分式方程的解法及應用提高導學案+習題【含答案】

1、學習必備歡迎下載分式方程的解法及應用(提高)【學習目標】1 . 了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程.2 .會列出分式方程解簡單的應用問題.【要點梳理】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：(1)分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未 知數(shù).(2)分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù)).分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù) 的方程是整式方程.(3)分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化

2、方法是方程兩邊都乘以最簡 公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根 叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根解分式方程的一般步驟：(1)方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母)；(2)解這個整式方程，求出整式方程的解；(3)檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0,則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0,則這個解不是原分式方程白解，原分式方程無解要點三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根產(chǎn)生增

3、根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式 子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義， 所以這個根是原分式方程的增根 .要點詮釋：(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以(或除以)同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0,那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根(2)解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方 程過程中是否有錯誤， 而是檢驗是否出現(xiàn)增根， 它是在解方程的過程中 沒有錯誤的前提下進行的.要點四、分

4、式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：(1)審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關系；(2)設未知數(shù)；(3)找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；(4)解這個分式方程；(5)驗根，檢驗是否是增根；(6)寫出答案.學習必備歡迎下載【典型例題】 類型一、判別分式方程(1)2x-1 2 _ 5x3 一99 一 7(2)3 _5 y -2 y(3)要 42y -2(4) 3 +X2 -1【高清課堂分式方程的解法及應用例1】 卜列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？為什么?【答案與解析】 解：（1）雖然方程里含有分母，但

5、是分母里沒有未知數(shù)，所以不是分式方程;（2）具備分式方程的三個特征，是分式方程；（3） 3y1+4沒有等號，所以不是方程，它是一個代數(shù)式； 2y -2（4）方程具備分式方程的三個特征，是分式方程.特別提醒：（3）題是一個代數(shù)式，不是方程，容易判斷錯誤；【總結(jié)升華】整式方程與分式方程的區(qū)別在于分母里有沒有未知數(shù)，有未知數(shù)的就是分式方程，沒有未知數(shù)的就是整式方程.類型二、解復雜分式方程的技巧131041x4 x-3 x-5 x-1【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分,3x 13x 1(x-4)(x-3) 一(x5)(x1)3x 1x 1-=0 ，(x-4)x(- 3)x 44，1)(3x+1)

6、 |111=0 ,：(x-4)(x-3) (x-5)(x-1)13x 1= 0 或(x -4)(x -3) (x -5)(x-1)，人 一1由3x+1 =0 ,解得x = ，3(x -4)( x -3) (x 5)(x -1)學習必備歡迎下載一 1、一 .經(jīng)檢驗：x = - , x=7是原方程的根. 3【總結(jié)升華】 若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘(x 4)(x3)(x5)(x 1),去分母后的整式方分母，可以采用先把方程的左右兩邊程的解很難求出來.注意方程左右兩邊的分式的分子、 分別通分的方法來解.舉一反三:、“、土1111【變式】解方程=x 4 x 7 x 5 x 6【答案】 解：移項得兩邊同時

7、通分得(x+5)(x+4) (x+7)(x+6)(x 4)(x 5) (x 6)( x 7)11即1=1,(x 4)( x 5) (x 6)(x 7)因為兩個分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等.所以(x +4)(x +5) =(x+6)(x +7),x2 +9x+20 =x2 +13x+42,x2 +9x+20-x2 -13x -42 =0 ,Yx-22=0,11x = .211檢驗：當 x = -3 時(x+4)(x+5)(x + 6)(x+7)0.11、x =-是原方程的根.2類型三、分式方程的增根【高清課堂分式方程的解法及應用例3】C3、(1)若分式方程 二一+一牛=_有增根，求m

8、值；x -2 x -4 x 2k-11k-5(2)若分式方程1 有增根x = -1 ,求k的值.x -1 x -x x -x【思路點撥】(1)若分式方程產(chǎn)生增根，則 (x2)(x+2) =0 ,即x = 2或x = 2,然后把x =工2代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出m的值.(2)將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后，把x = -1代入解出k的值.【答案與解析】學習必備歡迎下載解：(1)方程兩邊同乘(x+2)(x2),得 2(x + 2)+mx = 3(x2).(m _1)x = _10 .10x 二1 -m由題意知增根為 乂=2或乂 = -2,10.10 c-=2 或=-2 .1 - m1 -mm

9、= -4或 m=6.(2)方程兩邊同乘 x(x+1)(x-1),得(k1)x(x+1)=(k5)(x + 1).3x = k4.k -4 x =.3增根為x = 1 ,k -4 d=1.3k =1 .【總結(jié)升華】（1）在方程變形中，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根.在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；（2）這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值.舉一反三：【變式】已知關于 x的方程3+21ax = _1無解，求a的值. x - 33 - x解：方程兩邊同乘（x-3）約去分母,得(32x)(2+ax)=(x3),即(a+1

