概率與統(tǒng)計總結(jié)與公式

1、第一章隨機事件和概率（1）排列組合 公式從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘 法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mx n種方法來完成。（3） 一些常見 排列重復排列和非重復排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機試驗 和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，

2、而每次試驗的可能結(jié)果不止一個， 但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（5）基本事件、 樣本空間和事 件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件， 它們是的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為

3、零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為1 ,而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)關(guān)系：1 / 22系與運算如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：如果同時有,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B： A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者： 它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB,或者ABo AB=?,則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件 A與事件B互 不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱

4、 A的對立事件，記為 。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對立。Z運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C AU (BU C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C)n (BU C) (A U B) n C=(AC) U (BC)德摩根率：，(7)概率的公 理化定義設為樣本空間，為事件，對每一個事件 都有一個實數(shù)P(A),若滿足下列三個條件：1 ° 0 < P(A), < 12° P( Q ) =13°對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件的概率。(8)古典概型1° ,2° o設任一事

5、件，它是由 組成的，則有p(A)=(9)幾何概型若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A,o其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。(10)加法公式p(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)2 / 22當 P(AB)=0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當 B A 時，P(A-B)=P(A)-P(B)當 A=Q 時，P( )=1- P(B)(12)條件概率定義設A、B是兩個事件，且P(A)>0 ,則稱為事件A發(fā)生條件下，事

6、件 B發(fā)生的條件概率， 記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(Q/B)=1 P( /A)=1 -P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：更一般地，對事件 A1, A2, -An,若P(A1A2An-1)>0 ,則有O(14)獨立性D兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到 與、與、與 也都相互獨立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。Z多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，p(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(

7、CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概公式設事件滿足1。兩兩互不相容，2° ,3 / 22則有O(16)貝葉斯公 式設事件，及滿足1 ° ,，兩兩互不相容， >0 , 1 , 2,，2；，則,i=1 , 2, no此公式即為貝葉斯公式。),通常叫先驗概率。 ，(，)，通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反塊了因果”的概率規(guī)律，并作出了 由果朔因”的推斷。(17)伯努利概型我們作了次試驗，且滿足u每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或 不發(fā)生；u次試驗是重復進行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u每

8、次試驗是獨立的，即每次試驗 發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為 重伯努利試驗。用表示每次試驗 發(fā)生的概率，則 發(fā)生的概率為，用 表示 重伯努利試驗中 出現(xiàn) 次的概率，,。第二章隨機變量及其分布(1)離散型隨 卜變量的分布 聿殳離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為p(X=xk)=pk , k=1,2,期稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：D顯然分布律應滿足下列條件：(1)，。(2)連續(xù)型隨 卜變量的分布 密度殳是隨機變量 的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù) ，對任意實數(shù)，有期稱為連

9、續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。4 / 22蓄度函數(shù)具有下面1 ° o2 o4個性質(zhì)：(3)離散與連 ，型隨機變量 的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類以。(4)分布函數(shù)殳為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)除為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間 的概率。分布函數(shù) 表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-8, x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°；20是單調(diào)不減的函數(shù)，即 時，有；3° o ；4。，即是右連續(xù)的；-0 5 o對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量，。(5)八大分布0-

10、1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在 重貝努里試驗中，設事件 發(fā)生的概率為。事件 發(fā)生的次數(shù)是隨機變量， 設為，則可能取值為。,其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為 。當時，這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項分布的特例。，白松分布設隨機變量的分布律為，則稱隨機變量 服從參數(shù)為的泊松分布，記為 或者P()。5 / 22泊松分布為二項分布的極限分布(np=入，n-8)。道幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為 H(n,N,M)。幾何分布,其中 p>>0, q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p) o均勻分布設隨

11、機變量 的值只落在a, b內(nèi)，其密度函數(shù) 在a, b上為常數(shù),即a< x<b其他，則稱隨機變量 在a, b上服從均勻分布，記為 XU(a , b)。分布函數(shù)為a< x<b0,x<a ,1,x>b 。當a&xi<x20b時，X落在區(qū)間()內(nèi)的概率為O卜旨數(shù)分布,0,6 / 22其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 ,x<0。記住積分公式：正態(tài)分布設隨機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss） 分布，記為。具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對稱的；2°當時，

