勾股定理難題+提高

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載評(píng)卷人得分1 .下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4, 5, 6 B . 3, 4, 5 C . 2, 3, 4 D . 1, 2, 32 .給出下列命題：在直角三角形ABC中，已知兩邊長(zhǎng)為 3和4,則第三邊長(zhǎng)為5;22,2三角形的三邊 a、b、c滿足a +c =b ,則/ C=90° ;ABC中，若/ A: / B： /C=1: 5: 6,則 ABC是直角三角形；ABC中，若a： b: c=1: 2: J3 ,則這個(gè)三角形是直角三角形.其中，假命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1個(gè) B . 2個(gè)C .3個(gè) D .4個(gè)3 .如圖，如果把 ABC勺頂點(diǎn)A先向下平移3格

2、，再向左平移1格到達(dá)A'點(diǎn)，連接A B, 則線段A' B與線段AC的關(guān)系是（）如果三角形三個(gè)內(nèi)角的比是1 ： 2 ： 3,那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角，則這么三角形是直角三角形；若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果/ A=Z B=1/C,那么 ABC是直角三角形；2若三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，那么這個(gè)三角形是直角三角形；在: ABC中，若/ A+ / B=Z C,則此三角形是直角三角形。A 3個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè)5 .如圖， ABC中,AB=AC=5,BC=6 M為

3、BC的中點(diǎn)，MNL AC于 N點(diǎn)，貝U MN=（）A.9 C , 12 D . 166 .下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A. 14, 36, 39B. 8, 24, 25C. 8, 15, 17D. 10, 20, 26學(xué)習(xí)必備歡迎下載7. （2013貴州安順）如圖，有兩棵樹，一棵高 10米，另一棵高4米，兩機(jī)目距8米, 一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行（）A. .3 BA. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米8.如圖，四邊形 ABCD43, AB=AD AD/ BC /ABC=60 , / BCD=30 , BC=6,那么 ACD名C . 2召D .沔學(xué)習(xí)

4、必備歡迎下載第II卷(非選擇題) 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明(1)如圖，過點(diǎn)A在 ABC外作直線 MN BML MN于M, CNL MNT N.判斷線段 MNBM CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明;若AM=a , BM=d , AB=c，試?yán)脠D驗(yàn)證勾股定理 a2 +b2 = c2 ;(2)如圖，過點(diǎn) A在4ABC內(nèi)作直線 MN BM MN于M, CNL MN于N,判斷線段 MNBM CN之間有何數(shù)量關(guān)系？(直接寫出答案)10 . (6分)小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作：操作一：如圖1,將Rt ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合，折痕為DE(1)如果AC= 6cm,

5、BC= 8cm,可求得 ACD勺周長(zhǎng)為;(2)如果/ CAD:/ BAD=4:7,可求得/ B的度數(shù)為 ;操作二：如圖2,小王拿出另一張 RtABC紙片，將直角邊 AC沿直線AD折疊， 使它落在斜邊 AB上，且與 AE重合，若 AC= 9cm, BC= 12cm,請(qǐng)求出 CD的長(zhǎng).11 .如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC= 5cm, BC= 12cm,現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它恰女?落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng).學(xué)習(xí)必備歡迎下載12 .如圖，學(xué)校 B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走AB, BC兩條路可到達(dá)公路,經(jīng)測(cè)量 BC= 6km, BA= 8km, AC=

6、 10km,現(xiàn)需修建一條路使學(xué)校到公路距離最短，請(qǐng)你幫助學(xué)校設(shè)計(jì)一種方案，并求出所修路的長(zhǎng).13 .如圖，4ABC中，/ACB= 90°, AC= 9, BC= 12,求 RtAABC中斜邊 AB上的高 CD.114 .閱讀理解題： 如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，且 ADBC.2求證：/ BAC=90 .C學(xué)習(xí)必備歡迎下載15 .如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形(兩直角邊長(zhǎng)分別是 a、b,斜邊長(zhǎng)為c)和一個(gè)正方形(邊長(zhǎng)為c).請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能驗(yàn)證勾股定理的圖形.K（I(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)用(1)中畫出的圖形驗(yàn)證勾股定理.16 .課間，小明拿

7、著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖.(1)求證： AD隼 CEEB(2)從三角板的刻度可知AC=25crm請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊醇的厚度相等).AC E17 . （10 分）如圖，在 ABC 中，AB= 13, BC= 10, BC 邊上的中線 AD= 12. AB D C(1) AD平分/ BAC嗎？請(qǐng)說明理由.(2)求： ABC的面積.評(píng)卷人得分18 .直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3厘米、4厘米，則第三邊的長(zhǎng)為 。19 .一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9和40,則第三邊長(zhǎng)的平方是 .20 .若一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別為m、n,且滿足Jm-3+|n-4 =0,則第

