三角形角平分線、中線、高線證明題

1、實(shí)用文檔性質(zhì)1、全等三角形的 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相 等。2、全等三角形的 對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。3、全等三角形的 對(duì)應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的2.證題的思路:找夾角（SAS）已知兩邊找直角（HL）找第三邊（SSS若邊為角的對(duì)邊，則找任意角（AAS）, 斗 行找已知角的另一邊（SAS已知一邊一角邊為角的鄰邊找已知邊的對(duì)角（AAS找夾已知邊的另一角（ASA1,加行 找兩角的夾邊 ASA已知兩角山，'工 找任意一邊（AAS）對(duì)應(yīng)中線相等。5、全等三角形面積相等。6、全等三角形周長(zhǎng)相等。（以上可以簡(jiǎn)稱：全等三角形的對(duì)應(yīng)元素相等）7、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）8、兩邊和它們的

2、夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）9、兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ASA）10、兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）11、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（HL）全等三角形問(wèn)題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解 題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”.2）遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu) 造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線， 利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”

3、，所考知識(shí)點(diǎn)常標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線， 構(gòu)造全等三角形，利用的思維 模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定 線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用 三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明. 這種作法，適合于證明線段的 和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角 形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答.三角形輔助線做法也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)角平分線加垂線，三線合一試要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可三角形中有中線，延長(zhǎng)

4、中線等AB D C圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。中線。一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等 例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5 , AC=3 ,則中 線AD的取值范圍是.DEXDF, D 盤中例2、如圖，zABC中，E、F分別在AB、AC上, 點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔3、如圖，zABC中,BD=DC=AC , EM DC的中點(diǎn)，求證:AD平分/BAE.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BAC ,且 AD=BD ,

5、求證：CD，AC03、如圖，已知在VABC內(nèi)， BAC 60 , C CA上，并且AP, BQ分別是 BAC , 求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形 ABCD中，BC>BA,AD=CD, BD平分 ABC,標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔求證： A C 18005、如圖在4ABC中，AB>AC, /1=/2, P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC >PB-PC三、借助角平分線造全等1、如圖，已知在4ABC中，/B=60 相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD,ABC的角平分線AD,CE a2、如圖，4ABC中，AD平分/BAC, DGLBC且平分BC, DEXAB 于 E, DFXAC 于

6、 F.（1）說(shuō)明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= a, AC= b,求 AE、BE的長(zhǎng).三、解答題：（共55分）10 .如圖，至BC中,/C=90 ,AB=2AC,M 是AB的中點(diǎn)點(diǎn) N 在BC標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔上,MN ±AB.求證:AN平分/BAC.（7分）11 .已知：如圖 AC、BD 相交于點(diǎn) O,AC=BD, /C= /D=90。，求 證:OC=OD.（8 分）12 .已知：如圖，AB=AE,BC=ED, ZB= ZE,AF± CD,F 為垂足，求 證:CF=DF.（8 分）13 .在BC中,BD、CE是高,BD 與 CE交于點(diǎn)。，且 BE=CD,求 證:A

7、E=AD.（8 分）14 .已知如圖,AB=AC, /BAC=90 ,AE是過(guò) A點(diǎn)的一條直線，且B、C在 DE 的異側(cè),BD ±AE 于 D,CE±AE 于 E,求證:BD=DE+CE.（8 分）標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔15 .已知如圖，在AABC中,/BAC=2 /B,AB=2AC,求證:2BC是直角三 角形？（ 8分）16 .已知如圖，在MBC中，以AB、AC為直角邊，分別向外作等腰直角 三角形ABE、ACF,連結(jié)EF過(guò)點(diǎn)A作AD LBC,垂足為D,反向延長(zhǎng)DA 交EF于點(diǎn)M.（1）用圓規(guī)比較EM與FM的大小.（2）你能說(shuō)明由（1）中所得結(jié)論的道理嗎？（8分）全等三角形1 .

