一元二次方程集體備課

1、學習必備歡迎下載一元二次方程集體備課一.教學內容：復習目標：（輔導時各位老師要學生掌握的點，每節(jié)課可以視情況鞏固兩點）了解一元二次方程的有關概念.能靈活運用直接開平方法、配方法、公式法、？因式分解法解一元二次方程.會根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況.知道一元二次方程根與系數的關系，并會運用它解決有關問題.能運用一元二次方程解決簡單的實際問題.了解數學解題中的方程思想、轉化思想、分類討論思想和整體思想.二.基礎知識回顧1 .方程中只含有?個未知數，？并且未知數的最高次數是 , ?這樣的 的方程叫做一元二次方程，通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑?（）其中二次項系數是 , 一次項系數是 ,常數項是

2、.例如：一元二次方程 7x 3=2x2化成一般形式是 ?其中二次項系數是 、 一次項系數是 、常數項是 .2 .解一元二次方程的一般解法有;?; ?？求根公式法，？求根公式是學習必備歡迎下載解與根有關的證明題（判斷三角形的形狀，某一恒等式證明） 舉例如下：4 . 一元二次方程根與系數的應用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參系數；已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；已知方程兩根， 求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程.5 .能夠列出一元二次方程解應用題.能夠發(fā)現、提出日常生活、生產或其他學科中可以 利用一元二次方程來解決的實際問題，并正確地用語言表述問題及其解決

3、過程.6 .本章解題思想總結：轉化思想轉化思想是初中數學最常見的一種思想方法.運用轉化的思想可將未知數的問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問 題.在本章中，將解一元二次方程轉化為求平方根問題，將二次方程利用因式分解轉化為一次方程等.從特殊到一般的思想從特殊到一般是我們認識世界的普遍規(guī)律，通過對特殊現象的研究得出一般結論，如從用直接開平方法解特殊的問題到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根與系數的關系等.（對于理解力好的學生， 可以要求其掌握公式法的求根公式的由來，以及怎樣用兩根推導根與系數的關系）分類討論的思想一元二次方程根的判別式體現了分類討論的思想（在目前單元測試的壓軸性題目

4、中出現的頻率較高）.舉例如下：四.易錯點點撥易錯點1:對一元二次方程的定義的理解.判斷一個方程是否一元二次方程，關鍵是將整式方程化簡后只含有一個未知數，且未知數的最高次數為2,特別地，當二次項的系數用字母表示時，二次項系數不為零不能漏掉（雖簡單，但極易被學生忽略）.易錯點2: 一元二次方程的一般形式.在確定一元二次方程的二次項、一次項及常數項時，一定要將一元二次方程化為一般形式（注意同類項的合并與等號右邊不為零的情況）.易錯點3:關于解一元二次方程時的易錯點.是在解形如“ x2 =x”這樣的方程時，千萬不能在方程左右兩邊都除以X ,從而造成方程丟根（告知學生原因，即當x=0時，兩邊是不能同時除

5、以 0的，無意義）；學習必備歡迎下載用配方法時，當二次項的系數不為1時，應將二次項系數化為 1,再將方程左邊配成完全平方式；利用公式法求一元二次方程的解時，要先判斷b2-4ac必須非負才能求解；舉例如下：利用因式分解法求一元二次方程的解時，方程右邊一定要變?yōu)? .易錯點4：在用一元二次方程解決有關實際問題時，注意運用轉化思想，如圖形問題中,如何通過平移，旋轉等變換把不規(guī)則的圖形轉化為規(guī)則的圖形.另外，對于增長率問題，要把握基礎數與總數的關系. 特別地，一元二次方程的兩個解，一定要會判斷檢驗其是否符合實際意義（兩個解并非必須有一個是增根，二者都合適的情況也是存在的）【典型例題】考點1： 一元二次

