初中數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重算理與算法

1、2015年參評論文初中數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重算理與算法 關(guān)鍵詞: 算理 算法 計(jì)算水平從字面理解，算理:即計(jì)算的原理或者道理，是解決問題的操作程序，解決“為什么這樣算的問題”。算法:即計(jì)算的方法，是算法依賴于成立的數(shù)學(xué)原理，解決“怎么算”的問題。也就是說計(jì)算教學(xué)由計(jì)算原理教學(xué)和技能訓(xùn)練兩部分組成。在教學(xué)時，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，最后形成計(jì)算技能，算理與算法統(tǒng)一起來即我們常說的運(yùn)算水平。運(yùn)算水平是數(shù)學(xué)的三大基本水平之一，我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程一直將運(yùn)算作為其主要內(nèi)容，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育也一直重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算水平，并取得了許多成績和寶貴經(jīng)驗(yàn)。但是學(xué)生的運(yùn)算水平差的問題卻依

2、然存有，造成的原因是多方面的，有人怪罪于計(jì)算器的普及使用，有人認(rèn)為是由于考試對計(jì)算的過高要求，有人認(rèn)為當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)仍存有著問題 教學(xué)過程中，由于一些教師對運(yùn)算水平的理解不太準(zhǔn)確，將其僅僅等同于運(yùn)算技能，往往將注意力集中在對運(yùn)算法則的記憶、運(yùn)算過程的技巧訓(xùn)練上，并常常以自己的“經(jīng)驗(yàn)”實(shí)行傳授和模仿，只追求學(xué)生算得又快又對而缺少對運(yùn)算意義的了解以及對算理算法的理解和掌握。本文擬通過學(xué)生運(yùn)算中存有的一些問題的分析，結(jié)合運(yùn)算水平的特點(diǎn)以及在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提高學(xué)生的運(yùn)算水平等實(shí)行一些探討，以引起各位數(shù)學(xué)教育工作者注重與思考。一、運(yùn)算出錯是由于“粗心”嗎？“怎么老是那么粗心？”“做了這么多遍，怎么還是

3、算錯？”，這樣的話我們經(jīng)常聽到。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)那些“簡單的”、“熟悉”甚至“低級”的錯誤 ，如果教師簡單地歸結(jié)為學(xué)生的“不認(rèn)真”、“馬虎”、“粗心”等，而不好好了解、分析學(xué)生產(chǎn)生這些錯誤的思維過程，光靠日復(fù)一日、年復(fù)一年的技能訓(xùn)練，學(xué)生的運(yùn)算水平是難以得到提高的。1、2+a2為什么錯了？初學(xué)代數(shù)教學(xué)時，一些學(xué)生總認(rèn)為 2+a 比2大。在這個問題弄清楚后，你再問他“2+a與a哪個大”，他想“再不要上當(dāng)了，還是分a為正負(fù)零來回答吧！”如果教師對這種錯誤的原因不加以分析，對學(xué)生的理解過程不作科學(xué)的了解，類似的錯誤仍然會繼續(xù)發(fā)生。如“a的平方一定比a大”、“一個正數(shù)開方后一定變小了”等。出現(xiàn)這種錯誤的一個

4、方面原因是學(xué)生對“+”的理解問題。認(rèn)為“+”就是“增加”，“增加”了，于是變大了。這樣的“定勢”在剛進(jìn)入初中的學(xué)生來說會經(jīng)常出現(xiàn)。從本質(zhì)意義上說，這種錯誤的根源是對運(yùn)算的意義理解不夠。另一方面是學(xué)生對“字母表示數(shù)”的概念理解不到位。進(jìn)入初中階段，由于數(shù)的范圍已經(jīng)擴(kuò)充到了負(fù)數(shù)，這里的字母a既能夠是正數(shù)，也能夠表示一個負(fù)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)提出，“在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義”。由于現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量一般是正數(shù)，僅僅通過的一些實(shí)例難以突破這種思維的定勢。2、為什么（-3）×（-4）=9？在學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法運(yùn)算“負(fù)負(fù)得正”時，一位學(xué)生通過計(jì)算，得到（-3）×（-4）=9的結(jié)論。這個

