函數(shù)單調(diào)性 (3)

1、函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)基于函數(shù)單調(diào)性概念是高中教材中形式化程度較強(qiáng)，學(xué)生較難理解以及要讓學(xué)生充分了解概念后面所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想的主張，筆者以“數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”數(shù)學(xué)概念教學(xué)為指導(dǎo)理念，在對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念在高中教材中的地位和作用進(jìn)行詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行了新的教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)錄。教材分析教材的地位和作用函數(shù)的單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)人教A版（必修1）第一章1.31節(jié)的內(nèi)容。它既是在學(xué)生學(xué)過(guò)函數(shù)概念等知識(shí)后的延續(xù)和拓展，又是后面研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等各類函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下的作用。研究函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化的思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思

2、維形式，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大意義。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的四個(gè)基本性質(zhì)之一,在比較幾個(gè)數(shù)的大小、對(duì)函數(shù)作定性分析（求函數(shù)的值域、最值，求函數(shù)解析式的參數(shù)范圍、繪函數(shù)圖象）以及與不等式等其它知識(shí)的綜合應(yīng)用上都有廣泛的應(yīng)用；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合的思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：（1）領(lǐng)會(huì)函數(shù)單調(diào)性概念，體驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性的形式化過(guò)程，深刻理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，并明確單調(diào)性是一個(gè)局部概念；（2）函數(shù)單調(diào)性概念的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：突破抽象，深刻理解函數(shù)單調(diào)性形式化的概念。教學(xué)目標(biāo)分析根據(jù)新課標(biāo)的要求和教學(xué)內(nèi)

3、容的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的心理規(guī)律和素質(zhì)教育的要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：知識(shí)目標(biāo)：（1）從本質(zhì)上理解函數(shù)單調(diào)性概念；（2）運(yùn)用形式化的函數(shù)單調(diào)性概念進(jìn)行判斷與應(yīng)用。能力目標(biāo)：（1）培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，分析歸納能力，領(lǐng)會(huì)歸納轉(zhuǎn)化的思想方法。（2）使學(xué)生體驗(yàn)和理解從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納推理思維方式。（3）培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的能力。情感目標(biāo)：（1）培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、不畏困難、敢于創(chuàng)新的意識(shí)和精神。（2）通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能理性地思考生活中的增長(zhǎng)、遞減現(xiàn)象。設(shè)計(jì)理念本教學(xué)設(shè)計(jì)是基于用數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念的理念進(jìn)行設(shè)計(jì)的。主要目的是為了突破函數(shù)單調(diào)性這個(gè)概念的抽象

4、性，能讓學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過(guò)程，形成對(duì)概念的正確理解。因此教學(xué)設(shè)計(jì)在課堂教學(xué)中的概念引入的情景設(shè)計(jì)、概念形成的過(guò)程分析、概念運(yùn)用的問(wèn)題強(qiáng)化、原發(fā)性問(wèn)題的價(jià)值挖掘這四方面應(yīng)用了“用數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)”這一理念，突破傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，從一個(gè)新的角度對(duì)教學(xué)進(jìn)行了設(shè)計(jì)：第一階段函數(shù)單調(diào)性概念由實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言的敘述；第二階段函數(shù)單調(diào)性概念由文字語(yǔ)言的敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)敘述；第三階段函數(shù)單調(diào)性概念由數(shù)學(xué)敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)敘述；第四階段函數(shù)單調(diào)性概念由數(shù)學(xué)符號(hào)敘述抽象到了形式化。這一設(shè)計(jì)符合新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并且能適度地進(jìn)行形式化的表達(dá)這一理念。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)概念情景創(chuàng)設(shè)

5、與導(dǎo)入師：一個(gè)月前，我們共同經(jīng)歷了一起令人恐怖且終身難忘的自然災(zāi)害，大家還記得嗎？生：（異口同聲）“桑美”臺(tái)風(fēng)師：從小到大我們對(duì)臺(tái)風(fēng)的了解也不少，臺(tái)風(fēng)是不是一生成就17級(jí)呢？生眾：（笑）不是。（教師多媒體展示“桑美”臺(tái)風(fēng)強(qiáng)度變化的直方圖，圖7）x 時(shí)間（h）12）24）36）4860）012）14）10）17）8y 強(qiáng)度(級(jí))y=x2(x0)x 123-10941y 圖7 圖8師：如果我們以臺(tái)風(fēng)生成后的時(shí)間為自變量，臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度為函數(shù)值建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系，能否得到以下結(jié)論臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度隨時(shí)間的增大而增強(qiáng)呢？（學(xué)生有的說(shuō)對(duì)，有的說(shuō)不對(duì)，教師不急于揭示答案，而是把學(xué)習(xí)的目標(biāo)引向了函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量變化大小

