2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)易錯難題篇及答案解析

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練：培優(yōu)易錯難題篇及答案解析（1）一、平行四邊形1 .在圖1中，正方形 ABCD的邊長為a,等腰直角三角形 FAE的斜邊AE= 2b,且邊AD和 AE在同一直線上.操作示例當(dāng)2bva時，如圖1,在BA上選取點 G,使BG= b,連結(jié)FG和CG,裁掉4FAG和4CGB并分別拼接到4FEH和4CHD的位置構(gòu)成四邊形 FGCH 思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將 4FAG繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90。到4FEH的位置，易 知EH與AD在同一直線上.連結(jié) CH,由剪拼方法可得 DH=BG,故CHgCGB,從而又可將4CGB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90&

2、#176;到4CHD的位置.這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1）,過點F作FMLAE于點M （圖略），利用 SAS公理可判斷HFMCHD,易 得FH=HC=GC=FG /FHC=90.進而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形.實踐探究（1）正方形FGCH的面積是;（用含a, b的式子表示）（2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖 2圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的 示意圖.聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng) bWa時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移.當(dāng) b>a時（如圖5）,能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖5中畫

3、出剪拼成的正方形的示意圖；若不能，簡要說明理由.【答案】(1) a2+b2; (2)見解析；聯(lián)想拓展：能剪拼成正方形.見解析.【解析】分析：實踐探究：根據(jù)正方形FGCH的面積=BG2+BC2進而得出答案；應(yīng)采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化，BG永遠(yuǎn)等于等腰直角三角形斜邊的一半.注意當(dāng) b=a時，也可直接沿正方形的對角線分割.詳解：實踐探究：正方形的面積是：BG2+BC2=a2+b2;剪拼方法如圖2-圖4;郅點睛：本題考查了幾何變換綜合，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和動手操作能力；運用類比方 法作圖時，應(yīng)根據(jù)范例抓住作圖的關(guān)鍵：作的線段的長度與某條線段的比值永遠(yuǎn)相等，旋 轉(zhuǎn)的三角形

4、，連接的點都應(yīng)是相同的.2 .如圖，將矩形紙片 ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到B'的位置，AB與CD交于點E.(1)求證：AE44CEB(2)若AB = 8, DE = 3,點P為線段 AC上任意一點，PG±AE于G, PHI± BC于H.求PG +R'PH的值.【答案】(1)證明見解析；(2)牝【解析】也則由【分析】(1)由折疊的性質(zhì)知，RA%到|也月即三hCEB.laedceb, 可得 e/? =de = 3 又由= a,即可求得HE的長，然后在取川中，利用勾股定理即可求得的長，再過點P作PKi.B于由角平分線的性質(zhì)，可得P*二PG【詳解】，易證

5、得四邊形收出是矩形，繼而可求得答案(1) 四邊形網(wǎng)間為矩形,a GB1 = BC-AD LB =Zfi'=(2)平許久呷加"=3,中八"8,3 AE = ABy - EBr =8-3在底八DF中, 過點作PA，/IB于A , 平陽C"/MC fGlAE x PK = PG?八 PUB,士乩rK共線，、:加="帥3M =啊,四邊形71是矩形,.% PG + PH - P* + P" -HK-A【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾 股定理等知識.此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，

6、注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3.如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點(不與點B、C重合)，連接DE、點C關(guān)于直線DE的對稱點為C',連接AC并延長交直線 DE于點P, F是AC'的中點，連接 DF.(1)求/ FDP的度數(shù)；(2)連接BP,請用等式表示 AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)連接AC,若正方形白邊長為 應(yīng)，請直接寫出ACC的面積最大值.【答案】(1)45。； (2)BP+DP= J2AP,證明詳見解析；(3) J2-1.【解析】【分析】一 一 一1(1)證明 ZCDE= /CDE 和/ADF= /CDF,可得 /FDP=

