2021年中考數學一輪復習訓練48中考數學數形結合思想(解析版)

1、專題48中考數學數形結合思想專題知識點概述數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一左條件下可以相互轉化。中學數學研 究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數 學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借 助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二 種情形是“以形助數”?！耙詳到庑巍本褪怯行﹫D形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要 給圖形賦值，如邊長、角度等。1. 數形結合思想的含義數形結介思想是指從幾何直觀的

2、角度,利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法 （以形助數），或利用數疑關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（以數助形）的一種數學思想.數形結合 思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決。2. 數形結合思想應用常見的四種類型（1）實數與數軸。實數與數軸上的點具有一一對應關系，借助數軸觀察數的特點，直觀明了。（2）在解方程（組）或不等式（組）中的應用。利用函數圖象解決方程問題時，常把方程根的問題看作兩個函 數圖象的交點問題來解決;利用數軸或函數圖象解有關不等式（組）的問題直觀，形象，易于找出不等式（組） 解的公共部分或判斷不等式組有無公共解。（3）在函數中的應用。借

3、助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法,函數圖象的幾何特征與數量特征緊 密結合，體現了數形結合的特征與方法。（4）在幾何中的應用。對于幾何問題，我們常通過圖形，找出邊、角的數量關系，通過邊、角的數量關系， 得出圖形的性質等。3. 數形結合思想解題方法數”和形”是數學中兩個最基本的概念，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置 密切相關的數量關系：反之，數量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述.數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它 的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路：或者在研究圖形時，利用代數的知識，解決

4、幾何的問題.實現了抽象 概念與具體圖形的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀.例題解析與對點練習【例題1 （2020-遵義）構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要性,在計算tanl5時，如AC _1_2-v 3CD 2+v3 (2+V3)(2-；l)A. V2+1B V2-1D.圖.在Rt川方中，Zr=90 , ZABC=3Q ,延長仿使加=/連接初，得ZP=15 ,所以tanl5 =2-V3類比這種方法,計算tan22. 5的值為（【答案】B【分析】在Rt辺中,ZC=90 , ZABC=A5 ,延長 飴使加=麗，連接，得ZP=22. 5 ,設 47=BC=1.則 AB=BD= V2,

5、根據tan22.5 =醤計算即可.【解析】在Rt川方中，ZC=90 , Z磁=45 ,延長仿使 助=初，連接肋，得Z27=22. 5 ,設AC=BC=1.則曲=助=返,tan22. 5U =5-2 1的解集在數軸上表示正確的是（）【答案】c【解答】解：解不等式X- 1 0得X1,解不等式52x$ 1得xW2,則不等式組的解集為10）與y=k：x+b= （k：0)與y軸交于B點,則0B嘰 直線y=k3x+b3 (ksABC的而積為4,.OAOB為 A0C 二 4， *2訃1尹2 ( - b2)=4,解得：b； - b：=4.【例題3 (2020通化模擬)在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動

6、，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2血的正方形AEFG按圖1位巻放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.(1) 小明發(fā)現DG丄BE,請你幫他說明理由.(2 )如圖2,小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE 的長.(3 )如圖3,小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H,寫出GHE與BHD而積之和的最大值，并簡要說明理由.【答案】見解析?！窘馕觥浚?）四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形,AD二AB, ZDAG=ZBAE=90 , AG二AE,任 ZkADG 和 ABE 中，rAD=AB-ZD

7、AG二 ZBAE,AG=AEADG竺AABE (SAS), ZAGDZAEB,如圖1所示，延長EB交DG于點H,在 ZkADG 中，ZAGD+ZADG=90 ,A ZAEB+ZADG=90 ,在ZkEDH 中，ZAEB+ZADG+ZDHE二 180 ,ZDHE二90 ,則DG丄BE：(2 ) 四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形,AD二AB, ZDAB=ZGAE=90 , AG二AE, ZDABZBAG二ZGAE+ZBAG,即ZDAG二ZBAE.在ADG和AABE中, ZDAG二 ZBAEAG 二 AEADG旦AABE (SAS),DG 二 BE,如圖2,過點A作AM丄DG交DG于點M,