10、)x = 2.x3 = 0,即x =3時原方程無解,.一 一5 (a+1*3 = 2，.- a = 5 .3: 當a+1=0時，整式方程（a+1）x = 2無解,當a=-1時，原方程無解.5綜上所述，當a = -或a = T時，原萬程無解.3類型四、分式方程的應用【高清課堂分式方程的解法及應用例3】 4、某市在道路改造過程中，需要鋪設一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個工程隊來完成這一工程.已知甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設20米，且甲工程隊鋪設350米所用的天數(shù)與乙工程隊鋪設250米所用的天數(shù)相同.學習必備歡迎下載（1） 甲、乙工程隊每天各能鋪設多少米？（2） 如果要求完成該項工程的工

11、期不超過10天，那么為兩工程隊分配工程量 （以百米為單位）的方案有幾種？請你幫助設計出來.【思路點撥】（1）題中的等量關系是甲工程隊鋪設350米所用的天數(shù)與乙工程隊鋪設250米所用的天數(shù)相同.（2）由工期不超過10天列出不等式組求出范圍.【答案與解析】解：（1）設甲工程隊每天能鋪設 X米，則乙工程隊每天能鋪設 （X-20）米.一 350250 一根據(jù)題意，得350 =上50 .解得x =70 .xx -20經(jīng)檢驗，x =70是原分式方程的解且符合題意.故甲、乙兩工程隊每天分別能鋪設70米和50米.（2）設分配給甲工程隊 y米，則分配給乙工程隊（1000y）米.-10,由題意，得70解得500W

12、 y 0 且 mw3B. mv6 且 mw3C. m 6二.填空題2 17 .當m =時，方程一一一=3的解為1.m x8 .已知分式方程 上 =2+a有增根，則a的值為x -4x-49 .關于x的方程更二4x =b+3的解為.210 . 一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它在江水中航行時，江水的流速為v千米/時，則它以最大航速順流航行s千米所需的時間是 11 .某人上山，下山的路程都是 s ,上山速度V1 ,下山速度v2,則這個人上山和下山的平均速度是.12 .若一個分數(shù)的分子、分母同時加 1,得工；若分子、分母同時減 2,則得-,這個分數(shù)23是.解答題學習必備歡迎下載 x m13

13、.已知關于x的方程 _2 = 有一個正數(shù)解，求 m的取值范圍.x-3 x-314 .甲工人工作效率是乙工人工作效率的2倍，他們同時加工1500個零件，甲比乙提前18個小時完工，問他們每人每小時各加工多少個零件？15 .從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度每小時 快45千米，由高速公路從甲地到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的 一半.求該客車由普通公路從甲地到乙地的平均速度.【答案與解析】一.選擇題1 .【答案】C;【解析】分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母

14、中含有未知數(shù).2 .【答案】B;1【解析】原式化間為10x+10a =-8ax+8a ,將乂=一代入解得a = 5.53 .【答案】D;1.11 a -1斛析c =, b =, c =.1 -b 1 -a 1 1 a1 -a4 .【答案】B【解析】將x = 1代入m 1 一 x = 0,解得m = 2 .5 .【答案】A;坐所以R1R2RR2RR2R2 -R6 .【答案】B【解析】原方程化簡為x 2(x-3)= m ,x = 6 m, x0且x=3,解得 m 6二.填空題17 .【答案】1 ；22 1-1【斛析】將x = 1代入一一 一=3,解得m =.m x28 .【答案】4;【解析】原式化

15、簡得 x = 2(x4)+a,將x=4代入，解得a = 4.9.【答案】x二a-6學習必備歡迎下載 、一一一a-2b 一6【解析】原方程化簡為 a-2b-6 = 4x,所以x = a410.【答案】s20 v11.【答案】2 v1v2v1 v2【解析】由題意上山和下山的平均速度為:2s2v1v2 v1 v2v1 v2所以這個512.【答案】三；11【解析】設這個分數(shù)為 a ,亙二匚=-b b 1 25分數(shù)是-.11三.解答題13 .【解析】a 一2 1a_2 = 1 ,解之得：a =5, b = 11,b-2 3解：方程兩邊同乘（x-3）約去分母,得 x2(x3)=m.整理，得 x=6 m.m 0,x-3:0,6 - m 0, 6-m-3 = 0.解得m 6且m # 3,當m 6且m#3時，原方程有一個正數(shù)解.14 .【解析】解：設乙工人每小時加工 x個零件，甲工人每小時