6、方程的概念及一般形式相關知識：只含有一個未知數的整式方程，并且都可以化為ax方程1x =5x的一次項的系數是 .【評注】概念性的問題關鍵是抓住概念的本質.一元二次方程必須符合三個條件：是整式方程；化簡后只含一個未知數；未知數的最高次數為2.考點2: 一元二次方程的解相關知識：使一元二次方程左右兩邊的值相等的未知數的值，叫做一元二次方程的解， 或叫做一元二次方程的根.復習策略：要判斷一個值是否是一元二次方程的解，只要將這個值代入一元二次方程， 看看方程左右兩邊是否相等即可.相等，則是方程的解；反之，則不是.2 c2例2.如果關于x的一元二次方程（m2）x +3x+m 4 = 0有一個解是0,求m

7、的值.【評注】已知方程的解確定方程中的待定系數的值，是逆向思維的運用，有時將方程的解代入方程中，可能還會出現含兩個待定系數的方程，這時要注意整體思想方法的運用.考點3： 了解方程并判定方程根的情況2.相關知識：一兀一次萬程根的判別：當 b -4ac0時，方程有兩個不相等的實數根；，, 2， 、一一 ，, 2當b -4ac = 0時，萬程有兩個相等的實數根；當b -4ac0時，方程沒有實數根. 反之也成立.復習策略：要掌握一元二次方程根的判別式的應用：不解方程判別根的情況；根據方程解的情況確定系數的取值范圍；求解與根有關的綜合題. + bx+c=0 （a、b、c為常數，？aw0）的形式，這樣的方

8、程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 （aw0）.復習策略：準確理解一元二次方程的定義，一元二次方程首先是整式方程，然后是經過化簡后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程.例1.下列方程是關于 x的一元二次方程的是（）1 1 C C2 2 二 0A. 3（x 1） =2（x 1）b. x2 x222C. ax +bx+c = 0d. x +2x=x -1學習必備歡迎下載2例3.（ 2007巴中市）一兀二次萬程 x 2x1 = 0的根的情況為（）A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根C.只有一個實數根D.沒有實數根 2.（2007安徽瀘州）若關于x

9、的一元二次方程x - 2x+m = 0沒有實數根，則實數 m 的取值范圍是（）A. m 1 C. m l D. m 0）或（mx n） 2= a （m w 0, a0）的方程，可根據平方根 的意義，用直接開平方的方法求解.如果一元二次方程缺少常數項，或方程的右邊為0,左邊很容易分解因式，可考慮用因式分解法.當一元二次方程的二次項系數為1, 一次項的系數是偶數時，可考慮使用配方法.如果用以上幾種方法都不易求解時，可考慮用公式法求解.例4.解下列方程：1（x+ 1） 2= 2（2x + 1） （3x1） = 12x （x+2） + 1 = 0 16 x2 4x=03 （x 2） 2=x （x 2）

10、由以上解析可以這樣來總結：解一元二次方程，首先要把原方程變形為一般形式，然后計算b2-4ac,最后考慮用何種方法求解.如果b24ac是完全平方數，則用因式分解法，如果b2-4ac不是完全平方數且大于零，則用公式法，配方法實際是公式法的推導過程，因 此，除題目要求，一般不用配方法.2例5.解萬程：（2007北東）解萬程：x +4x1=0.（2007浙江嘉興）解方程：x2 + 3=3 （x+ 1）.考點5:根據根與系數的關系，求與方程的根有關的代數式的值2相關知識：一兀二次方程根與系數的關系：若一兀二次方程ax +bx + c=0 （a、b、b c2 x1 x 2 ,x 1x2c為已知數，aw0,

11、 b2 -4ac0）的兩個實數根為x1,x2 ,則12 a 1 2 a .即：一元二次方程兩個根的和等于方程的一次項系數除以二次項系數的商的相反數；兩個根的積等于常數項除以二次項系數的商.復習策略：根與系數的關系存在的前提是： aw0,即方程一定是一元二次方程； b2 -4ac0,即方程一定有實數根.根據新課標的要求，在課改實驗區(qū)的中考試題中，運用一元二次方程根與系數的關系的 考題主要是求與方程的根有關的代數式的值的題型.例6.（2007山東淄博）若關于 x的一元二次方程x2 +kx+4k2 -3 = 0的兩個實數根分 別是x ,x2 ,且滿足x1 +x2 =x1x2 .則k的值為（）3 3（