12、為最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為， ，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。7 / 22=1-(x)M(0)=。如果 ，則。(6)分位數(shù)5分位表：；上分位表：。(7)函數(shù)分布離散型已知的分布列為的分布列(互不相等)如下：若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。由續(xù)型先利用X的概率密度fx(x)寫出丫的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) < y)再利用變 上下限積分的求導公式求出fY(y)。第三章二維隨機變量及其分布(1)聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量(X, Y)的所有可能取值為至多可列個有序?qū)?x,y),則稱

13、為離散型隨機量。設=(X, Y)的所有可能取值為，且事件 = 的概率為pj,稱為=(X, Y)的分布律或稱為 X和丫的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時 也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2yjX1P11P12p1jX2P21P22p2jxiPi1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：(1)Pij>0 (i,j=1,2,):8 / 22(2)連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù) ，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|a<x<b,cvyvd 有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱 f(x,y)為=(X, Y)的分布密度或稱 為X和丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具

14、有下面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y) >0;(2)(2)二維隨機 卜量的本質(zhì)(3)聯(lián)合分布 函數(shù)設(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1)(2) F (x,y)分別對x和y是非減的，即當 x2>x i 時，有 F (x2,y)> F(x,y);當 y2>y 1 時，有 F(x,y2)> F(xiy；(3) F (x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即(4)(5)對

15、于.(4)離散型與 (續(xù)型的關(guān)系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為丫的邊緣分布為9 / 22。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為(6)條件分布離散型在已知X=xi的條件下，丫取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為在已知X=x的條件下，丫的條件分布密度為(7)獨立性一般型F(X,Y)=F X(x)F Y(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形J維正態(tài)分布=0遁機變量的函數(shù)若Xi,X2，)m,Xm+i,后相互獨立,h,g為連續(xù)函數(shù),則：h(Xi, X

16、2,)m)和 g (Xm+1,)n)相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。(8)二維均勻t隨機向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為10 / 22分布U (D)其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱（X, Y）服從D上的均勻分布，記為（X, Y例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1DiO 1 x身3.1yD211身3.2yD3d11 / 22O ab x3 3.3(9)二維正態(tài) 卜布設隨機向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為其中 是5個參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X, Y)N (“邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩

17、個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN (但是若XN ( , (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分 卜Z=X+Y根據(jù)定義計算：對于連續(xù)型，fz(z) =兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布()。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。Z=max,min(X i,X2,Xn)若 相互獨立，其分布函數(shù)分別為,則Z=max,min(X i,X2,X)的分布函數(shù)為：分布設n個隨機變量 相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的 平方和的分布密度為我們稱隨機變量 W服從自由度為n的分布，記為 W,其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一12 / 22個重要參數(shù)。分布滿

18、足可加性：設則:分布設X, 丫是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設，且X與丫獨立，可以證明 的概率密度函數(shù)為我們稱隨機變量F服從第一個自由度為 n1，第二個自由度為n2的F 分布，記為Ff(n 1, n2).第四章 隨機變量的數(shù)字特征(1) 一隹隨機變 量的數(shù)字 恃征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P()= pk, k=1,2,n ,(要求絕對收斂)設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(x)Y=g(X)方差13 / 22D(X)=EX-E(X)

19、2,標準差矩對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的k次 幕的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為 Vk,即vE(Xk)= , k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X與E(X) 差的k次嘉的數(shù)學期望為 X的k階中心 矩，記為，即=,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的k次募 的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為Vk, 即=E(X k)=k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X與E(X) 差的k次嘉的數(shù)學期望為 X的k階中心矩， 記為，即k=1,2,切比雪夫不等式設隨機變量X具有數(shù)學期望E (X) =v，方差D (X) = b2,則對于任意正數(shù) £, 有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知 X的分

20、布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。(2)期 ”的性質(zhì)(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y),(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分條件：X 和丫 獨立；充要條件：X和丫不相關(guān)。方差的性質(zhì)(1) D(C)=0 ; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X 2)-E2(X)14 / 22(5)D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X 和丫獨立；充要條件：X和丫不相關(guān)。D(X

21、±Y)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常 (分布的 ，望和方 羞期望方差0-1分布P二頊分布一np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)二隹隨機變 量的數(shù)字 恃征期望函數(shù)的期望=方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩 為X與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記 為,即與記號相對應，X與丫的方差D (X)與D (Y)也可分別記為 與。相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,則稱15 / 22為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作(有

