橢圓曲線知識(shí)點(diǎn)與講義

1、圓錐曲線、知識(shí)點(diǎn)講解一、橢圓：（1）橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離的和等于常數(shù)（大于 | F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡。其中：兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。注意：2a、F1F2 |表示橢圓；2a 4F1F2|表示線段F1F2 ； 2a <| F1F2 |沒(méi)有軌跡；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程22x2 + yr=1(a>b>0) a b222+2 =1(ab>0) a b圖形P y .A個(gè)<>2xy卜 A 2X0>27B1IO,頂點(diǎn)A(a,0)A(a,0)

2、Bi(0,-b),B2(0,b)A(-b,0),A2(b,0) B1(0,-a),B2(0,a)對(duì)稱軸x軸，y軸；短軸為2b ,長(zhǎng)軸為2a焦點(diǎn)Fi(-c,0), F2(c,0)F1(0-c), F2(0,c)焦距| f1f2 | = 2c(c >0) c2=a2-b2離心率Ce=-（0<e<1）（離心率越大，橢圓越扁） a通徑2b2巴一（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段） a223.常用結(jié)論：（1）橢圓 t+lnKaAbAO）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，過(guò)F1的直線交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，則AABF2的周 a2 b2長(zhǎng)=22（2）設(shè)橢圓=i（a >b A0）左、右

3、兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi,F2,過(guò)Fi且垂直于對(duì)稱軸的直線交橢圓于 P,Q兩點(diǎn),a b則P,Q的坐標(biāo)分別是 | PQ |= 二、例題講解。例1、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （3,0 ）, a = 3b ,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)a和b （或a2和b2）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為Jx2+.y2=1(a>b>0 a b由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0 ),知2+_0=1.又a=3b,代入得b2=1,a2=9,故橢圓的方程為 土十y2=1. a2 b2922當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程

4、為 y-T+xT=Ha>b>0卜 a b9022y2 x2由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0 )，知之+:=1.又a=3b,聯(lián)立解得a2=81, b2=9,故橢圓的方程為±+± = 1.a b819例2、 AABC的底邊BC =16, AC和AB兩邊上中線長(zhǎng)之和為 30,求此三角形重心 G的軌跡和頂點(diǎn) A 的軌跡.分析：(1)由已知可得 GC+GB|=20,再利用橢圓定義求解.(2)由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A的軌跡方程.解： (1)以BC所在的直線為 x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè) G點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y),由因 a = 10, c = 8,有b

5、= 6,GC +GB =20,知G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).22故其方程為工+匕=1(y=0).100 36(2)設(shè) A(x, y ), G(x二 y)則工+匕=1(yT0)10036，xx = ,2由題意有 3代入，得A的軌跡方程為Vy 一3900 324= 1(y =0),其軌跡是橢圓(除去x軸上兩點(diǎn)).4525例3、已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 q5和葭，過(guò)P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程.解：設(shè)兩焦點(diǎn)為FI、4 <5F2,且 PF1,2- .從橢圓定義知32a = PF1 + PF2 = 275 .即

6、PF2從PF1 > PF?知PF2垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在RWPF2F1中，sin/PFFz =冗可求出.PF1F2 =-6,2c=PF1 cos=華6 氐,從而b2 *=a210焦點(diǎn)為F1 , F2, P是橢圓上一點(diǎn),在第一象限.由余弦定理知:由橢圓定義知:故 S.FFF2FlF22=PF1 +PF2 2-2PFiPF22 不cosot = 4c .PF1 +|PF2 =2aPF1 PF2 sin a則2得jn：2 1cos ;PFi PF2 =,2 ,二=b tan .22b21 cos 二2323 22.所求橢圓方程為 勺+且 =1或空 十工=1 .51010522例4、已知橢

7、圓方程0+=1(aAbA0),長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1,A2 ,a bZA1PA2, /F1PF2=u .求：AF1PF2 的面積(用 a、b、a 表示).一_、_ 1 . . _分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角 a的兩鄰邊，從而利用SA =absinC求面積.2解：如圖，設(shè)P(x, y ),由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x, y ),由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P三、習(xí)題講解。一、選擇題。D.(0,- 6 )?(0, 6 )1.圓6x+ y2=6的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是A.(-1,0) ?(1,0)B.(-6,0) ?(6,0)C.(- 6 ,0)?( , 6 ,0)2.橢圓X2+ 8y2=1的短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是C

8、.(2 V2 ,0)、22A.(0,- a (a>b>0)的準(zhǔn)線方程是 卜(0, 4 )B.(-1,0)、 (1,0)(-*2,0)D.(0,2 也)、(0, 2"'2)3.橢圓3x2+2y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是-6、,6A.(0, 6 卜(0, 6 )B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0)D.(- 6 ,0)、( 6 ,0)24.橢圓b2ay 二二y 2 .2A a b2y =± ； a =B a bb2 B.b2v -22C. a告2ay 二二2.2D. a b5.橢圓92J14的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A. 54、5 和 9、5B. 59

9、e 14.5C. 5414-噴口 , 56 .已知Fi、F2為橢圓2x-2ab2二1(a> b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F2作橢圓的弦AB,若AFiB的周長(zhǎng)為16,橢圓離心率，則橢圓的方程是22x y / =1A. 43二17 .離心率為A. 42x28 .橢圓a.3B.1622C.1612二1二1D.162，且過(guò)點(diǎn)(2,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2b2A.相同的離心率B.y22b2=12匕=142工=11C.D. 4y2 = 122土工或416(k>0)具有B.相同的焦點(diǎn)C.相同的頂點(diǎn)D.相同的長(zhǎng)？短軸9.點(diǎn)A(a,1)在橢圓A.- 2 <a< 2B.a<- 22