8、三邊的長(zhǎng)為.21 .已知x6+|y 8+(z10)2 =0，則由此x,y,z為三邊的三角形是 三角形22 . ABC的三邊長(zhǎng)分別為 m21, 2m, m2+ 1,則最大角為 .23 .在長(zhǎng)方形紙片 ABCM, AD= 3cm, AB= 9cm,按如圖方式折疊， 使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合， 折痕為EF,則DE=.學(xué)習(xí)必備歡迎下載24 .如圖，在 RtABC中，/ ABC是直角，AB=3 BC=4 P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) BP=x, 若能在AC邊上找到一點(diǎn) Q使/ BQP=90 ,則x的取值范圍是 .25 .如圖，OP= 1,過 P 作 PPiOP且 PPi= 1,得 OP = J2 ；再過 Pi 作 P

9、iP2,OPi 且PlP2= i ,得OP2 = J3 ；又過P2作P2P3, OP2且P2P3= i ,得OP3= 2依此法繼續(xù)作下 去,得 OP20i2 =.五、計(jì)算題學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案1 . B.【解析】試題分析：A. 42+52*6 2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B. 32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；C. 22+32W4 2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D. 12+22W3 2,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意.故選B.考點(diǎn)：勾股數(shù).2. B【解析】試題分析：命題中若 4是直角邊，則第三邊長(zhǎng)為5,若4為斜邊，則第三邊長(zhǎng)為 J7 ,故錯(cuò)誤；命題中應(yīng)該是

10、/ B=90。，故錯(cuò)誤；命題、土正確；故假命題有2個(gè)；故選B.考點(diǎn)：真命題與假命題.3. D【解析】試題分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再利用勾月定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷線段A' B與線段AC的關(guān)系：如圖，將點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A'點(diǎn)，連接A B,與線段AC交于點(diǎn) O.: A O=OB<2 , AO=OC=22 ,.線段A' B與線段AC互相平分，又. / AOA =45° +45° =90° ,. .A B± AC.線段A' B與線段AC互相垂直平分.故選D.考點(diǎn)：1.網(wǎng)格問題；2.平移的性質(zhì)；3.勾股

11、定理.4. D.【解析】試題分析：二.三角形三個(gè)內(nèi)角的比是1: 2: 3,，設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為x, 2x, 3x,. x+2x+3x=180° ,解得 x=30° ,.-3x=3X30° =90° ,學(xué)習(xí)必備歡迎下載.此三角形是直角三角形，故本小題正確；三角形的一個(gè)外角與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角的和是180° ,，若三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的一個(gè)內(nèi)角，則此三角形是直角三角形， 故本小題正確； 直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確；，1 ，一. /

12、 A=Z B=/ C, 2，設(shè)/ A=Z B=x,則/ C=2x,，x+x+2x=180 ,解得 x=45 , .2x=2X45° =90° ,，此三角形是直角三角形，故本小題正確；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之差，三角形一個(gè)內(nèi)角也等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，有一個(gè)內(nèi)角一定是 90° ,故這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，又一個(gè)內(nèi)角也等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，由此可知這個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的

13、，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)， ，有一個(gè)內(nèi)角一定是 90° ,故這個(gè)三角形是直角三角形，故本小題正確.故選D.考點(diǎn)：1.三角形內(nèi)角和定理；2.三角形的外角性質(zhì).5. C.【解析】試題分析：連接 AM. AB=AC點(diǎn)M為BC中點(diǎn)， .AM!CM BM=CM AB=AC=5 BC=qBM=CM=3在 RtAABM, AB=5, BM=3 根據(jù)勾股定理得： AM=/ ab2 -BM 2 = <52 -33 = 4,八 1 一1 八八 又 S；Aamc= MN?AC= AM?MC 22MN=AM ?CM12AC故選C.考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì).學(xué)習(xí)必備歡迎下載6. C【解

14、析】滿足 a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù) a, b, c是勾股數(shù)，因?yàn)?82+152 = 289, 172=289, 所以82+ 152= 172,即8、15、17為勾股數(shù).同理可判斷其余三組數(shù)均不是勾股數(shù).7. B【解析】如圖，設(shè)大樹高為AB=10米，小樹高為 CA 4米，過C點(diǎn)作CH AB于E,則四邊形 EBDC 是矩形.連接 AC,貝 U EB= CD= 4 米，EC= 8 米，AE= AB-EB= 10-4= 6 （米）.D 作 DF± BC于 F.B8. A.【解析】試題分析：如圖，過點(diǎn) A作AE! BC于E,過點(diǎn)工 D在 RtAEC 中，AC 二 Jae2 ec2 =10