22、時可簡記為)。| | <,1當| |=1時，稱X與丫完全相關(guān)：完全相關(guān)而當時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y,如果有 存在，則稱之為X與丫的k+l階混合原點矩，記為； k+l階混合中心矩記為：(6)協(xié) 方差的性 質(zhì)(i) cov (X, 丫尸cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X i+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y)；(iv)cov(

23、X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨 工和不相 關(guān)(i) 若隨機變量X與丫相互獨立，則；反之不真。(ii) 若(X, Y) -N (),則X與丫相互獨立的充要條件是 X和丫不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律“比雪夫(數(shù)定律設隨機變量Xi,X2,相互獨立，均具有有限方差，D (Xi) <C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)j有且被同一常數(shù)C所界：特殊情形：若X1, X2,具有相同的數(shù)學期望E (Xi) =g ,則上式成為16 / 22白努利大 "定律設v是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生 的概率，則對于任意的正數(shù)£,有伯

24、努利大數(shù)定律說明，當試驗次數(shù) n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概 率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。日欽大數(shù) "律設Xi, X2,，Xn,是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E (Xn) =g,則對于任意的正數(shù) £有(2)中心極限定理R維-林 惠伯格定 f設隨機變量Xi, X2,相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望 和方差：，則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)X,有此定理也稱為 獨立同分布 的中心極限定理。1莫弗一 立普拉斯 "理設隨機變量為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有(3)

25、二項定理若當，貝U口幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理若當，貝U其中k=0 , 1, 2,，n,。1項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理統(tǒng)計 的基本概念總體g數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個(或多個)指標的全體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量(或隨機向量)。17 / 22個體總體中的每一個單元稱為樣品(或個體)。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立，勺且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，表示n

26、個隨機變量(樣本)；在具體的一次抽取之后， 表示n個具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設為總體的一個樣本，稱()為樣本函數(shù)，其中 為一個連續(xù)函數(shù)。如果 中不包含任何未知參數(shù)，則稱 ()為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其 生質(zhì)樣本均值羊本方差“本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩， ，,其中，為二階中心矩。(2)正態(tài)總體 卜的四大分布正態(tài)分布設 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本函數(shù):分布設 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布設 為來自正態(tài)總體 的一

27、個樣本，而 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，則樣18 / 22本函數(shù)(中表示第一自由度為 ，第二自由度為 的F分布。(3)正態(tài)總體 ,分布的性質(zhì)與獨立。第七章參數(shù)估計(1)點估 計也估計殳總體X的分布中包含有未知數(shù) ，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點矩 中也包含了未知參數(shù) ，即。又設 為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為文樣，我們按照 當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方卜呈，即有由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù) 即為參數(shù)()的矩估計量。譽為的矩估計， 為連續(xù)函數(shù)，則 為的矩估計。極大似然估 計當總體X為連續(xù)型隨機變量時，設其分布密度為，其中 為未知參數(shù)。又設

28、為總本的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為 Ln.當總體X為離型隨機變量時，設其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) 在處取到最大值，則稱 分別為的最大似然估計值，相應的統(tǒng)計 量稱為最大似然估計量。譽為的極大似然估計，為單調(diào)函數(shù)，則 為的極大似然估計。19 / 22(2)估計M的評選 |示準無偏性殳 為未知參數(shù) 的估計量。若E ()=，則稱為 的無偏估計量。E ( ) =E (X) , E (S2) =D (X)有效性殳和是未知參數(shù) 的兩個無偏估計量。若 ，則稱有效。一致性殳 是 的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有川稱為的一致估計量(或相合估計量)。譽為的無偏估計，且則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應總體的一致 1古計量。(3)區(qū)間住計置信區(qū)間和 置信度殳總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量與， 更得區(qū)間 以的概率包含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間 為的置信區(qū)間， 為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)總體 的期望和方 差的區(qū)間估 計殳為總體的一個樣本，在置信度為 下，我們來確定 的置信區(qū)間。具體步驟如 r：(i)選擇樣本函數(shù)；(ii)由置信度，查表找分位數(shù)；(iii)導出置信區(qū)間。已知方差，估計均值(i)選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)(i