一元一次方程組

1、 黃岡立傳智能教育中小學(xué)各科功課快速提分輔導(dǎo)方案初二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)（6）課題一元一次方程和二元一次方程組時(shí)間 2011 年 8 月 3 日第 二 周課型復(fù)習(xí)課時(shí)6主備人夏義春審核人鄭志超知識要點(diǎn)一元一次方程通過化簡，只含有一個(gè)未知數(shù),且含有未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)是一的等式，叫一元一次方程。通常形式是ax+b=0(a，b為常數(shù)，且a0）。一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式。一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0。我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1。一元一

2、次方程英文是(linear equation in one） 性質(zhì)等式的性質(zhì)一:等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立。 等式的性質(zhì)二:等式兩邊同時(shí)乘一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立。 等式的性質(zhì)三:等式兩邊同時(shí)乘方（或開方），等式仍然成立。 解方程都是依據(jù)等式的這三個(gè)性質(zhì)等式的性質(zhì)一:等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立。 一元一次方程的解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 ax=b 解：當(dāng)a0，b=0時(shí)， ax=0 x=0； 當(dāng)a0時(shí)，x=b/a。 當(dāng)a=0， b=0時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解(注意:這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程）

3、當(dāng)a=0， b0時(shí)，方程無解 例： （3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5 去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)）得， 5(3x+1)-102=(3x-2)-2(2x+3) 去括號得， 15x+5-20=3x-2-4x-6 移項(xiàng)得， 15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同類項(xiàng)得， 16x=7 系數(shù)化為1得， x=7/16。 字母公式 a=b a+c=b+c a-c=b-c a=b ac=bc a=bc (c0)= ac=bc 一元一次方程與實(shí)際問題一元一次方程牽涉到許多的實(shí)際問題，例如 工程問題、種植面積問題、比賽比分問題、路程問題，相遇問題、逆流順流問題、相向問

4、題。 從算式到方程列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系，寫出含有未知數(shù)的等式方程（equation)。 1.4x=24 2.1700+150x=2450 3.0.52x-(1-0.52)x=80 上面各方程都只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。 分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一種方法。 一元一次方程的學(xué)習(xí)實(shí)踐在小學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程，到了初中開始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解較難的應(yīng)用題 一元一次方程含

5、 工程問題 種植問題 相遇問題（路程問題） 牛吃草問題 分段收費(fèi)問題 盈虧、利潤問題 配套問題解一元一次方程的步驟一般解法： 1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)； 2.去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號； 3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊；移項(xiàng)要變號 4.合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a0)的形式； 5.系數(shù)化成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a. 同解方程 如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。 方程的同解原理： 方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。 方程的兩邊同乘

6、或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。 做一元一次方程應(yīng)用題的重要方法： 認(rèn)真審題 分析已知和未知的量 找一個(gè)合適的等量關(guān)系 設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù) 列出合理的方程 解出方程 檢驗(yàn) 寫出答案 二元一次方程組 把兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立在一起，那么這兩個(gè)方程就組成了一個(gè)二元一次方程組。 有幾個(gè)方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。 二元一次方程定義：一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程組定義：兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫二元一次方程組。 二

7、元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程組的解：一般的，二元一次方程組的兩個(gè)一元二次方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。 一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。 消元的方法有兩種： 1.代入消元法 例：解方程組 ： x+y=5 6x+13y=89 解：由得 x=5-y 把代入，得 6(5-y)+13y=89 即 y=59/7 把y=59/7代入，得 x=5-59/7 即 x=-24/7 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解 我們把這種通過“代入”消去一個(gè)未知數(shù)，從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法（elimi

8、nation by substitution)，簡稱代入法。 2.加減消元法 例：解方程組： x+y=9 x-y=5 解：+ 2x=14 即 x=7 把x=7代入，得 7+y=9 解，得：y=2 x=7 y=2 為方程組的解 像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法（elimination by addition-subtraction)，簡稱加減法。 二元一次方程組的解有三種情況： 1.有一組解 如方程組x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解 2.有無數(shù)組解 如方程組x+y=6 2x+2y=12 因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程(亦稱作“方程有兩個(gè)相等的實(shí)