7、 - / ADC= 45 ；(2)作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明BAPDAP (SAS),得BP= DP,從而得 PAP是等腰直角三角形，可得結(jié)論；(3)先作高線CG,確定ACC的面積中底邊 AC為定值2,根據(jù)高的大小確定面積的大 小，當(dāng)C在BD上時，CG最大，其4ACC'的面積最大，并求此時的面積.【詳解】(1)由對稱得： CD= CD, /CDE=/CDE,在正方形 ABCD中，AD=CD, Z ADC= 90°,.AD=CD,F是AC的中點，DFXAC!, /ADF=/CDF,1/ FDP= / FDC+Z EDC= 一 / ADC= 45 ；2(2)結(jié)論：BP+DP=

8、T2aP,理由是：如圖，作 apap交PD的延長線于 P', / PAP)=90 ；在正方形 ABCD中，DA= BA, Z BAD= 90°,/ DAP= / BAP,由(1)可知：/ FDP= 45° / DFP 90 °/ APD= 45 ；/ P = 45 ；.AP = AP',在 BAP和4口人中，BA DABAP DAP ,AP AP.-.BAPADAP" (SAS ,.BP= DP", .DP+BP= PP= 72 AP;(3)如圖，過 C作 C'GAC于 G,則 Saacc= 1AC?C'G,2R

9、tA ABC 中,AB= BC=&, AC="(揚 2(T2)22，即 AC 為定值，當(dāng)CG最大值， ACC的面積最大，連接BD,交AC于O,當(dāng)C'在BD上時，C'G最大，此時G與。重合,1-.CD= CD= 72，OD= -AC= 1 , .C'G=夜-1 ,11.Sa acc= -AC?CG 2(72 1) & 1 .22【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判 定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.4 .已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，O為對角線BD的中

10、點，過點 O的直線EF分別交AD, BC于E, F兩點，連結(jié)BE, DF.(1)求證：ADO三BOF.(2)當(dāng)/ DOE等于多少度時，四邊形 BFDE為菱形？請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)/DOE=90。時，四邊形BFED為菱形，理由見解析.【解析】試題分析：(1)利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出 (ASA);(2)首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形形，進而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED即可得出答案.試題解析：(1) :在？ABCD中，O為對角線BD的中點，BO=DO, / EDB=Z FBO,在 EOD和AFOB中 DOEABOFEB

11、FD是平行四邊EDO = EDMD0 = BO心0=4OB.,.DOEABOF (ASA)；(2)當(dāng)/DOE=90時，四邊形BFDE為菱形，理由：DO三 BOF,OE=OF,又.OB=OD,，四邊形EBFD是平行四邊形,/EOD=90； .,.EF± BD,四邊形 BFDE為菱形.考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.5 .已知正方形 ABCD中，E為對角線 BD上一點，過 E點作EF，BD交BC于F,連接DF, G為DF中點，連接EG, CG.(1)請問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45。，如圖所示，取DF中

12、點G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3)將圖中4BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中 的結(jié)論是否仍然成立？(請直接寫出結(jié)果，不必寫出理由)B F C BC B圖圖圉【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)結(jié)論仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.(2)結(jié)論仍然成立，連接 AG,過G點作MN，AD于M,與EF的延長線交于 N點；再證明DA8 4DCG,得出 AG=CG;再證出 DMGFNG,得到 MG=NG;再證明 AMGAENG,得出 AG=EG;

13、最后證出 CG=EG.(3)結(jié)論依然成立.【詳解】(1) CG=EG.理由如下：.四邊形 ABCD 是正方形，Z DCF=90 :在 RFCD 中，;G 為 DF 的中點，CG=- FD,2同理.在 RDEF中，EG=- FD, . . CG=EG.2(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG.證法一：連接 AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于 N點.在 4DAG 與 4DCG 中，/ AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, .1. ADAGADCG (SAS), .AG=CG;在4DMG 與 4FNG 中，/ Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z

14、 NFG, .1.DMGAFNG (ASA) ,MG=NG. Z EAM=Z AEN=Z AMN=90 ；，四邊形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN.在 AMG 與 4ENG 中，/ AM=EN, ZAMG=Z ENG, MG=NG, .1. AAMGAENG (SAS?), .AG=EG, EG=CG.證法二：延長 CG至M,使 MG=CG,連接 MF, ME, EC.在ADCG與AFMG中， . FG=DG, /MGF=/CGD MG=CG, .DC®"MG, . MF=CD, / FMG=/ DCG, .MF/CD/ AB,EF± MF.在