8、將直角三角形（/ACB為直角）沿線段CD折疊使B落在B'處,則4CD度數(shù)為2 .如圖，zABE和MCD是MBC分別沿著AB、AC邊翻折180°形 成的，若/BAC=150。，則EFC的度數(shù)為3 .已知4ABC中，/ABC=45 ° ,AC=4 , H是高AD和BE的交點(diǎn)， 則線段BH的長(zhǎng)度為4 .如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、 CA上的點(diǎn)，（1）若AD BE CF ,問(wèn)DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔BC(2)若DEF是等邊三角形，問(wèn)AD BE CF成立嗎？試證明你的結(jié) 論.5 .如圖所示，已知/ 1= Z2,

9、EF±AD于P,交BC延長(zhǎng)線于M ,求 證：2/M= (/ACB-/B)6 .以BC 中，/A=90 ,AB=AC , D 為 BC 中點(diǎn)，E、F分別在 AC、AB上，且DEDF,試判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.7 .已知：如圖， ABC 中， ABC 45°, CD AB 于 D , BE 平分 ABC, 且BE AC于E,與CD相交于點(diǎn)F, H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE 相交于點(diǎn)G .(1 )求證：BF AC ；(2)求證：CE ；BF ；標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔8 .如圖，點(diǎn)。是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)， AOB 110°, BOC .將4BOC 繞點(diǎn)C按順時(shí)針

10、方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC,連接OD. (1)求證：ACOD是 等邊三角形；(2)當(dāng)150°時(shí)，試判斷4AOD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)探究：當(dāng) 為多少度時(shí)，4AOD是等腰三角形？9 .如圖，AABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn).AD平分/BAC;DELAB, DFXAC;AD，EF.以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一 個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即？，？，？. 試判斷上述三個(gè)命題是否正確，并證明你認(rèn)為正確的命題.10 .已知：如圖，aABC是等邊三角形，過(guò)AB邊上的點(diǎn)D作DG/BC, 交AC于點(diǎn)G ,在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E ,使DE DB ,連接AE, CD .(1)求證：AAG

11、EA DAC ;(2)過(guò)點(diǎn)E作EF / DC ,交BC于點(diǎn)F ,請(qǐng)你連接AF ,并判斷4AEF 是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論.£標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔AG11 .如圖所示，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),AACM、zBCN是等邊三角 形試說(shuō)明：(1) AN = BM;(2) CD = CE(3)連接DE,猜想：CDE的形狀 DE與AB的位置關(guān)(4)若把原題中“AACM和2CN是兩個(gè)等邊三角形”換成兩個(gè) 正方形(如圖所示),AN與BM的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.12、工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角 ，做法如下：如圖所示，4OB 是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON,移動(dòng)角尺,使角尺 兩邊相

12、同的刻度分別與 M、N重合.過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP便是 dOB的平分線，根據(jù)做法,結(jié)合圖形寫出已知、求證、證明.13、操作：如圖，ZABC是正三角形，田DC是頂角/BDC= 120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接 MN ./探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明.也實(shí)用文檔14、已知：如圖分別以4ABC的每一條邊，在三角形外作等邊三角 形，AABD、 Z1BCE、AACF,求證：CD = AE=BF.15、已知：如圖，在等邊三角形 AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各邊的中 點(diǎn),AE,BF,CD分別交于P,

13、M,N在每一組全等三角形中，有三個(gè)三角形 全等，在圖中全等三角形的有幾組？請(qǐng)指出它們，并且選擇一組給出 證明CB16.(2003 廣裂口圖，在 Rt AABC 中,AB=AC, /BAC=90 ,0 為 BC 的中 點(diǎn).(1)寫出點(diǎn)0到MBC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系(不證 明)；(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段 AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持 AN=BM,請(qǐng)判斷AOMN?的形狀，并證明你的結(jié)論.2、如圖，已知/1=/2, 2C=/D標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔證明：/a= ZF3、已知：如圖，AB/CD, /1 = /B, Z2 = ZD.求證：BE ±DE.4、如圖，AB/CD,求證：/A+/C+ZAEC=3605、如圖，若AB/CD,猜想/A、/E、/D之間的關(guān)系，并證明之。7、 如圖，平行四邊形ABCD中，AB/CD, AD /BC, E為AD的標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔中點(diǎn)，在不添其他字母和線段的情況下，回答下列問(wèn)題：(1)圖中哪一個(gè)三角形的面積與三角形 ABE的面積相等?(2)圖中哪些三角形的面積與三角形(3)如果平行四邊形ABCD的面積為 米，分別求出圖中所有三