8、ZAMD二ZAMG二90 ,VBD為正方形ABCD的對角線，ZMDA二 15 ,在 RtAAMD 中，ZMDA=45 ,/.cos45 衛(wèi)，ADTAD 二2.DH 二 AMf邊( Rt AAMG中，根據勾股疋理得：GM/AG2 - M2=V6，TDG 二 DM-GM 二 7去皿ABE=DG=V2V6：(3 ) GHE和BHD而積之和的最大值為6,理由為：對于AEGH點H在以EG為直徑的圓上，當點H與點A重合時，AEGH的高最大：對于BDH,點H在以BD為直徑的圓上，當點H與點A重合時，ABDR的髙最大， 則GHE和BHD而積Z和的最大值為2+4=6.【對點練習】（2020山東日照模擬）問題背景

9、：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直 角三角形中，如果一個銳角等于30 ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.即：如圖1,在RtAABC中，探究結論：小明同學對以上結論作了進一步研究.（1）如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE今AB,易得結論：AACE為等邊三角形：BE與CE之間的數量關系為.（2）如圖2,點D是邊CB上任意一點，連接AD,作等邊ADE,且點E在ZACB的內部，連接BE.試探究 線段BE與DE之間的數量關系，寫岀你的猜想并加以證明.（3）當點D為邊CB延長線上任意一點時，在（2）條件的基礎上，線段BE與DE之間存在怎樣的數量關系？ 請直接寫岀你的結論.拓展應用：

10、如圖3,在平面宜角坐標系xOy中，點A的坐標為（-丁了，1）,點B是x軸正半軸上的一動點, 以AB為邊作等邊AABC,當C點在第一象限內，且B （2, 0）時，求C點的坐標.【答案】見解析。【解答】探究結論（1）如圖1中,1TZACB二9(T , ZB二30 ,AZA=60 ,.eAC=jAB=AE=EB,ACE是等邊三角形,/. EC 二 AE 二 EB,故答案為EC二EB理由:連接PEACP, 2XADE都是等邊三角形, AC二AD二DE, AD二AE ZCAP二ZDAE二60 , ZCAD 二 ZPAE,CAD9APAEZACD=ZAPE=90 ,EP丄AB, TPA二PB,EA二EB,

11、 DE二AE,ED 二 EB （3）當點D為邊CB延長線上任意一點時，同法可證：ED二EB,故答案為ED二EB.拓展應用：如圖3中，作AH丄x軸于H, CF丄0B于F,連接0A.ZA0H=30 ,由(2)可知，CO二CB,CF 丄 0B,OF二 FB二 1,可以假設C (1, n ),V0C=BC=AB,.l+n:=l+(V3-2) .n=2+V3:.C (b 2+V3)一、選擇題1. (2020溫州)如圖，在離鐵塔150米的川處，用測傾儀測得塔頂的仰角為。，測傾儀高肋為15米，則鐵塔的高證為()A. (1.5+150tanci )米B. (1.5+)米C. (1.5+150sina )米D.

12、 (1.5+黑)米【答案】A【分析】過點川乍AE1.BC,廳為垂足，再由銳角三角函數的定義求岀亦的長，由BC=CE+BE即可得岀結論.【解析】過點川作血丄應，尸為垂足，如圖所示：則四邊形如為矩形，J=150,CE= AD= 1. 5*在磁中，tana = |f =篙,.*.5f=150tan(】，:.BC=CEBE= (1.5+150tana ) 5)2. （2020恩施州模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，EFAB交AD于E,交BD于F, DE： EA=3： 4,EF二3,則CD的長為（）A. 4 B. 7 C. 3 D. 12【答案】B【解析】此題考査了平行線分線段成比例宦理與平行四邊形的

13、性質.此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用.VDE： EA=3： 4,.DE： DA=3： 7VEF/7AB, DE EF 二i 1 DA ABVEF=3 3 3 *7 AB解得：AB二7,.四邊形ABCD是平行四邊形，CD 二 ABh 故選B3. （2020濟南模擬）如圖，拋物線y= - 2V+8x - 6與x軸交于點A、B,把拋物線在x軸及其上方的部分記作5將G向右平移得C“ G與x軸交于點氏D.若直線y二x+m與G共有3個不同的交點，則m的取值范圍是()C. -3ra解得x=l或3,則點 A (1, 0) ” B (3, 0),由于將C：向右平移2個長度單位得C：,則 G解析

