16.2.1向量的加法運算

1、6 2 平面向量的運算6 2.1 向量的加法運算考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面向量加法的幾何意義理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象平行四邊形法則和三角形法則掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實際問題數(shù)學(xué)抽象、直觀想象平面向量加法的運算律掌握向量加法的交換律和結(jié)合 律，會用它們進行計算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 P7P10 的內(nèi)容，思考以下問題：1在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？2向量加法的運算律有哪兩個？1向量加法的定義及運算法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法法則三角 形法 則前提已知非零向量 a， b作法在平面內(nèi)任取一點 A，作

2、AB a，BCb，再作向量 AC結(jié)論向量AC叫做 a與 b的和，記作 ab， 即 abABBC AC圖形法則平行 四邊 形法 則前提已知不共線的兩個向量 a， b作法在平面內(nèi)任取一點 O ，以同一點 O 為起點的兩個已知向量 a， b 為鄰邊作 ?OACB結(jié)論對角線 OC 就是 a 與 b 的和圖形規(guī)定對于零向量與任一向量 a，我們規(guī)定 a 00aa名師點撥(1) 兩個法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個非零向量求和， 平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和(2) 在使用三角形法則時，應(yīng)注意 “首尾連接 ” ；在使用平行四邊形法則時應(yīng)注意范圍 的限制及和向量與兩向量起點相同(3) 位

3、移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型2|ab|，|a|，|b|之間的關(guān)系一般地， |a b| |a|b|，當(dāng)且僅當(dāng) a，b 方向相同時等號成立3向量加法的運算律交換律abba結(jié)合律(ab)ca(bc)判斷 (正確的打“”，錯誤的打“×” )(1) 任意兩個向量的和仍然是一個向量( )(2) 兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加( )(3) 任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線( )答案： (1) (2) × (3) ×已知非零向量 a，b， c，則向量 (ac)b，b(ac)，b (c a)，c(ba

4、)，c(a b)中，與向量 abc 相等的個數(shù)為 ( )A 2B 3C4D 5答案： D如圖所示，在平行四邊形則 ACBA (BbDabAaC0 答案： B在正方形 ABCD 中， |AB| 1，則 |ABAD|答案： 2平面向量的加法及其幾何意義如圖，已知向量 a， b， c，求作和向量 a bc.【 解】 法一： 可先作 a c，再作 (ac) b，即 abc.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點 O，作向量 OA a，接著作向量 ABc，則得向量 OBa c，然后作向量 BCb，則向量 OC a bc 為所求法二：三個向量不共線， 用平行四邊形法則來作 如圖，(1) 在平面內(nèi)任取一點 O，作OA

5、a，OB b；(2)作平行四邊形 AOBC，則 OCa b；(3)再作向量 OD c；(4) 作平行四邊形 CODE ，則OEOCca bc.OE即為所求(1) 應(yīng)用三角形法則求向量和的基本步驟 平移向量使之 “首尾相接 ” ，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合； 以第一個向量的起點為起點， 并以第二個向量的終點為終點的向量， 即為兩個向量的 和(2) 應(yīng)用平行四邊形法則求向量和的基本步驟 平移兩個不共線的向量使之共起點； 以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形； 平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和如圖，已知向量 a， b，求作向量 a b.解： (1)作 OA a

6、， AB b，則 OBa b，如圖 (1)(2)作OAa， ABb，則 OB a b，如圖 (2)(3)作OAa， ABb，則 OB a b，如圖 (3)平面向量的加法運算化簡：(1) BCAB；(2) DB CDBC； (3) ABDF CDBC FA.解】 (1)BC ABABBC AC.(2)DB CDBC BC CD DB(BCCD)DB BDDB 0.(3) ABDF CDBC FAABBCCDDF FAACCDDF FAADDF FAAF FA 0.向量加法運算中化簡的兩種方法(1) 代數(shù)法 ：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為首尾相接 ” ，向量的和即為第一個向量的起點指