15、米.ER E設(shè) AB=AD=x又 AD/ BC四邊形AEFD是矩形形，AD=EF=x在 RtABE中，/ABC=60 ,則/ BAE=30 ,1 1BE=-AB=-x,2 2DF=AE7；'AB2 - be2 = x, 2在 RtCDF中，/ FCD=30 ,貝U CF=DF?cot30 = -x.2又 BC=6,BE+EF+CF=6 即 1x+x+ 3x=6, 22解得x=2.ACD的面積是：1 AD?DF=1xX x= X22=/3 . 2224故選A.考點(diǎn)：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.9. （1）證明見解析；（2） MN=BM-CN.學(xué)習(xí)必備歡迎下載【解析】試題分析：

16、（1）利用已知得出/ MAB= ACN進(jìn)而彳#出 MA里ANCA進(jìn)而彳#出 BM=AN AM=CN即可得出線段MN BM CN之間的數(shù)量關(guān)系；利用 S 梯形 mbc=Samab+Saabc+Sanc/= ab+ c2+ ab, S 梯形mbc= (BM+CN x MN (a+b) 2,進(jìn)而得出答案;(2)利用已知得出/ MAB= ACN進(jìn)而彳#出 MA望 NCA進(jìn)而得出 BM=AN AM=CN即可 得出線段MN BM CN之間的數(shù)量關(guān)系.試題解析：(1)MN=BM+CN理由： / MAB它 NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , ./ MABh ACN 在 MAB NCA 中.BM

17、A = . ANC INMAB =/NCA ,AB = AC.MA軍 NCA ( AAS ,BM=AN AM=CN MN=AM+AN=BM+CN由知 MA望 NCACN=AM=a AN=BM=b AC=BC=c MN=a+b1 .1 2. 111 . 2. S 梯形 mbc = Sa mab+Sx abc+Sa nc= ab+ c + ab, S 梯形 mbc=一(BM+CN x MN=- (a+b),1 ab+1 c2+1 ab=1 (a+b) 2,2 2222. - a +b2=c2；(2) MN=BM-CN理由： / MAB它 NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , ./ M

18、ABh ACN在 MAB NCA 中BMA=/ANC</MAB =/NCA ,AB = AC. MA軍 NCA（AAS ,BM=AN AM=CNMN=AN-AM=BM-C N考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).10.操作一（1） 14cm（2） 35 ° 操作二 CD=4 . 5【解析】試題分析：操作一利用又稱找準(zhǔn)相等的量：BD=AD /BADh B,然后分別利用周長(zhǎng)及三角形的內(nèi)角和可求得答案；操作二利用折疊找著 AC=AE利用勾股定理列式求出AB,設(shè)CD=x,表示出BD, AE,在Rt學(xué)習(xí)必備歡迎下載 BDE中，利用勾股定理可得答案試題解析：操作一(1) 14cm(2) 35 &#

19、176;操作二 由折疊知：AE=AC=9 DEI AB,設(shè) CD=DE=X 則 BD=12-X, AB2 = AC2BC2 =81 + 144=225, . AB=15 BE=15-9=6,又 BD2 = DP + BE2,22. .(12 x) =x +36,即 CD=4 5cm考點(diǎn)：軸對(duì)稱，線段的垂直平分線1011. CD的長(zhǎng)為3 cm.【解析】試題分析：利用翻折變換的性質(zhì)得出DE=CD得出x的值.試題解析：有一塊直角三角形紙片兩直角邊AB=13cm將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊DE=CD AC=AE=5cm / DEB=90 ,設(shè) CD=xcm 貝U BD= (12 x) cm

20、,故 D+BE2=BC5,即 x2+ (13- 5) 2= (12- x) 2,解得：x=10 , 3 10則CD的長(zhǎng)為cm.3考點(diǎn)：勾股定理AC=AE=5cm / DEB=90 ,進(jìn)而利用勾股定理AC=5cm BC=12cmAB上，且與AE重合,12. 4.8km.線段BD就是要修的路.【解析】解：過 B作AC的垂線，垂足為 D,在 ABC中，. AB2+BC2= 82+ 62= 100,而 AC2= 102= 100,.AB2+BC2=AC2,即 ABC是直角三角形，且/ ABC= 90°.由1 AbLBC =ACl_BD ,22得 BD=ABC=6=4.8(小), AC 10即