14、式為 y=2 (x-4) 2+2 (3x5),當y=x-m：與C：相切時，令 y=x+m：=y二-2 (x - 4) ：+2即 2x - 15x+30+mi=r0二-8m： - 15=0.即0二3-業(yè),當-3m0； a - 2b+4c=0： 25a - 10b+4c=0； 3b+2c0： a-bm （am-b）：其中所有正確的結論是（填寫正確結論的序號）【解析】本題考査的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標滿足拋物線的解析式由拋物線的開口向下可得：a0故正確;直線x二是拋物線y二axbx+c （a

15、HO）的對稱軸，所以-也可得b=2a,2aa - 2b+4c=a - 4a+2= - 3a+4c - 3a0.* 3a+4c0,即” 2b+4c0故錯誤：拋物線y曲+bx+c的對稱軸是x=- 1.且過點（寺0）.拋物線與X軸的另一個交點坐標為（0）,2當 X二.爭,尸0,即& （ -|） 2 -|b+c=0 整理得：25a - 10b+4c=0,故正確：Vb=2a a+b+cVO,2b+b+c0,2即3b+2cma - mb+c （niHl）,.*.a - bm （am - b） 所以匸確。故答案為：.5. （2020泰安）如圖，某校教學樓后而緊鄰著一個山坡，坡上而是一塊平地.BC/AD, B

16、E LAD,斜坡曲長 26皿斜坡曲的坡比為12： 5.為了減緩坡而，防止山體滑坡，學校決世對該斜坡進行改造.經地質人員勘 測，當坡角不超過50時，可確保山體不滑坡.如果改造時保持坡腳月不動，則坡頂萬沿證至少向右移 加時，才能確保山體不滑坡.（取tan50a =1.2）BC【答案】10【分析】在慮上取點只 使Z磁 =50 ,作FHLAD,根據坡度的概念求出龐.血根據正切的宦義求出AH.結合圖形計算，得到答案.【解析】在證上取點斤 使Z用5=50 ,過點尸作曲丄肋于勺: BFEH、BEYAD. FH1.AD.四邊形暢為矩形，:BF=EH、BE=FH、斜坡曲的坡比為12： 5,BE 12 _ = A

17、E 5設 BE=2x、則 AE=5x,由勾股定理得,AEBE-AB. E卩(5%) + (12x) 3=26解得,x=2,:.AE=1Q, BE=24,:FH=BE=24,FH在Rt翊中，tanZ別匸笏,山啟盞需=2(h:BF=EH=AH- AE=0, 坡頂萬沿必至少向右移10加時，才能確保山體不滑坡.6. （2020濟南模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB二6, ZDAB二60 , AE分別交BC、BD于點E、F, CE二2,連接CF,以下結論：ZkABF/XCBF：點E到AB的距離是鞏兮；tanZDCF仝於：AABF的而枳為更 r5島其中一泄成立的是 （把所有正確結論的序號都填在橫線上）【答

18、案】【解析】此題考查了四邊形綜合題，關鍵是根據菱形的性質、等邊三角形的判怎與性質以及全等三角形的判 泄與性質分析.此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.菱形 ABCD,TZDAB二60 ,AB二AD二DB, ZABD=ZDBC=60a ,在AABF與ACBF中，ABF幻ACBF (SAS), 正確;過點E作EG丄AB.過點F作MH丄CD, MH丄AB,如圖:VCE=2, BC二6, ZABC二 120 ,BE二6 - 2=4,TEG 丄 AB,EG二 2/3，點E到AB的距離是2餡，故正確；VBE=4, EC=2,Sabjs: Sz.rc=4: 2二2: 19 Sa Aa