10、或a42C.-2< a<2D.-1<a<122匕二142 的內(nèi)部，則a的取值范圍是2 x-210.設(shè)F是橢圓a2 r b2=1的右焦點(diǎn)，P(x,y)是橢圓上一點(diǎn)，則|FP|等于A. ex+ aB.ex aC.ax e D.a ex1 .橢圓的焦點(diǎn)2 .橢圓93.已知F?F2是橢圓2522土匕=19的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是過(guò)焦點(diǎn)F1的弦若I AB| =8,則I F2A| + | F2BI的值是A.16B.12C.14D.8二、填空題F1(0,6)，中心到準(zhǔn)線的距離等于10,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1上的點(diǎn)到直線2xJ3y+3J3=0距離的最大的值是，則 m =5 .直線y=1-x交

11、橢圓mx2+ny2=i于M, N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P,若Kop= 2 n .6 .若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是 .27 .已知橢圓的準(zhǔn)線方程是y=±9,離心率為 3 ,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .28 .到定點(diǎn)(1,0)的距離與到定直線x=8的距離之比為2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.9 .已知橢圓x2+2 y2=2的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi和F2 , B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 BF1F2的外接圓方程是 .10 .已知點(diǎn)A(0, 1)是橢圓x2+4y2=4上的一點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦AP的長(zhǎng)度最大時(shí)，則點(diǎn) P的坐標(biāo)是三、簡(jiǎn)答題。B:(x3f+ y2 =64的內(nèi)部與其相內(nèi)

12、切，求動(dòng)圓圓心P的軌1、已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(-3,0),且在定圓 跡方程.222、已知橢圓4x +y =1及直線y=x+m.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？2 10(2)若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 幺0 ,求直線的方程.3點(diǎn)4B1 :4.1、22以橢圓 上 +匕=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線l ： x y +9 = 0上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短, 123M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.已知長(zhǎng)軸為12,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn) F1作傾斜解為 二的直線交橢圓于 A, 3兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).D 2 : A 3. A 4. B5. C6. D 7. D8. A 9

13、. A 10. D1.2460.216 - 25. 26. 2分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意, 解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓7. 142匕=122188. x2 +2y2 +12x-62 = 09.列出點(diǎn) P滿足的關(guān)系式.P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M .動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn),2.213. B2 x即定點(diǎn)A(-3,0 )和定圓圓心B(3,0吠巨離之和恰好等于定圓半徑,即PA+|PB = PM|+|PB =|BM| =8.，點(diǎn)P的軌跡是以 A, B為兩焦點(diǎn),22半長(zhǎng)軸為4,半短軸長(zhǎng)為b = V42 - 32=v7的橢圓的方程： 十1 11 .167說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程

14、.這是求軌 跡方程的一種重要思想方法.22222、解：(1)把直線萬(wàn)程y=x+m代入橢圓萬(wàn)程4x +y =1得 4x +(x+m) =1,即 5x2 +2mx + m21=0 , = (2mf4M5M(m2 1 )= -16m2 +20>0 ,解得一二Mm、世 22(2)設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1 , x2，由(1)得x1 +x2 =2m , x1x2 =-55根據(jù)弦長(zhǎng)公式得.解得m = 0 .方程為y = x .百斤.(即)2.4乂士1二亞 5 )55說(shuō)明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考

15、慮判別式；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式.用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理(即根與系數(shù)的關(guān)系)，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.3分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線 同側(cè)的兩已知點(diǎn)(即兩焦點(diǎn))的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決.22解：如圖所示，橢圓 、+L=1的焦點(diǎn)為F1(-3,0 ), F2(3,0).123點(diǎn)F1關(guān)于直線l: x - y+9 =0的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一9, 6),直線FF2的方程為 x+2y3=0.一-1x+2y3=0,r 1 11解萬(wàn)程組1y 得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5, 4).此時(shí)MF1 + MF2最小.、x-y+9=0所求橢圓

16、的長(zhǎng)軸：2a = MF1 + MF2 = FF2 = 6V5，.= a = 35 ,又 c = 3,，b2 =a2 c2 =3J52 32 =36.因此，所求橢圓的方程為 人+上=1.45 3622為 x + =1.1554分析：可以利用弦長(zhǎng)公式|AB =%1+k2NX2 =，（1 + k2）（xi+x2）24x1X2求得, 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求.解：（法1）利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解.AB 71X2 =%；'（1+k，（Xi+x2）24x1X2.因?yàn)?a = 6, b = 3,所以 c = 3/3.因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x軸上，22所以橢圓方程為 人+L=1 ,左焦點(diǎn)F （與，3,0）,從而直線方程為 y=J3x + 9.369272 . 3由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得:13X +72«3x+36父8 =0 .設(shè) X1 , X2 為萬(wàn)程兩根，所以 X+X2=,13X1X2=36, k3,13從而 AB =%1 +k2 X1-X2=.(1 k2)(X1 X2)2 -4x1X2="13（法2）利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為22L+匕=1,設(shè) af =m, BF =n,則 AF2 =12m, BF2 =12n .36911在