15、 RtMFE與 RtCBE中，MF=CB, Z MFE=Z EBC=90°, EF=BE, .-.MFEACBE . / MEF=/CEB,Z MEC=Z MEF+Z FEG=Z CE3/CEF=90； . . MEC為直角三角形. MG=CG, 1- EG=-MC, . EG=CG.2(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：過F作CD的平行線并延長 CG交于M點，連接EM、EC過F作FN垂直于AB于N. 由于G為FD中點，易證 CD84MFG,得到 CD=FM,又因為 BE=EF,易證 /EFM=/EBC,貝UEFM0EBC Z FEM=Z BEC EM=EC / FEG/ BE

16、C=90 ；ZFEC+Z FEM=90 ；即 / MEC=90 ； . MEC 是等腰直角三角形. G 為 CM 中點，EG=CG, EG± CGM 圖（一）圖二）圖電【點睛】本題是四邊形的綜合題.（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)解答.6.如圖，ABCD是正方形，點 G是BC上的任意一點， DEL AG于E, BF/ DE,交AG于 F.【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形 ABCD為正方形，可得出 /BAD為90°, AB=AD,進而得到 /BAG與/EA

17、D互余， 又DE垂直于AG,得到/EAD與/ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出/ ADE=/BAF,利用AAS可得出ABFDAE;利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出 BF=AE由AF-AE=EF 等量代換可得證.【詳解】,ABCD是正方形，.AD=AB, Z BAD=90 °.DEXAG,/ DEG=/ AED=90 ° / ADE+/ DAE=90 °又 / BAF+/ DAE=Z BAD=90 ,/ ADE=Z BAF.1. BF/ DE,/ AFB=Z DEG=Z AED.在 ABF與 DAE中，AFB AEDADE BAF ,AD AB.ABFADAE (A

18、AS).BF=AE.AF=AE+EF.AF=BF+EF點睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌 握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.7.如圖(1)在正方形 ABCD中，點E是CD邊上一動點，連接 AE,彳BF±AE,垂足為 G 交AD于F(1)求證：AF=DE;(2)連接DG,若DG平分/EGF如圖(2),求證：點 E是CD中點；(3)在(2)的條件下，連接 CG,如圖(3),求證：CG= CD.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3) CG= CD,見解析.【解析】【分析】(1)證明 BAF ADE (ASA)即可解決問題.(2)過點D作DMGF,

19、DNLGE,垂足分別為點 M, N.想辦法證明 AF= DF,即可解決 問題.(3)延長AE, BC交于點P,由(2)知DE= CD,利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，只要 證明BC= CP即可.【詳解】(1)證明：如圖1中，BC卻在正方形 ABCD中，AB = AD, / BAD= / D= 900,/ 2+/ 3=90 °又 BF, AE,/ AGB= 90 °/ 1 + Z 2=90 °,/ 1= / 3在 BAF與4ADE中，/ 1 = / 3 BA=AD / BAF=Z D, .BAFMDE (ASA) .AF= DE.(2)證明：過點 D作DMGF, DN

20、GE,垂足分別為點 M, N.B圖2由(1)得/1=/3, /BGA= /AND=90°, AB= AD.BAGAADN (AAS).AG= DN,又 DG平分/EGF, DMXGF, DNXGE,.DM = DN,.DM=AG,又/AFG=/DFM, / AGF= / DMF.AFGADFM (AAS),1 1.AF=DF= DE= - AD= - CD,2 2即點E是CD的中點.（3）延長AE, BC交于點P,由（2）知DE= CD,/ ADE= / ECP= 90 °, / DEA= / CEP.ADEAPCE (ASA).AE= PE,又 CE/ AB,BC= PC