6、的相互依賴關(guān)系上，學(xué)生所熟悉的生活實(shí)例是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的手段，也是學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性概念的現(xiàn)實(shí)背景）。師：大家一起來(lái)觀察函數(shù)y=x2(x0)圖象中的x 值與f（x）值的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程（教師用多媒體展示圖8），x與f(x)之間有什么樣的聯(lián)系？生：隨x取值的增大，相應(yīng)的f(x)的值也增大。師（總結(jié)）：這種隨x的增大，f(x)也越來(lái)越大的函數(shù)我們的為增函數(shù)。類似地，再讓學(xué)生函數(shù)y=x2(x0)圖象的動(dòng)態(tài)效果后，得出：這種隨x的增大，f(x)越來(lái)越小的函數(shù)我們稱為減函數(shù)。旁白 通過(guò)一個(gè)生活背景的實(shí)例和函數(shù)y=x2圖象的直觀觀察，產(chǎn)生了增、減函數(shù)的生活語(yǔ)言的描述性定義，盡管這種定義不嚴(yán)格，但學(xué)生初步理解

7、到的是兩個(gè)變量之間具有依賴性的增減關(guān)系，這是函數(shù)單調(diào)性中最為基本和初始的思想，這是根本性的要素，也是從生活中原初思想邁向數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵性的第一步。事實(shí)上，這一階段是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第一次歸納由實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言的敘述。概念的生成師（追問(wèn)）：那么函數(shù)y=x2究竟是增函數(shù)還減函數(shù)呢？生1：是增函數(shù)。生2：是減涵數(shù)。生眾（議論紛紛）：（有的說(shuō)）有時(shí)增，有時(shí)減（有的說(shuō)）既增又減（有的說(shuō)）要分情況考慮。師：好，有同學(xué)說(shuō)：要分情況考慮，那么大家再仔細(xì)看看y=x2的圖象，哪種情況下增，哪種情況下減呢？生：函數(shù)y=x2在（，0上為減函數(shù)，在0，+）為增函數(shù)。師（總結(jié)）：由上面的討論可知，函數(shù)的單調(diào)

8、性與自變量的范圍有關(guān)，一個(gè)函數(shù)并不一定在整個(gè)正義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，但在定義城的某個(gè)子集上可以是單調(diào)函數(shù)。于是教師再次定義：如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上滿足：隨自變量x的增大，f(x)也越來(lái)越，我們說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)；該區(qū)間叫函數(shù)f(x)的增區(qū)間，如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上滿足：隨自變量x的增大，f(x)越來(lái)越小，我們說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù)；該區(qū)間叫函數(shù)f(x)的增區(qū)間。回顧關(guān)于“桑美臺(tái)風(fēng)”的話題，有學(xué)生指出臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度不可能隨著時(shí)間的增大而不斷地增強(qiáng)下去，因?yàn)橐坏顷懞笈_(tái)風(fēng)的強(qiáng)度自然會(huì)逐漸減弱。因此，嚴(yán)格地說(shuō)是：臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)度在登陸之前隨時(shí)間的增大而增強(qiáng)，而在登陸之后，隨時(shí)間的

9、增大而減弱。旁白 這一階段，教師抓住“分情況討論”，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的單調(diào)性與其定義域密切相關(guān)，因此，在描述函數(shù)單調(diào)性時(shí)，應(yīng)該說(shuō)清楚x在哪個(gè)范圍內(nèi)，從而使學(xué)生對(duì)單調(diào)性的理解從圖象的直觀體驗(yàn)向數(shù)學(xué)化的嚴(yán)格性邁進(jìn)了一步。事實(shí)上，這一階段是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第二次歸納由文字語(yǔ)言的敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)敘述。概念的符號(hào)化師：剛才我們通過(guò)觀察圖象得出了函數(shù)y=x2(x0)在區(qū)間0，+）上為單調(diào)遞增函數(shù)，那么如何用代數(shù)方法證明這個(gè)結(jié)論呢？生1：因 為21，而2212，所以函數(shù)y=x2在區(qū)間0，+）上為單調(diào)遞增函數(shù)。生2：他的證明不對(duì)，僅僅兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不能說(shuō)明函數(shù)y=x2在區(qū)間0，+）上為單調(diào)遞增函數(shù)，應(yīng)

10、該舉出無(wú)數(shù)個(gè)（如表2） 表2:自變量x與函數(shù)值y的取值 表3:自變量x與函數(shù)值y的取值x012x-12345y014y1491625由于很多學(xué)生不能分清“無(wú)數(shù)”和“所有”的區(qū)別，所以許多學(xué)生對(duì)學(xué)生2的說(shuō)法表示贊同，因?yàn)楸砀裰械臄?shù)據(jù)直觀顯示出隨x的增大f(x)越來(lái)越大。生3（有些猶豫）：這樣證明乎還有些不妥吧！比如：函數(shù))，我取下列的無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)（如表3）。顯然f(x)也隨x的增大而增大，那我是不是也可以說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)？可這與圖象矛盾??？（眾學(xué)生一臉茫然，感覺(jué)學(xué)生3說(shuō)的沒(méi)錯(cuò)，于是用期待的目光瞧著教師）師：“無(wú)數(shù)個(gè)”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5有無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)都比大，那我們能不能