12、A） 1 或 4（B） 1（C） 4（D）不存在學習必備歡迎下載（2007四川德陽）閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c = 0的兩根為xi, x2,則bcXi X2x1x2兩根與方程系數之間有如下關系：a, 1 2 a.根據該材料填空：x2 xi 2已知x1 , x2是萬程x +6x+3 = 0的兩實數根，則 xi x2的值為【評注】不解方程，利用一元二次方程根與系數的關系求兩個代數式的值關鍵是把所給 的代數式經過恒等變形，化為含 xi+x2, Xi .X2的形式，然后把Xi+x2, Xi X 2的值代入， 即可求出所求代數式的值.常見的代數式變形有：22/、2- XiX2 =(Xi X

13、2) -2XiX211x1 x2 Xi x2XiX22(Xi X2) -2xiX22(-2)2X2 Xi （xi X2） - 2X1X2 += Xi X2Xi X2考點6:xi - x2=J（Xi +X2）2 _4平2二次方程的應用相關知識：應用在日常生活實踐中， 許多問題都可以通過建立一元二次方程這個模型來進行求解，然后回到實際問題中去進行解釋和檢驗.首先要把實際問題加以分析， 抽象成數學問題，然后用數學知識去解決它. 應用一元二次方程 解決實際問題的步驟可歸結為：“設、找、歹h解、驗、答”：設：是指設未知數，可分為直接設和間接設.所謂直接設，就是指問什么設什么； 在直接設未知數比較難列出方

14、程或者列出的方程比較復雜時，可考慮間接設未知數.找：是指讀懂題目，審清題意，明確已知條件和未知條件，找出它們之間的等量關 系.列：就是指根據等量關系列出方程.解：就是求出所列方程的解.驗：分為兩步.一是檢驗解出的數值是否是方程的解，二是檢驗方程的解是否符合 實際情況.答：就是書寫答案，一定要遵循“問什么答什么，怎么問就怎么答”的原則.以上幾個步驟中，審題是基礎，找出等量關系是解決問題的關鍵，能否恰當設元直接影響著列方程和解方程的難易，所以要根據不同的具體情況把握好解題的每一步.復習策略：i. 一元二次方程解應用題應注意：寫未知數時必須寫清單位，用對單位；列方程時，方程兩邊必須單位一致；答必須寫

15、 清單位.注意語言和代數式的轉化，要把用語言給出的條件用代數式表示出來.2.常見的應用題：幾何圖形的面積問題：這類問題的面積公式是等量關系，如果圖形不規(guī)則，應分割或組合成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程.平均增長（降低）率問題：此類問題是在某個數據的基礎上連續(xù)增長（降低）兩次得22到新的數據，解這類問題需牢記公式 a（i+x） =b或a（i-x） =b，其中a表示增長（降低） 前的數據，x表示增長或降低率，b表示后來得到的數據，“ + ”表示增長，“”表示降低.方法規(guī)律：解此類問題所列的方程，一般用直接開平方法求解.增長率不能為負數，降低率不能大于i.學習必

16、備歡迎下載營銷問題：解決此類問題首先要清楚幾個名稱的意義，如成本價、售價、標價、打折、利潤、利潤率等以及它們之間的等量關系.梳理總結:此類問題常見的等量關系是：“總利潤=總售價一總成本”或“總禾帆=每利潤率=售價M100%件商品的利潤X銷售數量，進價”例7.據報道，我省農作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%,大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產出的農作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使 2008年的利用率提高到 60%,求每年的增長率.（取72=1.41）例8. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖 1,如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖 1 所示，