21、,在 RtBGP 中， BC= PC, 1-.CG= -BP= BC, 2.CG= CD.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性 質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問 題，屬于中考壓軸題.8.（問題情境）在 ABC中，AB= AC,點P為BC所在直線上的任一點，過點 P作 PD± AB, PE± AC,垂足分別為 D、E,過點C作C。AB,垂足為 F.當(dāng)P在BC邊上時（如 圖 1）,求證：PD+PE= CF.證明思路是：如圖 2,連接AP,由4ABP與4ACP面積之和等于 4ABC的面積

22、可以證得：PD+PE= CF.（不要證明）（變式探究）（1）當(dāng)點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）,試探索PD、PECF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：（結(jié)論運用）（2）如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF上的任一點，過點 P作PG± BE、PHBC,垂足分別為 G、H,若AD = 16, CF= 6,求 PG+PH的值.（遷移拓展）（3）在直角坐標(biāo)系中，直線 11： y=-9x+8與直線12： y= - 2x+8相交于點3A,直線1i、l2與x軸分別交于點B、點C.點P是直線l2上一個

23、動點，若點 P到直線1i的 距離為2.求點P的坐標(biāo).【答案】【變式探究】證明見解析【結(jié)論運用】8【遷移拓展】(-1,6), ( 1, 10)【解析】【變式探究】連接A巳 同理利用4ABP與4ACP面積之差等于4ABC的面積可以證得;【結(jié)論運用】過點E作EQLBC,垂足為Q,根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可;【遷移拓展】分兩種情況，利用結(jié)論，求得點P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標(biāo).【詳解】變式探究：連接AP,如圖3：. PDXAB, PE! AC, OF71AB,且 Sabc= Sacp- Sabp,1 AB?CF= 1AC7PE- 1 AB?PD.222.AB= AC,.CF=

24、PD- PE;結(jié)論運用：過點E作EQ, BC,垂足為Q,如圖， 四邊形ABCD是長方形，AD=BC, Z C= Z ADC= 90 . AD= 16, C曰 6,BF= BC- CF AD - CF 5,由折疊可得：DF=BF, Z BEF= Z DEF."DF=5.Z C= 90 , . DC= Vdf'CF7廂? = 8 .EQ± BC, ZC= Z ADC= 90 ,Z EQG= 90 = Z C= Z ADC.四邊形EQCD是長方形.EQ= DC=4.1. AD/ BC,Z DE已 ZEFB Z BE3 Z DEF,Z BE曰 Z EFB. BE=BF,由問

25、題情境中的結(jié)論可得：PG+P+ EQ.PG+Pk8.PG+PH的值為8；遷移拓展：如圖，A由題意得：A (0, 8) , B (6, 0) , C( 4, 0)AB = 62 82 = 10，BC= 10.AB= BC,(1)由結(jié)論得：PiDi+PiEi=0A=8 ，PiDi = 1=2,.PiEi = 6即點P1的縱坐標(biāo)為6又點P1在直線12上，y = 2x+8= 6,x= - 1,即點R的坐標(biāo)為(-1,6)；(2)由結(jié)論得：P2E2-P2D2=OA=8 .P2D2 = 2, .P2E2=10即點P1的縱坐標(biāo)為10又點P1在直線12上，,-.y = 2x+8= 10,x= 1 ,即點P1的坐

26、標(biāo)為(1, 10)【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理等知識點，利用面積法列出等式是解決問題的關(guān)鍵.9. (1)(問題發(fā)現(xiàn))如圖1,在RtA ABC中，AB= AC= 2, Z BAC= 90°,點D為BC的中點，以 CD為一邊作正 方形CDEF點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為(2)(拓展研究)在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)，連接BE, CE, AF,線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B, E, F三點共線時候，直接寫出線段AF的長.【答案】（1） BE=