19、r x S/.rn=3 2,. ABF 的而積為二*SAiE|x|x6X2V3 豐 故錯誤:W127V35 _ 5 二仏！令X 6X3后朋 S/XDFC = AAPB _ SaBF _- Sadk4x6XFM=.93【F59ACM=DC-DM=6-=i,5 5.tanZDCF 曙521故正確。三.解答題7.（2019-湖南湘西州）解不等式組:x-2x+2并把解集在數軸上表示出來.一“JIIIII-2 -1 012345【答案】見解析?！窘獯稹拷獠坏仁絰-2V 1得x*2,得：正-1, 則不等式組的解集為-將解集表示在數軸上如下：I 11161-2-1 01234y8. 我們知道：根據二次函數的

20、圖象，可以宜接確左二次函數的最大（?。┲担焊鶕皟牲c之間，線段最短”， 并運用軸對稱的性質，可以在一條直線上找到一點，使得此點到這條直線同側兩左點之間的距離之和最 短.這種“數形結合”的思想方法，非常有利于解決一些實際問題中的最大（?。┲祮栴}.請你嘗試解決一 下問題：（1）在圖1中，拋物線所對應的二次函數的最大值是 （2）在圖2中，相距3km的A、B兩鎮(zhèn)位于河岸（近似看做直線CD）的同側，且到河岸的距離AC二1千米,BD二2千米，現要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請你： 作圖確立水塔的位巻： 求岀所需水管的長度（結果用準確值表示）.（3）已知x+y二6,求J+9 +

21、少 + 25的最小值？此問題可以通過數形結合的方法加以解決，具體步驟如下: 如圖3中，作線段AB二6,分別過點A、B,作CA丄AB, DB丄AB,使得CA二 DB二 在AB上取一點P,可設AP二 , BP二 . Vx2+9 + 7/ + 25的最小值即為線段一和線段長度之和的最小值，最小值為【答案】見解析?！窘馕觥浚?）拋物線所對應的二次函數的最大值是4；（2）如圖所示，點P即為所求.（作法：延長AC到點E,使CE二AC,連接BE,交直線CD于點P,則點P即為所求.說明：不必寫作法和證明，但要保留作圖痕跡：不連接PA不扣分；（延長BD,同樣的方法也可以得到P點的位置過點A作AF丄BD,垂足為F

22、.過點E作EG丄BD.交BD的延長線于點G.則四邊形ACDF. CEGD都是矩形. FD二AC二CE二DG二 1, EG=CD=AF TAB二3, BD二2, BF二BD-FD二 1, BG二BD+DG二3,在 RtAABF 中，AF=AB:-BF:=8 AAF=2V2 EG=2/2 在 RtABEG 中,BE=EG=+BG:=17,.BE=Vr7 (cm).PA+PB的最小值為JTYcm.即所用水管的最短長度為17 cm.(3)圖3所示，作線段AB二6,分別過點A、B.作CA丄AB, DB丄AB,使得CA二3, BD二5,在AB上取一點P,可設AP二x, BP二y,J/+9 +J/ + 25

23、的最小值即為線段PC和線段PD長度之和的最小值，作C點關于線段AB的對稱點C,連接C D,過C點作C E丄DB,交BD延長線于點氏AC二BE二3, DB二5, AB二C E二6,/.DE=8,CD = IdE2+CE2 =10.最小值為10.故答案為：4；X, y；PC, PD, 10.9. （2019山東省濱州市）如圖，拋物線 尸冷+礙対4與y軸交于點4與x軸交于點氏G將直線4:3應=而T當幾的坐標為（10,/. sinZ/MP=425則只的坐標為（2,當只的坐標為（2,34冷），則副=（10-0）2+（*-4）8譽,10山卜可得S貶卻的值是警或需.10. （2019湖南湘西州）如圖，一次函數y=Z 的圖象與反比例函數尸衛(wèi)的圖象在第一象限交于點（3, x2）,與y軸的負半軸交于點氏 且OB=4.（1）求函數y=衛(wèi)和y=kxb的解析式: x（2）結合圖象直接寫岀不等式組0旦吃汁6的解集.【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考査了反比例函數與一次函數交點問題，解題時注總：反比例函數與一次函數交點坐 標同時滿足兩個函數解析式.(1) 把點川(3, 2)代入反比例函數巴.可得加=3X2=6.x反比例函數解析式為y=呂,9：0B=4,:.B (0,4人把點A (3 2), 5(0. - 4)代入一次函數y=&7,可彳