7、向最后一個向量終點的向量(2)幾何法 ：通過作圖，根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡1下列等式不正確的是 (a(bc) (ac)b；ABBA0； ACDCABBD.ACBD解析：選B.由向量的加法運算律知 正確；因為 ABBA0，故不正確； DCABBDABBD DCAC成立，故 正確2.如圖， E，F(xiàn)， G， H 分別是梯形 的中點，化簡下列各式：ABCD 的邊 AB，BC，CD ，DA(1)DGEACB；(2)EG CG DA EB.解：(1)DGEACBGCBECBGCCBBEGBBEGE.(2)EG CGDAEBEGGDDAAEEDDAAEEAAE0.向量加法的實際應(yīng)用某人在靜水中游泳

8、， 速度為 4 3千米 /小時，他在水流速度為 4千米 /小時的河中游泳若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進？實際前進的速度大小為多少？ A.QPB.OQ解】 如圖，設(shè)此人游泳的速度為 OB，水流的速度為 OA，以 OA，OB為鄰邊作 ?OACB，則此人的實際速度為 OAOB OC.由勾股定理知 |OC|8，且在 RtACO 中，COA 60°，故此人沿與河岸 成 60°的夾角順著水流的方向前進，速度大小為8 千米 / 小時C.CDD.DA應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學(xué)問題的基本步驟(1)表示 ：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題(2)運算：應(yīng)用向量加法的

9、平行四邊形法則和三角形法則，將相關(guān)向量進行運算，解答 向量問題如圖所示，在某次抗震救災(zāi)中，一架飛機從 A 地按(3)還原 ：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題北偏東 35°的方向飛行 800 km 到達(dá) B 地接到受傷人員， 然后又從 B 地按 南偏東 55°的方向飛行 800 km 送往 C 地醫(yī)院， 求這架飛機飛行的路程及 兩次位移的和解：設(shè)AB，BC分別表示飛機從 A地按北偏東 35°的方向飛行800 km，從 B地按南偏東55°的方向飛行 800 km ，則飛機飛行的路程指的是|AB|BC|；兩次飛行的位移的和指的是 ABBC

10、 AC.依題意有 |AB|BC|8008001 600(km) ，又 35°， 55°，ABC 35°55°90°，所以 |AC| |AB|2 |BC|228002800 2(km) ，其中BAC45°，所以方向為北偏東 35°45°80°，從而飛機飛行的路程是 1 600 km， 兩次飛行的位移和的大小為 800 2 km，方向為北偏東 80 °.C.SPD.SQ 解析： 選 B.OPPQPSSPOQ 0OQ.2在四邊形 ABCD 中， AC AB AD，則一定有 ( )A 四邊形 ABCD

11、是矩形B四邊形 ABCD 是菱形C四邊形 ABCD 是正方形ABCDD四邊形 ABCD 是平行四邊形解析： 選 D.由ACABAD得 ADBC，即 ADBC，且 ADBC，所以四邊形 的一組對邊平行且相等，故為平行四邊形3已知非零向量 a，b，|a|8，|b|5，則 |ab|的最大值為 解析 ： |a b| |a| |b|，所以 |a b|的最大值為 13.答案 ：134.已知?ABCD ，O 是兩條對角線的交點，E是CD 的一個三等分點 (靠近E是CD 的一個三等分點 (靠近D 點 ) ，求作：(1)AO AC；(2)DE BA.解： (1)延長 AC，在延長線上截取 CFAO，則向量 AF

12、 為所求1(2)在 AB 上取點 G，使 AG 3AB，則向量 BG 為所求A 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) B.BC1點 O 是平行四邊形 ABCD 的兩條對角線的交點，則 AOOCCB等于 ()A.AB解析：選A.因為點 O是平行四邊形 ABCD 的兩條對角線的交點， 則AO OC CBAC CB AB.故選 A.2如圖，四邊形 ABCD是梯形，ADBC，對角線 AC與 BD相交于點 O，則OABCD.DOABDO ()A.CDC.DA 解析： 選 B.OABCABDODOOA ABBCDAABBCDBBCDC.3若向量 a表示“向東航行 1 km”，向量 b 表示“向北航行 3 km ”，則向量 ab 表

13、示()A 向東北方向航行 2 kmB向北偏東 30°方向航行 2 kmC向北偏東 60°方向航行 2 kmD 向東北方向航行 (1 3)km30°.又|ab|1解析： 選 B.如圖，易知 tan ，所以 30°.故 ab 的方向是北偏東2 km ，故選 B.4.如圖所示，在正六邊形于()A1C3ABCDEF 中，若 AB1，則 |ABFECD|等B2D 2 3解析： 選 B. 由正六邊形知 FEBC，所以 ABFECDABBCCD AD，所以 |ABFECD| |AD|2.故選 B.5（2019 ·云南曲靖一中檢測 ）已知向量 a，b 皆為非零