27、AF; （2）無變化；（3） AF的長為 點-1或T3+1.【解析】即可得出試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=O ,再得出BE=AB=2,結(jié)論；（2）先利用三角函數(shù)得出 CA ,同理得出CF 巨,夾角相等即可得出 CB 2CE 2 ACQ4BCE進而得出結(jié)論；（3）分兩種情況計算，當(dāng)點E在線段BF上時，如圖2,先利用勾股定理求出E在線ef=cf=ad=/2，bf=J6,即可得出be=76 -亞，借助（2）得出的結(jié)論，當(dāng)點 段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結(jié)論.試題解析：（1）在 RtA ABC 中，AB=AC=2,根據(jù)勾股定理得，BC=72 AB=2亞,點D為BC的

28、中點，AD=1BC=J2，2.四邊形 CDEF是正方形，AF=EF=AD=/2 , BE=AB=2, .,.BE=V2aF,故答案為be=、,2af；（2）無變化；如圖 2,在 RtAABC中，AB=AC=2,/ ABC=Z ACB=45sin/ ABC=CA ,CB 2在正方形 CDEF中，/ FEC=1 / FED=45 ；2在 RtCEF中，sinZ FEC=CF CE 2 'CF CA一 一，CE CB / FCE=/ ACB=45/ FCE- / ACE=Z ACB- / ACE, ，/ FCA=Z ECB.ACFABCE，= CB =6，BE=72 AF, AF CA線段B

29、E與AF的數(shù)量關(guān)系無變化； （3）當(dāng)點E在線段AF上時，如圖2,由（1）知，CF=EF=CD=/2，在 RtBCF 中，CF=疙, BC=2應(yīng)，根據(jù)勾股定理得，BF=y6 ,BE=BF EF=/6 -由（2）知，BE=&AF, .-.AF=V3 - 1,當(dāng)點E在線段BF的延長線上時，如圖 3,在 RtA ABC 中，AB=AC=2, ，/ ABC=Z ACB=45 ,在正方形CDEF中，/FEC/FED=452在 RtCEF中，sinZ FEC=CL 絲 C CFCE 2 CE四，sinZ ABC=CA _2CB 2 'CACB， / FCE4 ACB=45/ FCB+Z AC

30、B=Z FCB+Z FCE/ FCA之 ECBBE CB 一.一.ACFABCE =桓，'BE啦 AF,AF CA由（1）知，CF=EF=CD= 2 ,在 RtBCF中，CF=72，BC=2>/2，根據(jù)勾股定理得，bf=J6,be=bf+ef=/6+72 ,由（2）知，BE=J2aF,，AF=J3+1.即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B, E, F三點共線時候，線段 AF的長為 值-1或/3+1.10.閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這 個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.結(jié)合閱讀材 料，完成下列

31、問題：A.平行四邊形 B.矩形 C,菱形 D.等腰梯形(2)命題： 和諧四邊形一定是軸對稱圖形 ”是 命題(填 真”或 假”).(3)如圖，等腰 RtABD中，ZBAD= 90。.若點C為平面上一點，AC為凸四邊形 ABCD 的和諧線，且 AB=BC,請求出/ ABC的度數(shù).【答案】(1) C； (2) /ABC的度數(shù)為60?；?0?；?50°.【解析】試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論(2)根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD, AD=AC, AC=DC討論即可.C.(1)根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱

32、形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠.故選(2) .等腰 RtABD 中，/BAD=90, ，AB=AD.AC為凸四邊形 ABCD的和諧線，且 AB=BC分三種情況討論：若AD=CD,如圖1,則凸四邊形 ABCD是正方形，/ ABC=90 ;若AD=AC,如圖2,貝U AB=AC=BC ABC是等邊三角形， / ABC=60 ；若AC=DQ如圖3,則可求Z ABC=150.圖1圖三考點：1.新定義；2.菱形的性質(zhì)；3.正方形的判定和性質(zhì);4.等邊三角形的判定和性質(zhì);5.分類思想的應(yīng)用.DE在VABC中，AD BC于點D ,點E為AC邊的中點，過點 A作AF/BC ,交 的延長線于點F