9、數(shù)根”)，所以此類方程組有無數(shù)組解。 3.無解 如方程組x+y=4 2x+2y=10， 因?yàn)榉匠袒喓鬄?x+y=5 這與方程相矛盾，所以此類方程組無解。 構(gòu)成加減消元法 例：解方程組x+y=5 x-y=9 解：+ ，得2x=14 即x=7 把x=7帶入 ，得：7-y=9 解，得：y=-2 x=7 y=-2 為方程組的解 解法二元一次方程組有兩種解法,一種是代入消元法,一種是加減消元法. 例: 1)x-y=3 2)3x-8y=4 3)x=y+3 代入得3（y+3)-8y=4 y=1 所以x=4 這個(gè)二元一次方程組的解x=4 y=1 以上就是代入消元法，簡稱代入法。 利用等式的性質(zhì)使方程組中兩個(gè)

10、方程中的某一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)的絕對值相等，然后把兩個(gè)方程相加（或相減），以消去這個(gè)未知數(shù)，是方程只含有一個(gè)未知數(shù)而得以求解。 這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法。 例題： (1)3x+2y=7 (2)5x-2y=1 解： 消元得： 8x=8 x=1 3x+2y=7 3*1+2y=7 2y=4 y=2 x=1 y=2 但是要注意用加減法或者用代入消元法解決問題時(shí),應(yīng)注意用哪種方法簡單,避免計(jì)算麻煩或?qū)е掠?jì)算錯(cuò)誤。一元一次方程復(fù)習(xí)題一、基本運(yùn)算1、 若關(guān)于x的方程（b-3）x3a-2+6=0是一元一次方程，則a、b應(yīng)滿足什么條件？2、 已知x=-3是關(guān)于x的方程3（x+4）-4-

11、2a=1的解，求a-1a 的值。3、 已知方程 x+a-5=2x 的解為x=4，求a的值.4、 已知關(guān)于x的方程4x-3m=2的解是x=m，求m的值.5、解下列方程212=x+34-2-3x85y+16=9y+18-1-y32x-26-5x+18=124x3-23x-12=34x344312x-1-8=32x+1|x|+2=3二、 應(yīng)用題專項(xiàng)1、數(shù)字問題已知三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是2004，求這三個(gè)偶數(shù)各是多少？一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小5，若此兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字位置交換，得一新兩位數(shù)，那么新兩位數(shù)與原兩位數(shù)大45，求新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是多少？2、調(diào)配問題天平的兩個(gè)盤內(nèi)分別盛有51g

12、、45g鹽，應(yīng)該怎樣調(diào)配才能使天平平衡？有兩個(gè)工程隊(duì)，甲工程隊(duì)有32人，乙工程隊(duì)有28人，如果是甲工程隊(duì)的人數(shù)是工程隊(duì)人數(shù)的2倍，需從乙工程隊(duì)抽調(diào)多少人到甲工程隊(duì)？甲乙兩人分別存書108本和54本，現(xiàn)要讓甲給乙一些書，使甲有的書占乙有書的20%，問甲給了一多少書？某班同學(xué)利用假期參加夏令營活動(dòng)，分成幾個(gè)小組，若每組7人還余1人，若每組8人還缺6人，問該班分成幾個(gè)小組，共有多少名同學(xué)？某班舉辦一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張.這個(gè)班有多少學(xué)生？一共展出了多少張郵票？學(xué)校新進(jìn)若干箱教學(xué)設(shè)備，某班同學(xué)去運(yùn)，若每人運(yùn)8箱，還余16箱；若每人運(yùn)9箱，還缺少32箱

