2012年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題解析

1、2012年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試(華約)數(shù)學(xué)部分注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2. 將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、 選擇題：本大題共 10小題，每小題 3 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。(1)在銳角 ABC 中，已知 A>B>C ,則cos B的取值范圍為( )2 1 2 2(A) 0, (B) , (C) 0,1 (D) ,12 2 2 22)紅藍(lán)兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這6 枚棋子排成一列，其中每對同字的棋子中，均為紅棋子在前，藍(lán)棋子在后，滿足

2、這種條件的不同的排列方式共有( )(A) 36種(B) 60 種 (C) 90種 (D)120 種3)正四棱錐 S ABCD 中，側(cè)棱與底面所成角為，側(cè)面與底面所成二面角為，側(cè)棱 SB 與底面正方形 ABCD 的對角線 AC 所成角為，相鄰兩側(cè)面所成二面角為間的大小關(guān)系是( )(A) < < < (B) < < <(C) < < <(D) < < <4)向量 a e， e 1。若 t R， a te a e 則( )(A) a e (B) a (a e) (C) e (a e) (D) (a e) (a e)心，二面角 H

3、AB C 為 30°，且 SA 2 ，則此三棱錐的體積為(A)3(B) 234(D) 344)w11w(A) 一條直線(B) 一條線段(C)一個(gè)圓(D)一段圓弧6)橢圓長軸長為4，左頂點(diǎn)在圓 (x 4)2y124 上，左準(zhǔn)線為y 軸，則此橢圓離心率的取值范圍是()11111,113(A) ,84(B) 4, 2 (C)(D) ,24825)若復(fù)數(shù) w 1的實(shí)部為 0， Z 是復(fù)平面上對應(yīng)1 的點(diǎn)，則點(diǎn) Z x, y 的軌跡是 ( )7)已知三棱錐 SABC 的底面 ABC 為正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面 SBC上的射影 H 是 SBC的垂（8）如圖，在銳角 ABC中， AB邊上的高 CE與A

4、C邊上的高 BD交于點(diǎn) H。以 DE為直徑作 圓與 AC 的另一個(gè)交點(diǎn)為 G 。已知42 （B）5BC 25 ，BD8（A）9）已知數(shù)列(C)1020， BE 7，則 AG的長為（ ） 54（D）an的通項(xiàng)公式為anlg(13n)，n1,2, 。 Sn是數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。則lim Snn(A)3(B) lg 32(C)lg2(D)lg31010）已知xi10 (i 1,2,10),xi50 ，當(dāng)i110xi2 取得最大值時(shí)，在 x1,x2, x10 這十 i16 的數(shù)共有（ ） （B）個(gè)數(shù)中等于（A） 1 個(gè) 二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （11）2個(gè)(C)3 個(gè)(D

5、) 4 個(gè)（本小題滿分 14 分 ）在 ABC 中， A,B,C 的對邊分別為 a,b, c 。已知2sincos2C 求 C 的大小222b 2a ，求 cos2A cos2B 的值12)（本小題滿分14 分 )已知兩點(diǎn) A2,0 ,B 2,0 ，動(dòng)點(diǎn) P在 y 軸上的射影是H ，且uuurPAuuuruuur 2 PB 2 PH 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程已知過點(diǎn) B的直線交曲線 C于x軸下方不同的兩點(diǎn) M,N，設(shè)MN 的中點(diǎn)為 R，過R于點(diǎn) Q 0, 2 作直線 RQ ，求直線 RQ 斜率的取值范圍。13） （本小題滿分 14 分 ）系統(tǒng)中每個(gè)元件正常工作的概率都是p（0<p&

6、lt;1） ，各個(gè)元件正常工作的事件相互獨(dú)立，如果系統(tǒng)中有多于一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作。系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的 可靠性。（1）某系統(tǒng)配置有2k1 個(gè)元件， k 為正整數(shù)，求該系統(tǒng)正常工作概率的表達(dá)式（2）現(xiàn)為改善（ 1）中系統(tǒng)的性能，擬增加兩個(gè)元件。試討論增加兩個(gè)元件后，能否提高系統(tǒng)的可靠性。（14） （ 本小題滿分 14 分 ）記函數(shù)fn(x) 1 x2 x 2!nx,n 1,2 證明：當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，方程 fn（x） 0沒有實(shí) n!且 n> n 2 。根；當(dāng) n是奇數(shù)時(shí)，方程 fn(x) 0 有唯一的實(shí)根 (15) (本小題滿分 14 分)某乒乓球培訓(xùn)班共有 n

7、位學(xué)員，在班內(nèi)雙打訓(xùn)練賽期間，每兩名學(xué)員都作為搭檔恰好參加過 一場雙打比賽。試確定 n 的所有可能值并分別給出對應(yīng)的一種安排比賽的方案。2012 年華約數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ACBCA B 略 DDC二、解答題 11解：(1)C=2/3；(2)cos2A cos2B =3/4 12 解：AP?BP 2PH 21)設(shè) P(x,y),則 H(0， y),由得( x 2, y)?(x -2,y) 2x2,即y2-x2 42)令 CD: x my 2(m 0)代入 y2 x2 4 ，整理得22(1 m )y 4my 8 0因?yàn)橹本€在 x軸下方交 P點(diǎn)軌跡于 C( x1, y1)， D( x2,y2)兩