5、結(jié)果顯然是錯誤的，教師不假思索就否定了這個學(xué)生的結(jié)果，并批評這個學(xué)生計(jì)算不用心。這個結(jié)果真的是由于學(xué)生不用心嗎？課后與這位同學(xué)實(shí)行了交流，他說:根據(jù)乘法法則，-3乘以-4就是按照數(shù)軸的反方向的反方向，以3為單位，數(shù)4個單位。你看，我從數(shù)軸的-3這個位置開始，向正方向數(shù)，不是正好數(shù)到+9的位置嗎？學(xué)生說的是有道理的，這是利用數(shù)軸解釋有理數(shù)乘法運(yùn)算引起的問題:在解釋加法運(yùn)算時，是從數(shù)值所在位置開始的。但在解釋乘法運(yùn)算時，為什么就必須從0的位置開始呢？如果從0的位置開始、與數(shù)值所在的具體位置無關(guān)，那么用數(shù)軸解釋還有什么意義呢？這個學(xué)生的想法是合理的，是非常好的。教師能夠通過舉例引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)問題所

6、在:按照你的觀點(diǎn)，（+3）×（+3）會等于幾呢？（-3）×（-4）=9并沒有全錯，至少結(jié)果的符號判斷是對的，僅僅該學(xué)生對利用數(shù)軸判斷時的理解上出現(xiàn)了一點(diǎn)偏差。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)算錯誤時，有時候教師是需要聽一聽學(xué)生是如何思考的，了解學(xué)生運(yùn)算出現(xiàn)的過程和原因有助于協(xié)助學(xué)生理解并即時糾正錯誤，才能有效促動和提高學(xué)生的運(yùn)算水平。3、檢驗(yàn)了怎么還錯？一位初三學(xué)生拿了一份剛做好的試卷（作業(yè)）來找我，希望我面批一下。我瀏覽了一下，發(fā)現(xiàn)該生在解一元一次方程、一元一次方程組、一元二次方程和分式方程都出現(xiàn)了不同水準(zhǔn)的錯誤。為了了解出錯的原因，我先問他:“你是怎么解一元一次方程（組）的？” “解一元一

7、次方程先去分母、去括號，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后將未知數(shù)的系數(shù)化為1；解一元一次方程組能夠用代入法或加減法消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程等等?！?從流利地回答中能夠看出，他對解一元一次方程的方法和一般過程是清楚的。問題是出在使用運(yùn)算性質(zhì)的求解的過程、包括運(yùn)算過程的一些習(xí)慣方面，如去括號時的符號問題，去分母時每一項(xiàng)都必須考慮等。然后我指出了錯誤的題號，并提醒“這幾題我一看就知道答案是錯誤的。”受我的提示，他通過代入檢驗(yàn)的方式很快就知道結(jié)果是不對的。但他卻很驚奇地問我：難道解一元一次方程（組）還要檢驗(yàn)？不是只有解分式方程時才需要檢驗(yàn)嗎？我沒有直接回答這個問題，提出請他在檢查一下做錯的一道解分式方程的試題。

8、檢驗(yàn)了幾遍，仍覺得沒錯，因?yàn)椤皩⒔Y(jié)果代入分母，分母的值不等于0”。問題出在我們的教學(xué)。因?yàn)閹缀跛械膶W(xué)生都從老師那里得到的解分式方程進(jìn)行檢驗(yàn)的“秘笈”：只要將結(jié)果代入分母，分母的值不等于0就可以檢驗(yàn)所求得的結(jié)果是否是增根了。檢驗(yàn)并不只是解分式方程必須的一個過程，雖然在解一元一次方程（組）的最后不需要用文字的形式表示這種過程，但這種檢驗(yàn)常常能幫助我們迅速判斷結(jié)果的真?zhèn)?。分式方程的檢驗(yàn)也不能簡單地只看分母的值是否為0，還應(yīng)該看結(jié)果能否滿足原方程，用以發(fā)現(xiàn)過程是否有錯誤。這些暴露了我們在教學(xué)過程中，只關(guān)注一些“技巧”往往會使得學(xué)生的思維僵化。經(jīng)常算錯，是運(yùn)算能力差的而已中表現(xiàn)，只求細(xì)心還不夠，還要提

9、高其驗(yàn)算能力并養(yǎng)成良好的習(xí)慣和方法。教學(xué)過程中，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生正確地進(jìn)行驗(yàn)算，培養(yǎng)學(xué)生自我檢查的習(xí)慣，形成對自己工作的責(zé)任感，從而有根據(jù)地深信自己工作的正確性。二、算理與算法的特點(diǎn)及其培養(yǎng)途徑運(yùn)算能力是一個綜合性的能力。它與記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力、以及空間想象等其他認(rèn)識能力相互滲透、相互支撐著的：學(xué)生不能熟記各種數(shù)據(jù)和公式，就無法正確、迅速地進(jìn)行各種運(yùn)算；如果對概念的理解不透徹，或根本不理解，運(yùn)算必然會陷入盲目性；學(xué)生不善推理，就無法選取合理的運(yùn)算方法，甚至對不合理的運(yùn)算結(jié)果也必然覺察不出；估計(jì)能力與空間想象能力常常能幫助學(xué)生預(yù)測結(jié)果，從而也容易糾正不正確的運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算能力具