14、向量，下列說法不正確的是（ ）A若 a與 b反向，且 |a|>|b|，則 ab與 a同向B若 a 與 b 反向，且 |a|>|b|，則 a b 與 b 同向C若 a 與 b 同向，則 ab 與 a 同向D若 a與 b同向，則 ab與 b同向解析：選 B.a 與 b 反向，且 |a|>|b|，則 ab 與 a同向，所以 B 錯；a 與 b同向，則 ab 與 a 同向，也與 b 同向6化簡 （ABMB）（BOBC）OM 解析： 原式 （ABBO）（OMMB）BC AOOBBCABBCAC.答案： AC7在菱形 ABCD 中， DAB60°， |AB| 1，則 解析： 在

15、菱形 ABCD 中，連接 BD ，因為DAB 60°，所以 BAD 為等邊三角形，又因為 |AB|1，所以 |BD|1，所以 |BCCD| |BD|1.答案： 18已知平行四邊形 ABCD ，設(shè)ABCDBCDAa，且 b 是一非零向量，給出下列 結(jié)論： ab； aba； abb； |a b|<|a| |b|.其中正確的是 解析： 因為在平行四邊形 ABCD 中， AB CD 0， BC DA 0，所以 a 為零向量，因 為零向量和任意向量都平行， 零向量和任意向量的和等于這個向量本身， 所以 正確， 錯誤答案： 9根據(jù)下列條件，分別判斷四邊形ABCD 的形狀：（1）AD BC；

16、（2）ABDC且|AB| |AD |.解： （1）因為 AD BC ，所以 ADBC，ADBC，所以四邊形 ABCD 是平行四邊形(2)因為 AB DC且|AB| |AD|，所以四邊形 ABCD 是有一組鄰邊相等的平行四邊形， 四邊形 ABCD 是菱形10已知 |OA|a|3，|OB|b| 3， AOB 60°，求 |ab|.解： 如圖，因為 |OA| |OB|3，所以四邊形 OACB 為菱形，連接 OC， AB，則 OCAB，設(shè)垂足為 D.因為 AOB 60°，所以 AB |OA|3.所以在 RtBDC 中， CD323.所以 |OC | |a b| 3 23×

17、 2 3 3.B能力提升 11已知有向線段 AB，CD 不平行，則 (A |ABCD|>|AB|B |ABCD | |CD |C |ABCD|AB|CD|D |ABCD|<|AB|CD|解析： 選 D.由向量加法的幾何意義得 |a| |b| |ab|a|b|，等號當(dāng)且僅當(dāng) a，b共線的時候取到，所以本題中， |ABCD|<|AB|CD|.12若 P 為 ABC 的外心，且 PA PB PC，則 ACB解析 ：因為 PA又 P 為 ABC 的外心，所以 |PA|PB|PC|.因此 ACB 120°.答案 ：120°13如圖，已知 ABC 是直角三角形且 A9

18、0°，則下列結(jié)論中正確的是 |AB AC|BC|； |AB CA|BC|； |AB|2 |AC |2 |BC|2解析： 正確以 AB， AC為鄰邊作 ?ABDC，又 A90°，所以 ?ABDC 為矩形，所以 ADBC，所以 |AB AC| |AD| |BC|. 正確 |ABCA| |CB|BC|. 正確由勾股定理知 |AB|2|AC|2 |BC|2.答案： 14如圖，已知向量 a，b， c， d.d.(2)設(shè)|a|2，e 為單位向量，求 |a e|的最大值解： (1)在平面內(nèi)任取一點O，作 OAa， ABb，BCc，CDd，則 ODabc(1)求作 abc d；(2)在平面內(nèi)任取一點 O，作 OAa，ABe，則 aeOAABOB，因為 e 為單位向量，所以點 B 在以點 A 為圓心的單位圓上 (如圖所示 )，由圖可知當(dāng)點 B 在點 B1時， O， A， B1三點共線，|OB|即 |a e|最大，最大值是 3.C 拓展探究 15如圖，在重 300 N 的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在