8、點(diǎn)所以上式有兩個(gè)負(fù)根，由21 m2 022 16m2 32(1 m2) 04my1 y22 01m8y1y22 01m根據(jù)韋達(dá)定理，得 CDx1 x2 y1 y2M(2 代入直線 2m21m中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為2(21mMQ 的方程 y+2=kx,(k2)2m,2 )1m 為其斜率 )得所以， k=13 解答：顯然注意到 C2nk 12k2m1 (m12)25 ( 2 1,1) ,(1 m 2)4PK1C2k 1(10np)n2k 1 np2k 1 nC2k 12C2nk11n2C2k 1 ，n2kp) p2k1nk所以 PK 1= C2nk 1(1n0k(C2nk 1n02C2nk11C2nk

9、 21)(1n 2k p) p1nkkC2nk11(12k 1 pkC2nk21(1n 2k 1 n p) pC2nk 1(1p)n2k 1pn2p)nnn0n1n2kkkC2k 1(1p)n2kp2kn2C2nk11(1p)n1 2k1 p2knC2nk 21(1n 2 2k 1 np)n 2p2k 1 nn0n0n0k1C2k 1(1p)n2kp2kn(2p22(1 p)p(1p2)n0C2kk 1(1p)k pk1kC2k11(1p)k 1 pkk1CnC2k 1(1p)n2k 1 pnCkC2k 1(1 p)k pk(p(1p)=PK C2k 1(1Kp)K pk(2p 1)1因此，當(dāng)

10、 p12時(shí)，1 pk 遞增，當(dāng) P 時(shí)，2 pk 遞減。n014 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 f2n 1(x)0 有唯一解 x2n 1且嚴(yán)格單調(diào)遞增，f2n (x)0 無實(shí)數(shù)解， 顯然 n=1 時(shí)，此時(shí) f1(x)1 x 有唯一解x11，且嚴(yán)格單調(diào)遞增，而 f 2(x) 1x2無實(shí)數(shù)解，現(xiàn)在假設(shè)2f2n 1(x)0有唯一解 x2n1且嚴(yán)格單調(diào)遞增， f2n(x) 0 無實(shí)數(shù)解，于是注意到f2n 1(x)f2n (x), f2n1時(shí)，對任意的 0kn 有 x+2k+1 0, 于是f2n 1(x)n 2k kn0(x22kk)!(2k 1)!2kx(x 2k 1) ，所以 f2n 1(2n 1) 0,

11、又因?yàn)?f2n(0) 10,所以由 f2n 1 (x)嚴(yán)格遞增知 f2n 1(x)0 有唯一根 0x2n 12n 1，對于 f2n 2(x) 有 f2n 2f2n 1(x) ，所以( ， x2n 1 )上，遞減，在(x2n 1 ，+)上，遞增，所以mx iRn f2n 2(x)f2n 2(x2n 1)2n 2 x2n 1 (2n 2)!2n 2 x2n 1 (2n 2)!0,因此， f2n 2 (x) 0無實(shí)數(shù)解綜上所述，對任意正整數(shù)n,當(dāng)為偶數(shù)時(shí) fn(x) 0無解，當(dāng)為奇數(shù) fn (x) 0 有唯一解xn 。再證 x2n 1 x2n 1，事實(shí)上，由f2n1(x)的嚴(yán)格單調(diào)性，只需驗(yàn)證 f2

12、n1(x2n1) 0，注意到f2n 1(x) f2n 1(x) x2n(2n)!x2n 1，由上述歸納法證明過程中，(2n 1)!x2n 12n 1，所以2n 1(x2n 1)2nx2n 12n 1 x2n 1(2n)! (2n 1)!2nx2n 1 (x2n 1 2n 1) 0 ，(2n 1)!因此 x2n 1 x2n 1 ，綜上所述，原命題得證。215假設(shè)比賽了 K場，那么由題目假設(shè)， 一場比賽出現(xiàn)了 2對隊(duì)友，所以Cn2 =2k，也就是說 4k=n(n-1) ， 那么得到 n=4l 或者 4l+1,期中 l N，下邊證明，對于任意的 n=4l ，或者 4l+1, 其中 l N,都可以構(gòu)造

13、 出滿足要求的比賽： n=4l+1, 的時(shí)候，對于 L 使用數(shù)學(xué)歸納法：1)當(dāng) L=1 的時(shí)候， N=5 ，此時(shí)假設(shè)這5 名選手為 A,B,C,D,E, 那么如下安排比賽即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.21m, F22m ，2)設(shè)當(dāng) L=M 時(shí)結(jié)論成立，則 L=M+1 時(shí)，設(shè) 4M+5 選手為 A,B,C,D,E F11 , F12 , F21, F22 ,F1 ,F由歸納假設(shè)，可以安排E, F1 , F1 ,F2,F2, , F2m, F2m之間的比賽，使得他們之間每兩位選手的作為隊(duì)友恰好只參加過一次比賽， 還剩下 A,B,C,D ，E,相互的比賽和 A,B,C,D 與 F1 ,F1 , ,F2m,F2m之間的比賽， A,B,C ，D 與 F1 ,F1 ,