +（y1）2W2,它表示以點(diǎn)（0,1）為圓心，陋為半徑的圓及其內(nèi)部，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為2兀.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出

10、文字說明，證明過程或演算步驟）17 .（本小題滿分10分）計(jì)算：(1)(小+#) 2(4+5i)；【解】(1)(小+i) 2(4+5i) =2(1 +i) 2(4+5i)= 4i(4 +5i) = 20+ 16i.c 2+ 2i2 2016(2) ?1T+ 幣2+2i 工 1 0081 008=- 1+i + ( i)=1+ i + 1=i.?2x- 1?+i =y-?3-y?i ,18 .(本小題滿分12分)已知關(guān)于x, y的方程組:c ,?2x+ay?4xy + b?i =98i ,有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) a, b的值.【解】由得2x-i = y, y-3=1,x=5解得，2 y=4,將 x,

11、y 代入得(5 + 4a) (6 + b)i = 9 8i ,所以5 + 4a=9,-?6+b?= 8,所以 a= 1, b= 2.19 .（本小題滿分12分）實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù) z=（k2-3k-4） + （k2-5k-6）i是: 實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）0.【解】（1）當(dāng)k2 5k6=0,即k=6或k=1時(shí)，z是實(shí)數(shù).(2)當(dāng) k25k 6w0,kw6且kw 1時(shí)，z是虛數(shù).k23k4=0k25k6W0即k= 4時(shí)，z是純虛數(shù).k2-3k-4=0 閂 k2-5k-6=0即k= 1時(shí)，z是0.20 .(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=V2, z2的虛部是2.(1)求復(fù)

12、數(shù)z;(2)設(shè)z, z2, z-z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A, B, C,求 ABC勺面積.【解】(1)設(shè)2=2 + 5(a, be R),則 z2=a2b2+2abi ,由題意得 a2+b2=2 且 2ab=2,解得 a= b= 1 或 a= b= 1,所以 z=1 + i 或 z = 1 i.(2)當(dāng) z=1 + i 時(shí)，z2=2i , z-z2=1-i ,所以 A(1,1) , B(0,2) , Q1 , 1),所以軍 AB= 1.當(dāng) z = 一 1 i 時(shí)，z2 = 2i , zz2= 1 3i ,所以 A( 1, -1), R0,2) , C -1, -3), 所以 Sk ABC=

13、 1.21 .(本小題滿分 12 分)已知復(fù)數(shù) z1 = 45i , z2=q2 y3i , z3= 2 i , z4= ,5在復(fù)平 面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是 A, B, C, D.(1)求證：A, B, C, D四點(diǎn)共圓； (2)已知AB= 2 AP,求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解】(1) -1 | zi| = | z2| = | z3| = | z4| = 5,即|OA=| OB = |OC = | OD,.A,B,C,D四點(diǎn)都在圓x2+y2=5上，即A,B,C,D四點(diǎn)共圓.(2) . A：0, ® 曰® - V3), .Ab=(班，-出-南).設(shè) P(x, y),則AP= (x, y洞,77.LLLL若AB= 2 AP,那么(艱，p p=(2x,2y2p,：* = 2x,-$巾=2丫 2木,x=解得I y=V5 V32，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為22.（本小題滿分12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量 OZi, OZ2分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) zi, Z2,且zi =(10 a2)i , Z2=，一+(2 a5)i , aCR若Z1+Z2可以與任意實(shí)數(shù)比較大小,a十 5i - a求OZi OZ2的值.【解】 由題意，得z i = 7r7-(i0 -a2)i ,a十5則 z i + Z2 = 一 (i0 - a )i