10、有一定的層次性。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，不同類別的運(yùn)算是由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級到高級逐步形成和發(fā)展起來的。因此對運(yùn)算的認(rèn)識和掌握也必須是逐步有序的、有層次的，不掌握有理數(shù)的計(jì)算，就不可能掌握實(shí)數(shù)的計(jì)算；不掌握整式的計(jì)算，也就不可能掌握分式的計(jì)算。不掌握有限運(yùn)算，就不可能掌握無限計(jì)算。沒有具體運(yùn)算的基礎(chǔ)，抽象運(yùn)算就難以實(shí)現(xiàn)。由此可見，運(yùn)算能力是隨著知識面的逐步加寬、內(nèi)容的不斷深化、抽象程序的不斷提高而逐步發(fā)展的。對于中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求大致以下幾個層次：計(jì)算的準(zhǔn)確性基本要求計(jì)算的合理、簡捷、迅速較高要求計(jì)算的技巧性、靈活性高標(biāo)準(zhǔn)要求。運(yùn)算技能上升到能力的層次，就能把運(yùn)算的技巧與發(fā)展思維融合

11、在一起。運(yùn)算能力的上述兩個特點(diǎn)說明，在實(shí)際教學(xué)中既不能讓學(xué)生的運(yùn)算能力提留在已有水平上，也不能超越知識內(nèi)容和其他能力的水平孤立地發(fā)展運(yùn)算能力。1、經(jīng)歷過程，理解運(yùn)算的意義，即明白算理。標(biāo)準(zhǔn)降低了對有理數(shù)運(yùn)算的要求，降低了式的運(yùn)算和變形的難度和技巧，并不代表現(xiàn)在不需要重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，而是結(jié)合時代特點(diǎn)對運(yùn)算的內(nèi)涵及其重點(diǎn)進(jìn)行必要的調(diào)整。從基礎(chǔ)教育的目標(biāo)要求來看，重要的不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對運(yùn)算意義的理解。傳統(tǒng)的代數(shù)課程，給人的印象是公式多。單就乘法公式就有六、七個，如果考慮那些變形，那就更多了。而現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)只要求兩個：平方差公式和完全平方公式。但對其理解的要求更高了：會推導(dǎo)乘法公

12、式，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡單計(jì)算。在教學(xué)中。通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)過程，可以體會到數(shù)與代數(shù)中公式的這一本質(zhì)。而且如果真的碰到的話，也會用類似的方法計(jì)算或推導(dǎo)出新的公式。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，懂得怎么應(yīng)用公式，而不在公式的多少。2、講究策略，優(yōu)化運(yùn)算的過程運(yùn)算過程可以理解為是根據(jù)運(yùn)算定義及其性質(zhì)從已知的運(yùn)算對象推導(dǎo)出結(jié)果的過程，因此，運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)是一種推理過程。例如，1+2+3+99+100=？當(dāng)時為什么高斯能正確地、迅速地得到答案？他可能上這樣想的：1+100=2+99=3+98=50+51=101，所以答案是101×50=

13、5050；也許，他用兩次題目中的加數(shù)、顛倒相加而得；也許他用的是另外的方法。盡管歷史沒有記載他當(dāng)時的策略方法，但用了推理能力這一點(diǎn)則是無疑的。加強(qiáng)運(yùn)算策略的學(xué)習(xí)，可以避免復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解決問題的過程。在嘗試計(jì)算求解的過程中，學(xué)生經(jīng)常會從自己的生活經(jīng)驗(yàn)和思考角度出發(fā)，產(chǎn)生不同的運(yùn)算方法。而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程往往忽視這種不同的方法，而直接介紹給學(xué)生成人通用的方法。例如用方程解決問題的教學(xué)，常常以題型分類，如行程問題、工程問題等。其實(shí)學(xué)生能夠而且應(yīng)該發(fā)明自己的計(jì)算策略，這種發(fā)明對他們的數(shù)學(xué)理解是很有幫助的，同時也表明了學(xué)生解決問題的多樣性。因此，在用方程解決問題的教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)對實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系的分析

14、，突出解決問題的策略，借助圖表、線圖整體把握和分析題意，尋找相等關(guān)系，并注意檢驗(yàn)和解釋方程解的合理性教學(xué)中要為學(xué)生提供足夠的探索和交流的空間，鼓勵學(xué)生多采用“嘗試、猜想、驗(yàn)證”方法去解決問題也許，有人會提出疑問，直接教給學(xué)生如何立式計(jì)算學(xué)生完全可以掌握，何必花費(fèi)那么多時間在嘗試、思考和討論上。這里涉及到一個價(jià)值取向的問題。例如，解一元一次方程，一般學(xué)生都是按照“規(guī)矩”進(jìn)行下列的運(yùn)算：兩邊同乘2，得，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得，兩邊同除-1，得x=-8。也有的同學(xué)采用先移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)后，再進(jìn)行x系數(shù)化為1。固定的思維方法在運(yùn)算中有積極的一面，也有消極的影響，當(dāng)學(xué)生掌握了某一種知識（方法）往入習(xí)慣用類似