13、，這批設(shè)備共有多少箱？這個(gè)班有多少名同學(xué)?3、年齡問題某同學(xué)今年15歲，他爸爸今年39歲，問幾年以后，爸爸的年齡是這位同學(xué)年齡的2倍？三位同學(xué)甲乙丙，甲比乙大1歲，乙比丙大2歲，三人的年齡之和事41，求乙同學(xué)的年齡.4、銷售問題某推銷員，賣出全部商品的25后得到400元，賣出全部商品共得多少元？某商品在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上加價(jià)20%后的價(jià)格為120元，它的進(jìn)價(jià)是多少？買2支鋼筆、一支圓珠筆需要4元；買1支鋼筆、2支圓珠筆需要5元，求買4支鋼筆、4本圓珠筆需要多少元？甲乙兩件衣服的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將家服裝按50%的利潤定價(jià)，乙服裝按40%的利潤定價(jià)，在實(shí)際銷售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服

14、裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝成本各是多少元？5、工程問題某管道由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)施工分別要30天，20天鋪完。（1） 如果兩隊(duì)從兩端同時(shí)施工，需要多少天鋪完？（2） 已知甲隊(duì)單獨(dú)施工每天200元，乙隊(duì)單獨(dú)施工每天280元，那么怎樣施工才能滿足少花錢多辦事的目的。一個(gè)水池安有甲乙丙三個(gè)水管，甲單獨(dú)開12h注滿水池，乙單獨(dú)開8h注滿,丙單獨(dú)開24h可排掉滿池的水，如果三管同開，多少小時(shí)后剛好把水池注滿水？某工人若每小時(shí)生產(chǎn)個(gè)零件，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)還有個(gè)不能完成；若每小時(shí)生產(chǎn)個(gè)，則可超額個(gè)，問規(guī)定時(shí)間是多少？共生產(chǎn)多少個(gè)零件？某工廠今年比去年增產(chǎn)，達(dá)到生產(chǎn)萬件產(chǎn)品的目標(biāo)，那么

15、該工廠去年的年產(chǎn)量是多少？某工程，甲單獨(dú)完成續(xù)20天，乙單獨(dú)完成續(xù)12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續(xù)完成，乙再做幾天可以完成全部工程?6、路程問題甲乙兩個(gè)人在400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同點(diǎn)出發(fā)，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑幾圈后，甲可超過乙一圈？小王在400米的環(huán)形跑道上跑了一圈，從起點(diǎn)出發(fā)，最初跑了45秒，后來加速1.5米/秒，再花了20秒跑到終點(diǎn)，問小王最初跑的速度是多少？甲乙兩站相距300km，一列慢車從甲站開往乙站，每小時(shí)行40km，一列快車從乙站開往甲站，每小時(shí)行80km，已知慢車先行1.5h，快車再開出，問快車開出多少小時(shí)后與慢車相遇？甲乙兩人在400米環(huán)形跑道上練習(xí)

16、長跑，兩人速度分別是200米/分和160米/分.（1） 若兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)反向跑，多少分鐘后兩人第3次相遇？（2）若兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)同向跑，多少分鐘后兩人第2次相遇？一架飛機(jī)在A、B兩個(gè)城市之間飛行，順分需要5.5小時(shí)，逆風(fēng)需要6小時(shí)，風(fēng)速為24千米/時(shí)，A、B兩城市之間的距離是多少？從A碼頭到B碼頭順?biāo)叫行栊旭?小時(shí)，由于進(jìn)行河道改彎取直工程后，路程近了50千米，而船航行速度增加40千米，且只需6小時(shí)即可到達(dá)，求A、B碼頭之間改道后的距離.一艘貨輪往返于上下游兩個(gè)碼頭之間，逆流而上需要38小時(shí)，順流而下需要32小時(shí)，若水流速度為8千米/時(shí)，則兩碼頭之間的距離是多少千米？二元一次方程組復(fù)