17、余下的部分作為耕地.要使耕地的面積為540m2,道路的寬應是多少？分析：在面積問題中有一些計算題，如采用平移的方法適當改變圖形的形狀，可以給解決問題帶來意想不到的美妙效果.此題如不采用“平移法” ，很難人手.若把“之”字道路 平移一下位置，變?yōu)閳D 2,則此題即可迎刃而解.*-32m- 圖132 m 圖220m考點7: 一元二次方程中考閱讀理解題例析與一元二次方程相關的閱讀理解問題，是近幾年的一種新題型，由于這類問題有助于培養(yǎng)學生的閱讀理解能力、創(chuàng)新意識，而備受大家的關注，現略舉幾例與同學們共賞析.例9. （2006年福建晉江市）閱讀下面的例題：解方程：x2|x|-2=0解：（1）當x0時，原方

18、程化為x2-x-2=0,解得：x1=2, X2 = 1 （不合題意，舍學習必備歡迎下載(2)當x 0時，原方程化為x2+x2=0,解得：xi= 1 (不合題意，舍去)，X2 = 2，原方程的根是 x1=2, x2 = -2.請參照例題解方程 x2一|x3|3=0,則此方程的根是 .例10. (2006年廣東茂名市)先閱讀，再填空解題：(1)方程 x2 x 12= 0 的根是：x1 = 3, x2=4,則 x1+x2=1, x1,x2=12;173(2)方程 2x27x + 3=0 的根是：x1= 2 , x2 = 3,則 x1 + x2= 2 , x1 , x2= 2 ；(3)方程 x23x+

19、1 = 0 的根是：x1 =, x2 =.貝U x1+x2=, x1 , x2=;根據以上(1) (2) (3)你能否猜出：如果關于x的一元二次方程 mx2+nx+p=0 (mw0且m、n、p為常數)的兩根為 x1、x2,那么x + x2、x1 x2與系數m、n、p有什么關系？請寫出來你的猜想并說明理由.分析：本題首先請同學們閱讀兩個一元二次方程的兩根之和、兩根之積與系數之間的關系，再通過第3個方程的兩根之和、 兩根之積與系數之間的關系特點，歸納猜想出一元二次方程的兩個根與系數的關系.【中考再現】學習必備歡迎下載【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題21、（2007巴中市）一元二次萬程

20、x 2x-1 =0的根的情況為（）A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根C.只有一個實數根D.沒有實數根2.2、（2007安徽瀘州）若關于 x的一元二次方程 x - 2x + m = 0沒有實數根，則實數 m 的取值范圍是（）A. m 1 C. ml D. m 1B. mv 2 C. m 0D. m 07、（2007湖北武漢）如果 2是一元二次方程 x2=c的一個根，那么常數 c是（）A. 2 B. -2C. 4 D. -4、填空題21、（2007重慶）已知一元二次方程2x 3x1=0的兩根為x1、x2,則x1x2 -2、（2007四川眉山）關于 x的一元二次方程 x2+bx+c= 0

21、的兩個實數根分別為 1和2,貝 U b =； c =.23、（2007浙江溫州）方程 x 2x = 0的解是;24、（2007湖南懷化）已知方程 x -3x+k =0有兩個相等的實數根，則 k=5、（2007四川成都）已知 x是一元二次方程x2+3x 1=0的實數根，那么代數式x-35（x 2 -）3x -6xx-2的值為6、（2007江蘇淮安）寫出一個兩實數根符號相反的一元二次方程： 7、（2007安徽蕪湖）已知2 一，5是一元二次方程x24x + c = 0的一個根，則方程的另 一個根是.三、解答題21、（2007湖南株州）已知 x= 1是一元二次方程ax +bx 40 = 0的一個解，且a#b,2-2a -b求2a -2b的值.2、（2007湖北天門）已知關于 x的一元二次方程 x2+4x+m1=0。請你為m選取一個合適的整數，使得到的方程有兩個不相等的實數根；設“、3是（1）中你所得到的方程的兩個實