33、,連接CF .1如圖1,求證：四邊形 ADCF是矩形；2如圖2 ,當(dāng)AB AC時，取AB的中點G ,連接DG、EG ,在不添加任何輔助線 和字母的條件下，請直接寫出圖中所有的平行四邊形(不包括矩形ADCF) .【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形 AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形.【解析】【分析】(1)由4AE圖CED推出EF=DE又AE=EC推出四邊形 ADCF是平行四邊形，只要證明/ ADC=90 ,即可推出四邊形 ADCF是矩形.(2)四邊形ABDF、四邊形AGER四邊形GBDE四邊形 AGDR四邊形GDCE都是平行四 邊形.【詳解

34、】1 證明：.AF/BC,AFE EDC , E是AC中點，AE EC ,在VAEF和VCED中，AFE CDEAEF CED,AE ECVAEF VCED ,EF DE , AE EC ,，四邊形ADCF是平行四邊形，AD BC ,ADC 900，四邊形ADCF是矩形.2二.線段DG、線段GE、線段DE都是VABC的中位線，又 AF/BC, .AB/DE, DG/AC, EG / / BC ,四邊形 ABDF、四邊形 AGEF、四邊形GBDE、四邊形 AGDE、四邊形GDCE都是 平行四邊形.【點睛】考查平行四邊形的判定、矩形的判定、三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確尋找

35、全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵12.問題情境在四邊形 ABCD中，BA= BC, DC± AC,過點D作DE/ AB交BC的延長線于點 E, M是邊AD的中點，連接MB, ME.特例探究(1)如圖1,當(dāng)/ABC= 90。時，寫出線段 MB與ME的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)/ABC= 120 °時，試探究線段 MB與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展延伸(3)如圖3,當(dāng)Z ABC= a時，請直接用含 a的式子表示線段 MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系.國1IH2圖3【答案】(1)MB=ME, MBME； (2)ME= 73 MB.證明見解析；(3)ME= MBtan .【

36、解析】【分析】(1)如圖1中，連接CM.只要證明4MBE是等腰直角三角形即可；(2)結(jié)論：EM=73MB,只要證明4EBM是直角三角形，且 /MEB=30°即可；(3)結(jié)論：EM=BM?tan .證明方法類似；2【詳解】如圖1中，連接CM.B置 / ACD=90 ； AM=MD ,MC=MA=MD , BA=BC, BM垂直平分AC, / ABC=90 ； BA=BC/ MBE=1 / ABC=45 ,° / ACB=Z DCE=45 ,21. AB/ DE, / ABE+/ DEC=180 ,°/ DEC=90,° / DCE土 CDE=45,

37、6; .EC=ED - MC=MD, EM垂直平分線段 CD, EM平分/ DEC, / MEC=45 ; BME是等腰直角三角形，.BM=ME, BMXEM.故答案為 BM=ME, BMXEM.(2)ME= 73 MB.證明如下：連接 CM,如解圖所示.,. DCXAC, M是邊AD的中點，.-.mc=ma=md. BA= BC, BM垂直平分AC. / ABC= 120 : BA= BC,/ MBE= 1 / ABC= 60 ° / BAC= / BCA= 30 °2''1. AB/ DE, / ABE+ / DEC= 180 :/ DEC= 60 &#

38、176;,/ DCE= / DEC= 60 ； .CDE是等邊三角形，EC= ED. .MC=MD, EM垂直平分 CD, EM平分/ DEC,/ MEC= -Z DEC= 30 ,2 / MBE+ / MEB= 90 °,即 / BME= 90 :在 RtA BME 中， Z MEB= 30°,.ME= 73 MB. 如圖3中，結(jié)論：EM=BM?tan 一 .2/ DCE= 60 :B理由：同法可證：BMXEM, BM平分/ABC,所以 EM=BM?tan 一 .2【點睛】 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰 三角形的性質(zhì)、銳角

39、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué) 知識解決問題.13.如圖，拋物線 y=mx2+2mx+n經(jīng)過A (- 3, 0) , C (0,-)兩點，與x軸交于另一2點B.(1)求經(jīng)過A, B, C三點的拋物線的解析式；(2)過點C作CE/ x軸交拋物線于點 E,寫出點E的坐標(biāo)，并求 AC BE的交點F的坐標(biāo)(3)若拋物線的頂點為 D,連結(jié)DC DE,四邊形CDEF是否為菱形？若是，請證明；若不 是，請說明理由.D【答案】(1) y=1x2+x- - ； (2) F點坐標(biāo)為(-1, T) ； (3)四邊形CDEF是菱 22形.證明見解析【解析】【分析】將A、C點的坐標(biāo)代入拋物