17、習(xí)題一、填空題1、關(guān)于X的方程，當(dāng)_時(shí)，是一元一次方程； 當(dāng)_時(shí)，它是二元一次方程。2、已知，用表示的式子是_；用表示的式子是_。當(dāng)時(shí)_；寫出它的2組正整數(shù)解_。3、若方程 2x + y = 是二元一次方程，則mn= 。4、已知與有相同的解，則 _ ， 。5、已知，那么的值是 。6、 如果那么_。7、若（xy）2+|5x7y-2|=0，則x=_，y=_ 。8、已知ykxb，如果x4時(shí)，y15；x7時(shí)，y24，則k ；b 9、已知是方程的一個(gè)解,則。10、二元一次方程4x+y=20 的正整數(shù)解是_。11、從1分、2分、5分的硬幣中取出5分錢，共同_種不同的取法（不論順序）。12、方程組的解是_。

18、13、如果二元一次方程組的解是，那么a+b=_。14、方程組的解是 .15、已知6x3y=16，并且5x3y=6，則4x3y的值為 。16、若是關(guān)于、的方程的一個(gè)解，且，則 。17、已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為63和36兩部分，則它的腰長是_。底邊長為_。18、已知點(diǎn)A(y15，152x)，點(diǎn)B（3x，9y）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則x的值是_，y的值是_。二、選擇題。1、在方程組、 、中，是二元一次方程組的有（ ）A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)2、二元一次方程組的解是（ ） A B C D 3、三個(gè)二元一次方程2x+5y6=0，3x2y9=0，y=kx9有公共解的條件是k=（ ）

19、A4 B3 C2 D14、如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個(gè)長方形，其中每一個(gè)小長方形的面積為（ ）A. 400 cm2B. 500 cm2 C. 600 cm2D. 675 cm25、一杯可樂售價(jià)1.8元，商家為了促銷，顧客每買一杯可樂獲一張獎(jiǎng)券，每三張獎(jiǎng)券可兌換一杯可樂，則每張獎(jiǎng)券相當(dāng)于( )(A)0.6元 (B)0.5元 (C)0.45元 (D)0.3元6、已知是方程組的解，則、間的關(guān)系是（ ）A、 B、 C、 D、7、為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，陜西省某縣響應(yīng)國家“退耕還林”號召，將某一部分耕地改為林地，改變后，林地面積和耕地面積共有180平方千米，耕地面積是林地面積的25%，為求改變后林地面積

20、和耕地面積各多少平方千米。設(shè)改變后耕地面積x平方千米，林地地面積y平方千米，根據(jù)題意，列出如下四個(gè)方程組，其中正確的是（ ）A. B. C. D.8、設(shè)A、B兩鎮(zhèn)相距千米，甲從A鎮(zhèn)、乙從B鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙行駛的速度分別為千米小時(shí)、千米小時(shí)，出發(fā)后30分鐘相遇；甲到B鎮(zhèn)后立即返回，追上乙時(shí)又經(jīng)過了30分鐘；當(dāng)甲追上乙時(shí)他倆離A鎮(zhèn)還有4千米。求、。根據(jù)題意，由條件，有四位同學(xué)各得到第3個(gè)方程如下，其中錯(cuò)誤的一個(gè)是（ ）A、 B、 C、 D、列二元一次方程組解應(yīng)用題之典型題 題型一 配套問題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只. 現(xiàn)計(jì)劃用13

21、2米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？題型二 年齡問題2甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”請你算一算，甲、乙現(xiàn)在各多少歲？題型三 百分比問題3有甲乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀25%，乙種合金含銀37.5%，現(xiàn)在要熔制含銀30%的合金100千克，甲、乙兩種合金各應(yīng)取多少？題型四 數(shù)字問題4有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5，如果把這兩個(gè)數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù).題型五 古算術(shù)問題5巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。364只碗，看看用盡不差爭。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請問先生明算者，算來寺內(nèi)幾多僧。詩句的意思是：寺內(nèi)有三百六十四只碗，如果三個(gè)和尚共吃一碗飯，四個(gè)和尚共吃一碗羹，剛好夠用，寺內(nèi)共有和尚多少個(gè)？題型六 行程問題6甲乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1小時(shí)20分后相遇。相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1