11、說(shuō)所有的自然數(shù)都比大呢？生眾：（恍然大悟）生4：那我們總不能把所有的數(shù)都列舉出來(lái)吧！那一輩子都做不完哦！師（笑）：的確如此，那你有沒(méi)有什么好的辦法解決這個(gè)問(wèn)題呢？（大家都看著學(xué)生4，學(xué)生4低下了頭沒(méi)辦法解決）師：我國(guó)召開(kāi)全國(guó)人民代表大會(huì)的時(shí)候，是不是全國(guó)所有的老百姓都去北京開(kāi)會(huì)呢？生：不是師：那人民如何行使權(quán)力呢？生：通過(guò)人民代表生5（搶白）：我們也可以在區(qū)間上選兩個(gè)代表?。煟耗窃撊绾芜x代表呢？選1和2怎么樣？生5：不行，因?yàn)?和2僅僅代表了它們自己，并不能代表區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)，應(yīng)該用字母來(lái)代替具體數(shù)字，比如設(shè)x1,x2，為區(qū)間上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)x1x2時(shí)，只要證明就能說(shuō)明它在區(qū)間是增函數(shù)

12、了。師：很好。賦予x1,x2為區(qū)間上“代表”的身份，那么當(dāng)x1x2時(shí)，怎么證明即呢？生6（迫不及待地說(shuō)）：作差比較，只要證明即可。，因?yàn)樗裕?。師：剛才的證明關(guān)鍵是選取了是上的“任意”兩個(gè)實(shí)數(shù)，這里“任意”二字使得代表了上的所有的實(shí)數(shù)，也就是說(shuō)這條不等式對(duì)于區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)都是恒成立的，通過(guò)這種方式我們解決了“一輩子”都做不完的工作，教師再次給出增函數(shù)和減函數(shù)的定義。函數(shù)y=f(x)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)x1f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)。旁白 這一

13、階段是學(xué)生概念形成并真正理解的關(guān)鍵過(guò)程，教師通過(guò)一系列的本原性問(wèn)題使學(xué)生突破了思維的瓶頸，讓學(xué)生感受到：通過(guò)用任意的點(diǎn)x1和x2,的大小關(guān)系來(lái)判斷f(x1)和(x2)的大小關(guān)系，可以得到函數(shù)單調(diào)性的整體性質(zhì)，這既讓學(xué)生理解了教師最終給出的嚴(yán)格的單調(diào)性定義的含義，也讓學(xué)生體驗(yàn)到了如何用局部的點(diǎn)的任意性推演到函數(shù)的整體單調(diào)的性質(zhì)這一數(shù)學(xué)思想方法。事實(shí)上，這一階段是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第三次歸納由數(shù)學(xué)敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)敘述。概念的形式化師：我們來(lái)比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中兩個(gè)不等式中不等號(hào)的方向，你有什么發(fā)現(xiàn)沒(méi)有？生：增函數(shù)不等號(hào)方向一致，減函數(shù)方向相反。師：如果將增函數(shù)中的“當(dāng)時(shí)，都有”改為

14、當(dāng)時(shí)，都有結(jié)論是否一樣呢？生：一樣師：如果改為當(dāng)時(shí)，都有”是否還是一樣呢？生：一樣師：改為當(dāng)時(shí)，都有”是否還是一樣呢？生：還是一樣師：減函數(shù)的定義是否也可以進(jìn)行這樣修改？生：可以。師：根據(jù)剛才的分析，你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)自變量的差量與函數(shù)值的差量之間的關(guān)系？生7：自變量的差量與相應(yīng)的函數(shù)值的差量如果保持同號(hào)就可以說(shuō)明其是單調(diào)遞增函數(shù)，如果是異號(hào)則是單調(diào)遞減函數(shù)。師：那你能否將定義修改地更為簡(jiǎn)潔呢？生7（思考并能快給出）：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,若，則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，若，則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)。師：很好，事實(shí)上的符號(hào)決定了函數(shù)f(x)的單調(diào)性，我們不僅要

15、能從圖象上直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性，更應(yīng)該要從單調(diào)性的本質(zhì)上來(lái)理解這個(gè)概念。能用這種表達(dá)形式來(lái)描述函數(shù)單調(diào)性，說(shuō)明大家對(duì)單調(diào)性概念的理解還是比較非常深刻的。旁白 這一階段教師領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了剖析，帶領(lǐng)學(xué)生深入定義的表達(dá)形式，探索概念的本質(zhì)。實(shí)現(xiàn)學(xué)生將概念從具體的圖形表達(dá)形式化到一般的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的轉(zhuǎn)化。事實(shí)上，這一階段是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第四次歸納由數(shù)學(xué)符號(hào)敘述抽象到了形式化。概念的理解例1 判斷下列命題的真假： （1）定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)。（2）定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)。旁白 此問(wèn)題設(shè)計(jì)目的，通過(guò)上述兩個(gè)命題的真假判定，促進(jìn)理解，旨在使學(xué)生能借助圖形直觀，理解連續(xù)函數(shù)、間斷函數(shù)的單調(diào)性情況。從而幫助學(xué)生建立函數(shù)單調(diào)性概念的正確理解。概念的運(yùn)用例2 物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)），告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，為其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)P將增大，試用函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)說(shuō)明其原因。例3 設(shè)集合A=1，3，5，集合B=1，2，3，4