40、線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式；根據(jù)(1)題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C點的坐標(biāo)，由CE/ x軸，可知C、E關(guān)于對稱軸對稱。根據(jù) A、C點求得直線 AC的解析式，根據(jù) B、E點 求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點的坐標(biāo)；由E、C、F、D的坐標(biāo)可知 DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形.【詳解】(1)二.拋物線 y=mx2+2mx+n 經(jīng)過 A ( 3, 0) , C (0, -y)兩點，.f 1時 n=0d，解得L第，拋物線解析式為2，2(2) .y=-yx2+x-，拋物線對稱軸為直線 x= - 1 ,1. CE/ x

41、 軸, C、E關(guān)于對稱軸對稱， . C (0, -E (-2, A、B關(guān)于對稱軸對稱， B (1, 0),設(shè)直線AC BE解析式分別為y=kx+b, y=k' x+p'-3k+b=0則由題意可得解得123直線AC BE解析式分別為y=-F12 y=2x-聯(lián)立兩直線解析式可得二. F點坐標(biāo)為(-1 , - 1)；(3)四邊形CDEF是菱形.皿口 . _m23 1,、證明：. y=x2+x- y =y (x+1)2-2,x=-ly=-lD ( - 1, -2),-F ( - 1, 1),DFx 軸,且 CE/ x軸,DFXCE,_3. C (0,1) , D (- 1, - 2),

42、.DF和CE互相平分，四邊形CDEF是菱形.【點睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與二元一次方程組.14.已知邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點(與點 A、C不重2合），過點 P作P已PB , PE交射線DC于點E,過點E作EF，AC,垂足為點F.（1）當(dāng)點E落在線段CD上時（如圖），求證：PB=PE 在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變 化，試說明理由；（2）當(dāng)點E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點P的運動過程

43、中， APEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不【答案】（1） 證明見解析；點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為 巨,（2）2畫圖見解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）過點P作PG± BC于G,過點 P作PH，DC于H,如圖1.要證PB=PE只 需證到PG®4PHE即可； 連接BD,如圖2.易證 ABO彥 PFE,則有BO=PF只需 求出BO的長即可.（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立.（3）可分點E在線段DC上和點E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計算就可求 出符合要求的AP的長.詳解：（1） 證明：過點

44、 P作PG± BC于G,過點P作Phl± DC于H,如圖1.匾Z）HEC 四邊形 ABCD是正方形，PG± BC, PH, DC, / GPC4 ACB=Z ACD=Z HPC=45 ,°PG=PH, / GPH=Z PGB=Z PHE=90 : .PE± PB 即 / BPE=90,°/ BPG=90 - / GPE=Z EPH在APGB和APHE中，PGB= PHE PG=PH ,BPG= EPH. .PG® PHE (ASA), .PB=PE連接BD,如圖2.四邊形 ABCD是正方形，Z BOP=90 .PEIPBIP

45、 Z BPE=90,Z PBO=90 - Z BPO=Z EPFEF± PC即/PFE=90Z BOP=Z PFE在 BOP和 PFE中，PBO= EPFBOP= PFEPB=PE.-.BOFAPFE(AAS),. BO=PF.四邊形ABCD是正方形，-.OB=OC, Z BOC=90 , - BC=%；2 OB.4.BC=1, OB=,2石.PF= .2,，點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為 .2(2)當(dāng)點E落在線段DC的延長線上時，符合要求的圖形如圖3所示.同理可得：PB=PE PF=_22 / BPE=/ BCE=90,°/ PBC+/ PEC=180. ° /PBG< 90；Z PEC>90 °.若APEC為等腰三角形，則 EP=EC / EPC4 ECP=45, °/ PEC=90, °