21、所修路長(zhǎng)為4.8km .學(xué)習(xí)必備歡迎下載13.36【解析】解：在 RtABC中，AB = VACT+BC2 =792+122 = 15.1=abLcd ,2, 1.由三角形的面積公式得 -AC BC2ACL.BC 9 12 36CD =-= ，AB 155即斜邊AB上的高CD是36.514. ( 1)如果一個(gè)三角形的一邊上的中線的長(zhǎng)等于這條邊長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)三角形是直1 -角二角形.(2) J3。2【解析】試題分析：根據(jù)題目的已知條件和結(jié)論寫出判斷方法即可.試題解析：(1)如果一個(gè)三角形的一邊上的中線的長(zhǎng)等于這條邊長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)三角 形是直角三角形。(2)因?yàn)檫@個(gè)三角形的一條邊上的中線長(zhǎng)

22、是這條邊長(zhǎng)的一半，所以這個(gè)三角形是直角三角 形。設(shè)這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a、b,則a+b=1 + J3根據(jù)勾股定理，得a2+b2=22a2+b2=4因?yàn)椋╝+b） 2= a 2+b2+2ab即（1 + 百）2=4+2ab 所以ab = 31ab =17322所以這個(gè)三角形的面積為1、32考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線.15. (1)(答案不唯一)如圖.學(xué)習(xí)必備歡迎下載2(2)驗(yàn)證：二,大正萬形的面積可表本為(a+b),21又大正方形的面積也可表不為c+4父一ab ,222.1.-1 (a +b) =c +4 x-ab ,2即 a2+b2+2ab= c2 + 2ab.a2+ b2=

23、c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.【解析】(1)(答案不唯一)如圖.(2)驗(yàn)證：,大正方形的面積可表示為(a+b)2,1又大正方形的面積也可表本為c +4區(qū)一ab,2221(a +b) =c +4 父一ab ,2即 a2+ b2+ 2ab= c2 + 2ab.a2+ b2= c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.16. (1)證明見解析；(2)砌墻磚塊的厚度 a為5cm【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意可知 AC=BC /ACB=90 , AD)± DE, B已DE,進(jìn)而彳#到/ ADCWCEB=90 ,再根據(jù)等角的余角相等可得/BCE=/ DAC從而得到結(jié)

24、論；(2)根據(jù)題意得：AD=4a, BE=3a,根據(jù)全等可得 DC=BE=3a由勾股定理可得(4a) 2+(3a) 2=252,再解即可.試題解析：(1)根據(jù)題意得：AC=BC /ACB=90 , AD! DE, BEX DE / ADCh CEB=90 , / ACD吆 BCE=90 , / ACD廿 DAC=90 , ./ BCE=/ DAC在 AD的 CEB中，ADC CEB，/DAC =/BCE ,AC =BC學(xué)習(xí)必備歡迎下載.AD竽 CEB ( AAS ;(2)由題意得：AD=4q BE=3a,由(1)得： ADe ACEBDC=BE=3a在 RtAACD: AD+CD2=AC,(

25、4a) 2+ (3a) 2=252, a>0,解得a=5,答：砌墻磚塊的厚度 a為5cm.考點(diǎn)1.:全等三角形的應(yīng)用 2.勾股定理的應(yīng)用.17. (1)平分，理由詳見解析；(2) 60【解析】試題分析：(1) AD平分/ BAC理由為：.BC邊上的中線ADBD=5 .在 ABC中,AB=13, AD=12, BD=5 . 252=242+72,即：AB=AE2+BD/ ADB=90 ,即 AD± BC,AD垂直平分BCAB=AC AD平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BCBC AD. Sa abc=2=60.考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形面積的計(jì)算方法18

26、. 5cm 或萬 cm.【解析】試題分析：題中沒有指明哪個(gè)是直角邊哪個(gè)是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析.試題解析：(1)當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為5cm；(2)當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為J7cm；故直角三角形的第三邊應(yīng)該為5cm或J7 cm.考點(diǎn)：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】設(shè)第三邊為 x(1)若40是直角邊，則第三邊 x是斜邊，由勾股定理，得：92+402=x2,所以x2=1681.(2)若40是斜邊，則第三邊 x為直角邊，由勾股定理，得：92+x2=402,所以x2=1519.所以第三邊的長(zhǎng)為 1681或1519.20. 5或6.學(xué)習(xí)必備歡迎下載【解析】試題分析：Jm -3 + n - 4 = 0 ,m- 3=0, n - 4=0, . . m=3 n=4,即這個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4.當(dāng)4是此直角三角形的斜邊