15、的舊知識（方法）去思考問題，這樣必然會出現(xiàn)思維的惰性，影響運(yùn)算的速度，使運(yùn)算過程繁冗不堪。在教學(xué)過程如果教師不能善于捕捉學(xué)生創(chuàng)造性思維的火花，甚至采用打壓政策，而一味地要求學(xué)生遵循“規(guī)范”的解方程程序，不僅會影響了學(xué)生的運(yùn)算能力的發(fā)展，更容易損傷學(xué)生可貴的探索欲望和創(chuàng)新意識。3、學(xué)會反思，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性（養(yǎng)成良好的習(xí)慣）論語中有“吾日三省吾身”、“見賢思齊焉，見不賢而內(nèi)自省”等，都強(qiáng)調(diào)了反思在道德修養(yǎng)中的作用。學(xué)記中所說“學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自強(qiáng)也”則是從教學(xué)和學(xué)習(xí)兩個方面提出了反思的重要作用。善于反思的人，能不斷地矯正錯誤，科學(xué)地設(shè)計(jì)運(yùn)算的過程，并提

16、高運(yùn)算的準(zhǔn)確度，逐步養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。（1）反思錯誤的成因?qū)W生計(jì)算錯誤有很多原因，特別是在學(xué)生新舊知識之間的符號、表象或概念、命題之間的聯(lián)系出現(xiàn)編碼錯誤或是產(chǎn)生負(fù)遷移。例如，在分式的運(yùn)算課上老師布置了一個題：計(jì)算：。有一位同學(xué)的解法是：原式=。顯然該同學(xué)的結(jié)果錯了，出現(xiàn)這樣的錯誤原因是什么呢？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過分析，認(rèn)識到這是由于把分式方程變形（去分母）搬到解計(jì)算題上了，是思維遷移過程中所產(chǎn)生的負(fù)作用所引起的錯誤。但教師又來了個順?biāo)浦郏簞偛胚@種解法雖然錯了，但我們能不能考慮利用剛才的思路來求解分式方程呢？經(jīng)過大家的討論，一個解分式方程的方法出現(xiàn)了：設(shè)，去分母，得，即，由此可得計(jì)算結(jié)果

17、。學(xué)生計(jì)算錯誤是常有的事，教師應(yīng)充分利用這種教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生客觀地研究出錯的原因，研究它與正確解法之間的聯(lián)系，正確利用學(xué)生錯解中的合理成份，真正發(fā)揮錯解在教學(xué)的正向作用。（2）反思運(yùn)算的過程數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生能否根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行計(jì)算，更要幫助學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目的條件尋找合理的、快捷的運(yùn)算途徑。例如，運(yùn)用四則運(yùn)算法則進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時，在重視計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性的同時，更應(yīng)重視學(xué)生計(jì)算的合理性、科學(xué)性。如計(jì)算就可以采用不同的方法和途徑：方法1  原式=-1；方法2：原式=-6+8-3=-1；以上兩種不同的計(jì)算過程，所選用的運(yùn)算性質(zhì)與計(jì)算目標(biāo)各

18、有不同，可以通過對照計(jì)算過程所體現(xiàn)出的不同的運(yùn)算方法，引導(dǎo)學(xué)生體會每一種運(yùn)算方法所采取的不同策略對結(jié)果的獲得所帶來的影響。（3）反思運(yùn)算的結(jié)果對計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行反思，不僅是檢驗(yàn)結(jié)果正確與否，更重要的是考察結(jié)果是否合理，是否符合實(shí)際。例如，甲住離學(xué)校2千米的地方，已住離學(xué)校3千米的地方，他們兩個住地相距多遠(yuǎn)？回答2+3=5或3-2=1對嗎？有時，從結(jié)果的反思我們還能發(fā)現(xiàn)問題的設(shè)計(jì)中的學(xué)問。例如，在小組交流時有一位同學(xué)給大家出了這樣的一道題：已知絕大多數(shù)同學(xué)是借助于解方程組先求出x,y的值，然后代入求解。但有一位同學(xué)迅速地得到了結(jié)果將兩個方程相加得，得，從而得a=1：正當(dāng)大家沉浸在對上述算法感嘆之中時，有人卻提